自适应滤波器：Ch2 误差性能曲面-＞维纳-霍夫方程

误差性能曲面

误差性能曲面->维纳-霍夫方程

之前导出的维纳-霍夫方程和最小均方误差都源于正交性原理，接下来也可以从FIR滤波器抽头权值的代价函数J的关系式中导出维纳-霍夫方程以及最小均方误差
J=E[e(n)∗e∗(n)]=E[(d(n)−d^(n))∗(d∗(n)−d^∗(n))]=E[(d(n)−∑k=0M−1u(n−k)∗w∗k)∗(d∗(n)−∑i=0M−1u∗(n−i)∗wi)]=E[∣d(n)∣2]+E(∑k=0M−1u(n−k)∗w∗k)∑i=0M−1u∗(n−i)∗wi))−E[d(n)∗∑i=oM−1u∗(n−i)∗wi)]−E[d∗(n)∗∑k=oM−1u(n−k)∗w∗k]=σd2−∑k=0M−1w∗kp(−k)−∑k=0M−1wkp∗(−k)+∑k=0M−1∑i=0M−1w∗kwir(i−k)){J = E\left\lbrack e(n)*e^{*}(n) \right\rbrack = E\left\lbrack \left( d(n) - \widehat{d}(n) \right)*\left( d^{*}(n) - {\widehat{d}}^{*}(n) \right) \right\rbrack }{= E\left\lbrack \left( d(n) - \sum_{k = 0}^{M - 1}{u(n - k)*}{w^{*}}{k} \right)*\left( d^{*}(n) - \sum{i = 0}^{M - 1}{u^{*}(n - i)*}w_{i} \right) \right\rbrack }{= E\lbrack|d(n)|^{2}\rbrack + E(\sum_{k = 0}^{M - 1}{u(n - k)*}{w^{*}}{k})\sum{i = 0}^{M - 1}{u^{*}(n - i)*}w_{i})) - E\lbrack d(n)*\sum_{i = o}^{M - 1}{u^{*}(n - i)*}w_{i})\rbrack - E\lbrack d^{*}(n)*\sum_{k = o}^{M - 1}{u(n - k)*}{w^{*}}{k}\rbrack }{= {\sigma{d}}^{2} - \sum_{k = 0}^{M - 1}{{w^{*}}{k}p( - k)} - \sum{k = 0}^{M - 1}{w_{k}p^{*}( - k) +}\sum_{k = 0}^{M - 1}{\sum_{i = 0}^{M - 1}{w^{*}}{k}}w{i}r(i - k))}J=E[e(n)∗e∗(n)]=E[(d(n)−d (n))∗(d∗(n)−d ∗(n))]=E[(d(n)−k=0∑M−1u(n−k)∗w∗k)∗(d∗(n)−i=0∑M−1u∗(n−i)∗wi)]=E[∣d(n)∣2]+E(k=0∑M−1u(n−k)∗w∗k)i=0∑M−1u∗(n−i)∗wi))−E[d(n)∗i=o∑M−1u∗(n−i)∗wi)]−E[d∗(n)∗k=o∑M−1u(n−k)∗w∗k]=σd2−k=0∑M−1w∗kp(−k)−k=0∑M−1wkp∗(−k)+k=0∑M−1i=0∑M−1w∗kwir(i−k))

上式在求解过程中用到了：

互相关函数：

p(−k)=E[d∗(n)∗u(n−k)p( - k) = E\lbrack d^{*}(n)*u(n - k)p(−k)=E[d∗(n)∗u(n−k)

互相关函数的共轭：

p∗(−k)=(p(−k))∗=(E[d∗(n)∗u(n−k))∗=E[d(n)∗u∗(n−i)]p^{*}( - k) = \left( p( - k) \right)^{*} = {(E\lbrack d^{*}(n)*u(n - k))}^{*} = E\left\lbrack d(n)*u^{*}(n - i) \right\rbrackp∗(−k)=(p(−k))∗=(E[d∗(n)∗u(n−k))∗=E[d(n)∗u∗(n−i)]

自相关函数：

r(i−k)=E[u(n−k)∗u∗(n−i)]r(i - k) = E\lbrack u(n - k)*u^{*}(n - i)\rbrackr(i−k)=E[u(n−k)∗u∗(n−i)]

假设滤波器的输入 u(n)u(n)u(n)与期望输出 d(n)d(n)d(n)是联合平稳 的，那么u(n)u(n)u(n)和d(n)d(n)d(n)本身是平稳的，且两者的互相关函数仅仅和延时有关而与时间无关（即上述的p(−k)，p∗(−k)，r(i−k)p( - k)，p^{*}( - k)，r(i - k)p(−k)，p∗(−k)，r(i−k)都是不含时的）。利用这个特性，上面求得的J将仅是滤波器系数wkw_{k}wk的二次函数。其形状就像一个碗，而碗底就是J最小的值。因此联合平稳->代价函数J存在最小值。

进一步计算梯度算子∇kJ\nabla_{k}J∇kJ，将
wk=ak+j∗bkw_{k} = a_{k} + j*b_{k}wk=ak+j∗bk
w∗k=ak−j∗bk{w^{*}}{k} = a{k} - j*b_{k}w∗k=ak−j∗bk

代入其中∇kJ\nabla_{k}J∇kJ
∇kJ=∂J∂ak+j∂J∂bk=−(∂J∂ak+j∂J∂bk)(∑k=0M−1(ak+jbk)∗∗p(−k))−(∂J∂ak+j∂J∂bk)(∑k=0M−1(ak+jbk)∗p∗(−k))+(∂J∂ak+j∂J∂bk)(∑k=0M−1∑i=0M−1(ak+jbk)∗∗(ai+jbi)∗r(i−k)){\nabla_{k}J = \frac{\partial J}{\partial a_{k}} + j\frac{\partial J}{\partial b_{k}} }{= - (\frac{\partial J}{\partial a_{k}} + j\frac{\partial J}{\partial b_{k}})(\sum_{k = 0}^{M - 1}{(a_{k} + jb_{k})^{*}}*p( - k)) - (\frac{\partial J}{\partial a_{k}} + j\frac{\partial J}{\partial b_{k}})(\sum_{k = 0}^{M - 1}\left( a_{k} + jb_{k} \right)*p^{*}( - k)) + (\frac{\partial J}{\partial a_{k}} + j\frac{\partial J}{\partial b_{k}})(\sum_{k = 0}^{M - 1}{\sum_{i = 0}^{M - 1}{(a_{k} + jb_{k})^{*}}}*\left( a_{i} + jb_{i} \right)*r(i - k)) }∇kJ=∂ak∂J+j∂bk∂J=−(∂ak∂J+j∂bk∂J)(k=0∑M−1(ak+jbk)∗∗p(−k))−(∂ak∂J+j∂bk∂J)(k=0∑M−1(ak+jbk)∗p∗(−k))+(∂ak∂J+j∂bk∂J)(k=0∑M−1i=0∑M−1(ak+jbk)∗∗(ai+jbi)∗r(i−k))

上式中分别对三个部分求偏微分，其求解过程如下：

第一部分：
(∂J∂ak+j∂J∂bk)(∑k=0M−1(ak+jbk)∗∗p(−k))=(∂J∂ak+j∂J∂bk)(∑k=0M−1(ak−jbk)∗p(−k))=p(−k)+p(−k)=2p(−k)\left( \frac{\partial J}{\partial a_{k}} + j\frac{\partial J}{\partial b_{k}} \right)\left( \sum_{k = 0}^{M - 1}{(a_{k} + jb_{k})^{*}}*p( - k) \right) = \left( \frac{\partial J}{\partial a_{k}} + j\frac{\partial J}{\partial b_{k}} \right)\left( \sum_{k = 0}^{M - 1}{(a_{k} - jb_{k})}*p( - k) \right) = p( - k) + p( - k) = 2p( - k)(∂ak∂J+j∂bk∂J)(k=0∑M−1(ak+jbk)∗∗p(−k))=(∂ak∂J+j∂bk∂J)(k=0∑M−1(ak−jbk)∗p(−k))=p(−k)+p(−k)=2p(−k)

第二部分：
(∂J∂ak+j∂J∂bk)(∑k=0M−1(ak+jbk)∗p∗(−k))=p∗(−k)−p∗(−k)=0\left( \frac{\partial J}{\partial a_{k}} + j\frac{\partial J}{\partial b_{k}} \right)\left( \sum_{k = 0}^{M - 1}\left( a_{k} + jb_{k} \right)*p^{*}( - k) \right) = p^{*}( - k) - p^{*}( - k) = 0(∂ak∂J+j∂bk∂J)(k=0∑M−1(ak+jbk)∗p∗(−k))=p∗(−k)−p∗(−k)=0

第三部分：
(∂J∂ak+j∂J∂bk)(∑k=0M−1∑i=0M−1(ak+jbk)∗∗(ai+jbi)∗r(i−k))=(∂J∂ak+j∂J∂bk)(∑k=0M−1∑i=0M−1(ak−jbk)∗(ai+jbi)∗r(i−k))=∑i=0M−1(ai+jbi)r(i−k))+∑i=0M−1(ai+jbi)r(i−k))=2∑i=0M−1wi∗r(i−k)){\left( \frac{\partial J}{\partial a_{k}} + j\frac{\partial J}{\partial b_{k}} \right)\left( \sum_{k = 0}^{M - 1}{\sum_{i = 0}^{M - 1}{(a_{k} + jb_{k})^{*}}}*\left( a_{i} + jb_{i} \right)*r(i - k) \right) }{= \left( \frac{\partial J}{\partial a_{k}} + j\frac{\partial J}{\partial b_{k}} \right)\left( \sum_{k = 0}^{M - 1}{\sum_{i = 0}^{M - 1}\left( a_{k} - jb_{k} \right)}*\left( a_{i} + jb_{i} \right)*r(i - k) \right) }{= \sum_{i = 0}^{M - 1}{(a_{i} + jb_{i})r(i - k)}) + \sum_{i = 0}^{M - 1}{(a_{i} + jb_{i})r(i - k)}) = 2\sum_{i = 0}^{M - 1}{w_{i}*r(i - k)})}(∂ak∂J+j∂bk∂J)(k=0∑M−1i=0∑M−1(ak+jbk)∗∗(ai+jbi)∗r(i−k))=(∂ak∂J+j∂bk∂J)(k=0∑M−1i=0∑M−1(ak−jbk)∗(ai+jbi)∗r(i−k))=i=0∑M−1(ai+jbi)r(i−k))+i=0∑M−1(ai+jbi)r(i−k))=2i=0∑M−1wi∗r(i−k))

将这三部分都代入到原式中去，可得
∇kJ=−2∗p(−k)+2∑i=0M−1wir(i−k)\nabla_{k}J = - 2*p( - k) + 2\sum_{i = 0}^{M - 1}{w_{i}r(i - k)}∇kJ=−2∗p(−k)+2i=0∑M−1wir(i−k)

将wi→w0iw_{i} \rightarrow w_{0i}wi→w0i表示此时是最优解，而最优解下使得∇kJ=0\nabla_{k}J = 0∇kJ=0，上式就转化为维纳-霍夫方程，如下所示
−2∗p(−k)+2∑i=0M−1w0ir(i−k)=0- 2*p( - k) + 2\sum_{i = 0}^{M - 1}{w_{0i}r(i - k)} = 0−2∗p(−k)+2i=0∑M−1w0ir(i−k)=0

或
∑i=0M−1w0ir(i−k)=p(−k)\sum_{i = 0}^{M - 1}{w_{0i}r(i - k)} = p( - k)i=0∑M−1w0ir(i−k)=p(−k)

同样的，上述的维纳-霍夫方程也可以用矩阵的形式表述，这在之前正交性原理的推导过程已经证明过，这里直接引用其结果：
w→0=R−1∗P{\overset \rightarrow {w}}_{0} = R^{- 1}*Pw→0=R−1∗P

其中
R=[r(0)r(1)r(2)...r(M−1)r∗(1)r(0)r(1)...r(M−2)r∗(2)r∗(1)r(0)...r(M−3)...............r∗(M−1)r∗(M−2)r∗(M−3)...r(0)]R = \begin{bmatrix} r(0) & r(1) & r(2) & ... & r(M - 1) \\ r^{*}(1) & r(0) & r(1) & ... & r(M - 2) \\ r^{*}(2) & r^{*}(1) & r(0) & ... & r(M - 3) \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ r^{*}(M - 1) & r^{*}(M - 2) & r^{*}(M - 3) & ... & r(0) \end{bmatrix}R= r(0)r∗(1)r∗(2)...r∗(M−1)r(1)r(0)r∗(1)...r∗(M−2)r(2)r(1)r(0)...r∗(M−3)...............r(M−1)r(M−2)r(M−3)...r(0)

小结

这一节我们直接从代价函数出发，假设输入 u(n)u(n)u(n)与期望输出 d(n)d(n)d(n)是联合平稳，利用偏微分使其为0，推得维纳霍夫方程。也就是说，满足维纳-霍夫方程就可以使得滤波器工作在最优条件，此时估计误差的均方值最小。

输入 u(n)u(n)u(n)与期望输出 d(n)d(n)d(n)是联合平稳

↓\downarrow↓
∇kJ=0\nabla_{k}J = 0∇kJ=0
↓\downarrow↓
w→0=R−1∗P{\overset \rightarrow {w}}_{0} = R^{- 1}*Pw→0=R−1∗P

总结

满足维纳-霍夫方程的前提是

输入u(n)与期望响应d(n)是联合平稳，或者
正交原理

满足这两个条件的任意一个，即可利用维纳-霍夫方程求得滤波器的最优系数w→0{\overset \rightarrow {w}}_{0}w→0，基于该最优系数，滤波器输出的估计误差均方最小。

误差性能曲面->最小均方误差

在非最优条件下 ，均方误差的一般表达式如下。利用之前已经得到的结论：
J=σd2+E(∑k=0M−1(u(n−k)∗w∗k)∗∑i=0M−1(u∗(n−i)∗wi))−E(d(n)∗∑i=0M−1u∗(n−i)∗wi)−E(d∗(n)∗∑i=0M−1u(n−i)∗w∗i)J = \sigma_{d}^{2} + E\left( \sum_{k = 0}^{M - 1}{(u(n - k)*{w^{*}}{k}})*\sum{i = 0}^{M - 1}{(u^{*}(n - i)*w_{i}}) \right) - E\left( d(n)*\sum_{i = 0}^{M - 1}{u^{*}(n - i)*w_{i}} \right) - E\left( d^{*}(n)*\sum_{i = 0}^{M - 1}{u(n - i)*{w^{*}}_{i}} \right)J=σd2+E(k=0∑M−1(u(n−k)∗w∗k)∗i=0∑M−1(u∗(n−i)∗wi))−E(d(n)∗i=0∑M−1u∗(n−i)∗wi)−E(d∗(n)∗i=0∑M−1u(n−i)∗w∗i)

逐个击破上式，其中
E(d(n)∗∑i=0M−1u∗(n−i)∗wi)=PHw→E(d∗(n)∗∑i=0M−1u(n−i)∗w∗i)=w→HPE(∑k=0M−1(u(n−k)∗w∗k)∑i=0M−1(u∗(n−i)∗wi))=E(∑k=0M−1∑i=0M−1u(n−k)∗w∗k∗u∗(n−i)∗wi)=E(∑k=0M−1∑i=0M−1w∗k∗u(n−k)∗u∗(n−i)∗wi)=w→HRw→{E\left( d(n)*\sum_{i = 0}^{M - 1}{u^{*}(n - i)*w_{i}} \right) = P^{H}{\overset \rightarrow {w}} }{E\left( d^{*}(n)*\sum_{i = 0}^{M - 1}{u(n - i)*{w^{*}}{i}} \right) = {\overset \rightarrow {w}}^{H}P }{E\left( \sum{k = 0}^{M - 1}{(u(n - k)*{w^{*}}{k}})\sum{i = 0}^{M - 1}{(u^{*}(n - i)*w_{i}}) \right) = E\left( \sum_{k = 0}^{M - 1}{\sum_{i = 0}^{M - 1}{u(n - k)*{w^{*}}{k}}}*u^{*}(n - i)*w{i} \right) }{= E\left( \sum_{k = 0}^{M - 1}{\sum_{i = 0}^{M - 1}{{w^{*}}{k}*u(n - k)*}}u^{*}(n - i)*w{i} \right) }{= {\overset \rightarrow {w}}^{H}R{\overset \rightarrow {w}}}E(d(n)∗i=0∑M−1u∗(n−i)∗wi)=PHw→E(d∗(n)∗i=0∑M−1u(n−i)∗w∗i)=w→HPE(k=0∑M−1(u(n−k)∗w∗k)i=0∑M−1(u∗(n−i)∗wi))=E(k=0∑M−1i=0∑M−1u(n−k)∗w∗k∗u∗(n−i)∗wi)=E(k=0∑M−1i=0∑M−1w∗k∗u(n−k)∗u∗(n−i)∗wi)=w→HRw→

整理代入可得一般情况下（非最优条件下）的均方误差表达式

J=σd2+w→HRw→−PHw→−w→HP= \sigma_{d}^{2} + {\overset \rightarrow {w}}^{H}R{\overset \rightarrow {w}} - P^{H}{\overset \rightarrow {w}} - {\overset \rightarrow {w}}^{H}P=σd2+w→HRw→−PHw→−w→HP

由于R总是是非负实数定的厄米共轭矩阵，它满足R=RHR = R^{H}R=RH。当滤波器为最优解时，其系数满足Rw→0=PR{\overset \rightarrow {w}}{0} = PRw→0=P，即可使得最小J
Rw→0=P(Rw→0)H=PHw→0HRH=PHw→0HR=PHw→0H=PHR−1{R{\overset \rightarrow {w}}{0} = P }{{(R{\overset \rightarrow {w}}{0})}^{H} = P^{H} }{{{\overset \rightarrow {w}}{0}}^{H}R^{H} = P^{H} }{{{\overset \rightarrow {w}}{0}}^{H}R = P^{H} }{{{\overset \rightarrow {w}}{0}}^{H} = P^{H}R^{- 1}}Rw→0=P(Rw→0)H=PHw→0HRH=PHw→0HR=PHw→0H=PHR−1

将w→0H{{\overset \rightarrow {w}}{0}}^{H}w→0H代入J后继续写成下式，得到了最小均方误差，它和正交原理下得到的是一样的。
Jmin⁡=σd2+PHR−1Rw→0−PHw→0−PHR−1P=σd2+PHw→0−PHw→0−PHR−1P=σd2−PHR−1P{J{\min} = \sigma_{d}^{2} + P^{H}R^{- 1}R{\overset \rightarrow {w}}{0} - P^{H}{\overset \rightarrow {w}}{0} - P^{H}R^{- 1}P }{= \sigma_{d}^{2} + P^{H}{\overset \rightarrow {w}}{0} - P^{H}{\overset \rightarrow {w}}{0} - P^{H}R^{- 1}P }{= \sigma_{d}^{2} - P^{H}R^{- 1}P}Jmin=σd2+PHR−1Rw→0−PHw→0−PHR−1P=σd2+PHw→0−PHw→0−PHR−1P=σd2−PHR−1P

小结

这里的求取J最小的关键就在于使得Rw→=PR{\overset \rightarrow {w}} = PRw→=P，或者可以写成Rw→0=PR{\overset \rightarrow {w}}{0} = PRw→0=P，w→0{\overset \rightarrow {w}}{0}w→0的下标0表示最优解。所以实际上的w→0{\overset \rightarrow {w}}{0}w→0是可以直接求取的，前提是获得自相关函数和互相关函数！然而实际的应用中是无法直接得到R和P的，只能通过递归来实现R和P的求取，最后得到最优（次优）的滤波器系数w→0{\overset \rightarrow {w}}{0}w→0

误差性能曲面->均方误差规范形式

J在非最优解时的一般表达式为：
J=σd2+w→HRw→−PHw→−w→HP=σd2+w→HRw→−PHw→−w→HP+(PHR−1P−PHR−1P)=σd2−PHR−1P+(w→H−PHR−1)R(w→−R−1P)=σd2−PHR−1P+(w→−R−1P)HR(w→−R−1P){J = \sigma_{d}^{2} + {\overset \rightarrow {w}}^{H}R{\overset \rightarrow {w}} - P^{H}{\overset \rightarrow {w}} - {\overset \rightarrow {w}}^{H}P{= \sigma}{d}^{2} + {\overset \rightarrow {w}}^{H}R{\overset \rightarrow {w}} - P^{H}{\overset \rightarrow {w}} - {\overset \rightarrow {w}}^{H}P + (P^{H}R^{- 1}P - P^{H}R^{- 1}P) }{= \sigma{d}^{2} - P^{H}R^{- 1}P + \left( {\overset \rightarrow {w}}^{H} - P^{H}R^{- 1} \right)R\left( {\overset \rightarrow {w}} - R^{- 1}P \right) }{= \sigma_{d}^{2} - P^{H}R^{- 1}P + \left( {\overset \rightarrow {w}} - R^{- 1}P \right)^{H}R\left( {\overset \rightarrow {w}} - R^{- 1}P \right)}J=σd2+w→HRw→−PHw→−w→HP=σd2+w→HRw→−PHw→−w→HP+(PHR−1P−PHR−1P)=σd2−PHR−1P+(w→H−PHR−1)R(w→−R−1P)=σd2−PHR−1P+(w→−R−1P)HR(w→−R−1P)

将最优解时的 Jmin⁡=σd2−PHR−1P\ J_{\min} = \sigma_{d}^{2} - P^{H}R^{- 1}P Jmin=σd2−PHR−1P 代入上式，得到
J=σd2−PHR−1P+(w→−R−1P)HR(w→−R−1P)=Jmin⁡+(w→−R−1P)HR(w→−R−1P){J = \sigma_{d}^{2} - P^{H}R^{- 1}P + \left( {\overset \rightarrow {w}} - R^{- 1}P \right)^{H}R\left( {\overset \rightarrow {w}} - R^{- 1}P \right) }{= J_{\min} + \left( {\overset \rightarrow {w}} - R^{- 1}P \right)^{H}R\left( {\overset \rightarrow {w}} - R^{- 1}P \right)}J=σd2−PHR−1P+(w→−R−1P)HR(w→−R−1P)=Jmin+(w→−R−1P)HR(w→−R−1P)

当且仅当Rw→=PR{\overset \rightarrow {w}} = PRw→=P，或者可以写成Rw→0=PR{\overset \rightarrow {w}}{0} = PRw→0=P（唯一的最优解）时
J=Jmin⁡J = J{\min}J=Jmin

同时J还可以表示为
J=Jmin⁡+(w→−w0→)HR(w→−w0→)J = J_{\min} + \left( {\overset \rightarrow {w}} - {\overset \rightarrow {w_{0}}} \right)^{H}R\left( {\overset \rightarrow {w}} - {\overset \rightarrow {w_{0}}} \right)J=Jmin+(w→−w0→)HR(w→−w0→)

下面可以再次简化J的表达，我们通过特征值分解（关于特征值分解请看附录有关特征值，特征向量以及酉变换的相关描述），其中QQQ就是RRR的酉矩阵，Λ\LambdaΛ是对角线矩阵，对角线上的每一个元素就是RRR矩阵的不同特征值
R=QΛQHR = Q\Lambda Q^{H}R=QΛQH

可得
J=Jmin⁡+(w→−w0→)HQΛQH(w→−w0→)J = J_{\min} + \left( {\overset \rightarrow {w}} - {\overset \rightarrow {w_{0}}} \right)^{H}Q\Lambda Q^{H}\left( {\overset \rightarrow {w}} - {\overset \rightarrow {w_{0}}} \right)J=Jmin+(w→−w0→)HQΛQH(w→−w0→)

令矩阵 v =QH ( w⇀0−w⇀) \left. \ \left. \ v \right.\ = Q^{H}\left. \ ( \right.\ {\overset{\rightharpoonup}{w}}{0} - \overset{\rightharpoonup}{w}) \right.\ v =QH ( w⇀0−w⇀) 那么JJJ又可以重新被写为
J=Jmin⁡+vHΛvJ = J{\min} + v^{H}\Lambda vJ=Jmin+vHΛv

将上面的矩阵形式展开，可以得到误差性能曲面的规范形式 ：
J=Jmin⁡+[v1∗(n)v2∗(n)...vM∗(n)][λ10...00λ2...0............00...λM][v1(n)v2(n)...vM(n)]=Jmin⁡+λ1v1∗(n)v1(n)+...+λMvM∗(n)vM(n)=Jmin⁡+∑k=1Mλkvk∗(n)vk(n)=Jmin⁡+∑k=1Mλk∣vk(n) ∣ 2{\text{J} = \text{J}{\min} + \begin{bmatrix} {v{1}}^{*}(n) & {v_{2}}^{*}(n) & ... & {v_{M}}^{*}(n) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & ... & 0 \\ ... & ... & ... & \ldots \\ 0 & 0 & ... & \lambda_{M} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_{1}(n) \\ v_{2}(n) \\ ... \\ v_{M}(n) \end{bmatrix} }{= \text{J}{\min} + \lambda{1}{v_{1}}^{*}(n)v_{1}(n) + ... + \lambda_{M}{v_{M}}^{*}(n)v_{M}(n) }{= \text{J}{\min} + \sum{k = 1}^{M}{\lambda_{k}{v_{k}}^{*}(n)v_{k}(n)} = \text{J}{\min} + \sum{k = 1}^{M}{\lambda_{k}\left| v_{k}(n) \right.\ }\left. \ | \right.\ ^{2}}J=Jmin+[v1∗(n)v2∗(n)...vM∗(n)] λ10...00λ2...0............00...λM v1(n)v2(n)...vM(n) =Jmin+λ1v1∗(n)v1(n)+...+λMvM∗(n)vM(n)=Jmin+k=1∑Mλkvk∗(n)vk(n)=Jmin+k=1∑Mλk∣vk(n) ∣ 2

其中λk\lambda_{k}λk是RRR的第k个特征值，vkv_{k}vk是矩阵vvv的第k个元素。