算法的优劣主要体现在两个方面：运行所需的时间 和占用的存储空间。为了在理论上比较不同算法的效率，我们需要找到一种通用的度量方法。
（1）时间复杂度
1）基本概念
在分析算法时，我们常常统计基本操作 （例如比较、赋值、加法）的执行次数。假设输入规模为 nnn，算法中基本操作的执行次数记为 T(n)T(n)T(n)。由于不同机器的运行速度不同，我们不关心具体的秒数，而是关心随着 nnn 增大，运行次数如何增长。
于是，我们引入渐近时间复杂度：
T(n)=O(f(n)) T(n) = O(f(n)) T(n)=O(f(n))
其中，f(n)f(n)f(n) 表示一个简单的函数（如 nnn、n2n^2n2、logn\log nlogn），用来描述增长趋势，忽略常数因子和低阶项。
2）例子
考虑下面的简单查找：
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i = n
while(i > 0 && A[i] != k)
i = i - 1- 如果数组中没有值为 kkk 的元素，循环要执行 nnn 次，时间复杂度为 O(n)O(n)O(n)。
- 如果最后一个元素刚好等于 kkk，循环只执行 1 次，复杂度为 O(1)O(1)O(1)。
这说明：同一个算法可能有最好情况 、最坏情况 和平均情况 三种时间复杂度。为了保证算法在任何情况下都不会太差，我们通常取最坏情况复杂度作为衡量标准。
3）规律总结
常见的复杂度大小关系如下：
O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(2n)<O(n!) O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n\log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(2n)<O(n!)
在实际题目中，我们主要关心如何根据循环次数 和递归式来判断复杂度。例如：
- 顺序执行：取最大项；
- 嵌套循环：次数相乘；
- 二分法：每次规模减半，复杂度为 O(logn)O(\log n)O(logn)。
（2）空间复杂度
1）基本概念
空间复杂度 S(n)S(n)S(n) 用来度量算法在运行过程中额外需要的存储量。除了存放输入数据所需的内存外，算法往往还需要一些辅助空间。
2）常见情况
- 常量级空间 ：只用到少量变量，例如交换两个数。复杂度 O(1)O(1)O(1)。
- 与规模相关的辅助空间 ：如排序时需要一个额外数组，复杂度可能达到 O(n)O(n)O(n)。
- 递归调用的栈空间 ：递归深度为 ddd，则辅助空间为 O(d)O(d)O(d)。例如快速排序平均为 O(logn)O(\log n)O(logn)，最坏为 O(n)O(n)O(n)。
（3）时间与空间的权衡
有些算法通过"增加空间"来换取"减少时间"（如哈希表查找只需 O(1)O(1)O(1)），有些算法则通过"减少空间"而增加时间（如原地排序节省内存，但操作更多）。这种时间---空间权衡思想是算法设计的重要原则。
小结
- 时间复杂度反映了算法随输入规模增长所需的运算次数，是算法效率的主要指标。
- 空间复杂度反映了算法需要的额外内存，是评价实现可行性的重要因素。
- 考研题目中常要求推算循环与递归的时间复杂度，并比较不同算法在时间与空间上的优劣。