金融中的异常收益率

核心概念

异常收益率 指的是某只资产（如股票）在特定时期内的实际收益率 与该资产在正常市场条件下的预期收益率之间的差额。

简单公式为：
异常收益率 = 实际观测到的收益率 - 预期正常收益率

这个差额反映了未被市场普遍波动所解释的收益部分，通常由特定事件（如公司财报发布、并购公告、政策变动等）或投资者的超额技能所驱动。

计算步骤详解

计算异常收益率通常分为三个步骤：

第一步：计算实际收益率

首先，需要计算在事件窗口期内每一天（或每一个周期）的实际收益率。最常用的方法是计算对数收益率，因为它具有更好的统计性质（如对称性和可加性）。

简单收益率 ： R_t = (P_t - P_{t-1}) / P_{t-1}
对数收益率 ： R_t = ln(P_t / P_{t-1})
- R_t 是第 t 天的收益率
- P_t 是第 t 天的收盘价
- P_{t-1} 是第 t-1 天的收盘价

在学术和实务中，对数收益率更为常用。

第二步：估算预期正常收益率

这是最关键的一步。预期正常收益率是指在没有发生特定事件的情况下，该资产理论上应该获得的收益率。估算方法主要有以下几种：

市场模型

这是最常用和公认的方法。它假设单个资产的收益率与市场整体收益率（如沪深300指数、标普500指数）存在线性关系。
- 模型公式 ： E(R_i,t) = α_i + β_i * R_m,t
- E(R_i,t) 是股票 i 在第 t 天的预期收益率。
- R_m,t 是第 t 天的市场收益率（同样用对数收益率计算）。
- α_i 和 β_i 是需要估计的参数。
- 如何估计参数？
  选择一个估计窗口 （通常是在事件发生前的一段时间，例如事件前120天到前30天），使用该窗口内的股票收益率和市场收益率数据进行线性回归 ，拟合出 α_i (截距) 和 β_i (斜率，即贝塔系数)。
常数均值模型

这是一种简化模型，它假设资产的预期收益率是一个常数，等于其在估计窗口期内的平均收益率。
- 模型公式 ： E(R_i,t) = μ_i
- μ_i 是股票 i 在估计窗口期内收益率的平均值。
- 这种方法比较简单，但不如市场模型精确。
资本资产定价模型
- 模型公式 ： E(R_i,t) = R_f,t + β_i * [E(R_m,t) - R_f,t]
- R_f,t 是无风险利率（如国债利率）。
- 这种方法在理论上是完备的，但实际操作中由于需要估计市场风险溢价 [E(R_m,t) - R_f,t]，且效果并不总是优于市场模型，因此使用频率低于市场模型。
多因子模型

在更加复杂的分析中，会引入除市场因子以外的其他因子（如规模因子、价值因子、动量因子等，即Fama-French三因子或五因子模型）来更精确地估算预期收益。这在学术研究中很常见。

第三步：计算异常收益率

一旦从第二步得到了预期收益率 E(R_i,t)，就可以用第一步得到的实际收益率 R_i,t 减去它，得到每一天的异常收益率。

每日异常收益率 ： AR_i,t = R_i,t - E(R_i,t)

第四步（可选）：累计与平均

在实际分析中，我们通常不仅关心单日的异常收益，更关心整个事件窗口期（例如公告日前一天到后一天，共3天）内的总体影响。

累计异常收益率 ：将事件窗口期内每天的异常收益率相加。
CAR_i = AR_i,t1 + AR_i,t2 + ... + AR_i,tk

（t1 到 tk 是事件窗口期的每一天）
平均异常收益率 ：如果你研究的是多个公司（N个）的同一个事件，可以计算所有公司在同一天的平均异常收益率，以消除个别公司的噪音。
AAR_t = (AR_1,t + AR_2,t + ... + AR_N,t) / N
累计平均异常收益率 ：将平均异常收益率在时间上累计。
CAAR = AAR_t1 + AAR_t2 + ... + AAR_tk

举例说明（使用市场模型）

事件：公司A在 2023年10月10日发布了超预期的财报。

定义窗口期：
- 估计窗口： 2023年3月1日至 2023年8月31日（约120个交易日）。
- 事件窗口：我们关心发布前后两天的表现，即 10月9日，10月10日，10月11日。
计算实际收益率：
- 计算公司A股票和 market index（如沪深300）在估计窗口和事件窗口内每一天的对数收益率。
估算预期收益：
- 使用估计窗口（3月1日至8月31日）的数据，将公司A的日收益率 (R_i) 对市场指数日收益率 (R_m) 进行回归。
- 假设回归结果是： E(R_i) = 0.001 + 1.2 * R_m
  （即 α = 0.001, β = 1.2）
计算异常收益：
- 在事件窗口的每一天 ，将当天的实际市场收益率 R_m,t 代入上面的回归模型，计算出公司A当天的预期收益率。
- 例如，10月10日（公告日） ：
  - 市场实际收益率 R_m = 0.5%
  - 公司A实际收益率 R_i = 4.0%
  - 预期收益率 E(R_i) = 0.001 + 1.2 * 0.005 = 0.001 + 0.006 = 0.7%
  - 异常收益率 AR = 4.0% - 0.7% = 3.3%
  - 这个3.3%就是由财报公告这个事件带来的、超出市场波动的超额收益。
累计异常收益：
- 用同样的方法计算出10月9日和10月11日的异常收益率，假设分别为 0.5% 和 -0.2%。
- 那么整个3天事件窗口的累计异常收益率为： CAR = 0.5% + 3.3% + (-0.2%) = 3.6%。

重要注意事项

窗口期选择：估计窗口和事件窗口不能有重叠，否则会引入"look-ahead bias"（前视偏差），导致预期收益率估计不准确。
模型选择 ：对于大多数情况，市场模型已经足够优秀且稳健。常数均值模型过于简单，CAPM和多因子模型则可能引入新的估计误差。
统计显著性：计算出异常收益率后，通常需要进行统计检验（如t检验），以判断异常收益率是否显著地不等于零，确保结果不是由随机波动造成的。
数据频率：虽然以上以"日"数据为例，但同样适用于周数据、月数据等更高或更低频率的分析。