【1】引言
前序学习进程中，对经典的二项分布和正态分布已经有一定的掌握。
今天为学习一种稍显复杂的分布提前布局一下，学习伽马函数。
【2】伽马函数
伽马函数有两种经典写法，一种是积分形式，另一种是无穷乘积形式。
【2.1】积分形式
对于所有大于0的复数 z z z，伽马函数定义为：
Γ ( z ) = ∫ 0 + ∞ t z − 1 e − t d t \Gamma(z)=\int_{0}^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt Γ(z)=∫0+∞tz−1e−tdt
这个积分式子在 z > 0 z>0 z>0时收敛。
【2.2】无穷乘积形式
Γ ( z ) = 1 z ∏ n = 1 + ∞ ( 1 + 1 n ) z 1 + z n \Gamma(z)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^{+\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^z}{1+\frac{z}{n}} Γ(z)=z1n=1∏+∞1+nz(1+n1)z
这种形式的伽马函数在 z = 0 , − 1 , − 2 , . . . z=0,-1,-2,... z=0,−1,−2,...处存在极点，函数值会趋向于无穷大。
【3】溯源
如果只知道定义式，很难理解伽马函数的意义。为此，我们很有必要溯源。
【3.1】阶乘-离散式子
中学阶段我们就知道，正整数 n n n的阶乘计算式为：
n ! = n × ( n − 1 ) × ( n − 2 ) × . . . × 2 × 1 n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times...\times2\times1 n!=n×(n−1)×(n−2)×...×2×1
以及 0 ! = 1 0!=1 0!=1
很明显，这样的阶乘计算只能计算非负整数，定义域比较有限。
【3.2】积分-连续式子
【3.1】阶乘改写
上述 n ! n! n!可以改写成下式：
n ! = l i m k → + ∞ k n ⋅ k ! ( n + 1 ) ( n + 2 ) . . . ( n + k ) n!=lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(n+1)(n+2)...(n+k)} n!=limk→+∞(n+1)(n+2)...(n+k)kn⋅k!这个式子的作用是，用 k k k的幂次抵消乘积的增长，让极限趋向于有限值。
证明这个式子：
第一步：
( n + 1 ) ( n + 2 ) . . . ( n + k ) = ( n + k ) ! n ! (n+1)(n+2)...(n+k)=\frac{(n+k)!}{n!} (n+1)(n+2)...(n+k)=n!(n+k)!
第二步，代入阶乘式有：
n ! = l i m k → + ∞ k n ⋅ k ! ⋅ n ! ( n + k ) ! = n ! l i m k → + ∞ k n ⋅ k ! ( n + k ) ! n!=lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!\cdot n!}{(n+k)!}=\\ n!lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(n+k)!} n!=limk→+∞(n+k)!kn⋅k!⋅n!=n!limk→+∞(n+k)!kn⋅k!
所以对式子的证明，可以简化为：
l i m k → + ∞ k n ⋅ k ! ( n + k ) ! = 1 lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(n+k)!}=1 limk→+∞(n+k)!kn⋅k!=1
第三步：
因为：
( n + k ) ! = [ k ! ] [ ( k + 1 ) ( k + 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( k + n ) ] (n+k)!=[k!][(k+1)(k+2) \cdot \cdot \cdot(k+n)] (n+k)!=[k!][(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)]
所以：
l i m k → + ∞ k n ⋅ k ! ( n + k ) ! = l i m k → + ∞ k n ⋅ k ! [ k ! ] [ ( k + 1 ) ( k + 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( k + n ) ] = l i m k → + ∞ k n ⋅ k ! [ k ! ] [ ( k + 1 ) ( k + 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( k + n ) ] = l i m k → + ∞ k n ( k + 1 ) ( k + 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( k + n ) lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(n+k)!}=\\lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{[k!][(k+1)(k+2) \cdot \cdot \cdot(k+n)]}=\\lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{[k!][(k+1)(k+2) \cdot \cdot \cdot(k+n)]}=\\ lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n}{(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot(k+n)} limk→+∞(n+k)!kn⋅k!=limk→+∞[k!][(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)]kn⋅k!=limk→+∞[k!][(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)]kn⋅k!=limk→+∞(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)kn
第四步：分母每个括号中都提取一个 k k k：
l i m k → + ∞ k n ( k + 1 ) ( k + 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( k + n ) = l i m k → + ∞ k n [ k ( 1 + 1 k ) ] [ k ( 1 + 2 k ) ] ⋅ ⋅ ⋅ [ k ( 1 + n k ) ] = l i m k → + ∞ k n k n ⋅ ( 1 + 1 k ) ( 1 + 2 k ) ⋅ ⋅ ⋅ ( 1 + n k ) = l i m k → + ∞ 1 ( 1 + 1 k ) ( 1 + 2 k ) ⋅ ⋅ ⋅ ( 1 + n k ) lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n}{(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot(k+n)}=\\ lim_{k \rightarrow+\infty}\frac{k^n}{[k(1+\frac{1}{k})][k(1+\frac{2}{k})]\cdot \cdot \cdot [k(1+\frac{n}{k})]}=\\ lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n}{k^n\cdot (1+\frac{1}{k})(1+\frac{2}{k})\cdot \cdot \cdot (1+\frac{n}{k})}=\\ lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{k})(1+\frac{2}{k})\cdot \cdot \cdot (1+\frac{n}{k})} limk→+∞(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)kn=limk→+∞[k(1+k1)][k(1+k2)]⋅⋅⋅[k(1+kn)]kn=limk→+∞kn⋅(1+k1)(1+k2)⋅⋅⋅(1+kn)kn=limk→+∞(1+k1)(1+k2)⋅⋅⋅(1+kn)1
对于上述计算式，当 k → + ∞ k \rightarrow+\infty k→+∞时，分母的乘积为1，所以：
l i m k → + ∞ k n ( k + 1 ) ( k + 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( k + n ) = 1 lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n}{(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot(k+n)}=1 limk→+∞(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)kn=1
第五步，反过来再直接推一遍式子：
因为：
l i m k → + ∞ k n ( k + 1 ) ( k + 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( k + n ) = 1 = l i m k → + ∞ k n ⋅ k ! k ! ⋅ ( k + 1 ) ( k + 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( k + n ) = l i m k → + ∞ k n ⋅ k ! ( k + n ) ! = 1 lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n}{(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot(k+n)}=1\\= lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{k!\cdot (k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot(k+n)}=\\ lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(k+n)!}=1 limk→+∞(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)kn=1=limk→+∞k!⋅(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)kn⋅k!=limk→+∞(k+n)!kn⋅k!=1
所以
n ! = n ! ⋅ l i m k → + ∞ k n ⋅ k ! ( n + k ) ! = l i m k → + ∞ k n ⋅ k ! ⋅ n ! ( n + k ) ! = l i m k → + ∞ k n ⋅ k ! ( n + 1 ) ( n + 2 ) . . . ( n + k ) n!=n! \cdot lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(n+k)!}=\\lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!\cdot n!}{(n+k)!}=\\ lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(n+1)(n+2)...(n+k)} n!=n!⋅limk→+∞(n+k)!kn⋅k!=limk→+∞(n+k)!kn⋅k!⋅n!=limk→+∞(n+1)(n+2)...(n+k)kn⋅k!
【4】细节说明
阶乘形式的伽马函数主要适用于整数，如果把证书替换成任意实数，就会有：
x ! = l i m k → + ∞ k x ⋅ k ! ( x + 1 ) ( x + 2 ) . . . ( x + k ) x!=lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^x\cdot k!}{(x+1)(x+2)...(x+k)} x!=limk→+∞(x+1)(x+2)...(x+k)kx⋅k!
此时，只要 x x x不是负整数，因为负整数会导致分母为0，上述计算式就能执行，此时阶乘形式的伽马函数被扩展到除负整数以外的所有实数。
【5】总结
初步学习了伽马函数并对伽马函数展开了溯源。