P1495 【模板】中国剩余定理（CRT）/ 曹冲养猪

P1495 【模板】中国剩余定理（CRT）/ 曹冲养猪 题解

题目分析

本题要求解一系列同余式的最小非负整数解，形式如下：

\[x ≡ \tt r_1 (mod \\tt m_1) x ≡ \tt r_2 (mod \\tt m_2) ... x ≡ \tt r_n (mod \\tt m_n) \]

其中每个方程表示"猪的数量为x时，用mᵢ个猪圈分猪后剩余\(\tt r_i\)头"。

解题思路

采用逐步合并同余式的策略：

1. 从第一个同余式开始，得到初始解
2. 逐个合并后续同余式，每次合并都保留两个同余式的公共解
3. 最终得到满足所有条件的最小解

完整代码实现

代码解析

1. 核心函数 merge：

   • 功能：求解同时满足两个同余式的最小解
   • 参数：a(第一个解), m(第一个模数), b(第二个余数), n(第二个模数)
   • 逻辑：从a开始，每次加m（保证始终满足第一个同余式），直到找到满足第二个同余式的解

2. 主函数流程：

   • 读取同余式数量n
   • 初始化第一个同余式的解和模数
   • 循环合并每个新同余式：
     • 调用merge函数获取新的公共解
     • 更新模数为当前模数与新模数的最小公倍数（LCM）
   • 输出最终解

3. 关键优化：

   • 使用最小公倍数作为新模数，减少后续枚举次数
   • 使用long long类型避免大数值计算溢出
   • 加入防无限循环判断（虽然题目保证有解）

时间复杂度分析

• 每次合并操作的枚举次数最多为两个模数的最大公约数
• 整体时间复杂度为O(n·gcd(m₁,m₂))，其中n为同余式数量，m为模数最大值
• 对于本题约束（n≤10，m≤1000），效率完全足够

示例演示

以输入：

3
3 2
5 3
7 2

为例：

1. 初始解：ans=2（满足x≡2 mod 3）
2. 合并x≡3 mod 5：从2开始加3，得到23（23 mod 5=3）
3. 合并x≡2 mod 7：从23开始加15（LCM(3,5)），得到128（128 mod 7=2）
4. 输出128

还有一道题能水：11C52AF48C7F90A25E17E71D2AD41457(MD5加密)