我们将讨论另一种形式的磁共振信号，称为回波 (echo)。回波信号与自由感应衰减（FID）信号的一个区别特征在于其"双侧性 (two-sidedness)"：
- 回波信号的一侧源于横向磁化矢量的重聚焦相位 (Rephase)，另一侧则源于去相位周期(Dephase)。所以回波信号会先变大，在减少
- 自由感应衰减信号只有去相位周期(Dephase)，所以信号在一开始最大，后面一直在减少。
回波信号既可以通过多个射频脉冲产生，也可以通过磁场梯度反转产生。前者产生的信号称为射频回波 (RF echoes) ，后者产生的则称为梯度回波 (gradient echoes)。本节主要描述射频回波。
双脉冲回波 (Two-Pulse Echo)**
产生射频回波至少需要两个脉冲。我们从一个简单的双脉冲激发方案开始，该方案包含一个90°脉冲，随后是一个时间延迟 τ，然后再是一个180°脉冲。此激发方案表示为：
90∘−τ−180∘(4.19)90^{\circ}-\tau-180^{\circ} \tag{4.19}90∘−τ−180∘(4.19)
由此产生的回波信号称为自旋回波 (Spin Echo, SE)。
为了直观地理解自旋回波是如何形成的，我们跟踪所施加脉冲的作用以及横向磁化矢量的演化过程。为简化起见，我们假设90°脉冲沿 x′x'x′轴施加，180°脉冲沿 y′y'y′ 轴施加，并且进一步假设样品在旋转坐标系中有两个进动频率分别为 ωsω_sωs(慢) 和 ωfω_fωf(快) 的等色团 (isochromats)。在离共振效应 (或失谐)可忽略的条件下
- 90x′°90_{x'}\degree90x′°脉冲将两个磁化矢量都旋转到 y′y'y′ 轴上，如下图 a 所示。
- 脉冲结束后，这些矢量围绕 z 轴进动。由于一个(fff)比另一个(sss)进动得相对更快（顺时针），随着自由进动的继续，它们逐渐失去相位一致性。经过时间间隔 τττ后，两个矢量在横向平面上散开一个相位角 (ωf−ωs)τ(ω_f−ω_s)τ(ωf−ωs)τ，如下图 b 所示
- 180y′°180_{y'}\degree180y′°脉冲将两个矢量翻转到横向平面的另一侧，如下图 c 所示
- 脉冲结束后，较快的矢量(fff)现在落后 于较慢(sss)的矢量，其落后的相位角与180°脉冲前它领先的相位角相同。由于两个矢量将继续以角频率 ωfω_fωf和 ωsω_sωs顺时针进动（假设磁场不均匀性是时不变的），较快的等色团(fff)将在时间间隔 τ\tauτ后"追上 "较慢的等色团(sss)，从而在时间 t=2τt=2\taut=2τ时在两个矢量之间重建相位一致性，如下图 d 所示
尽管上图仅展示了两组等色团的重聚相位 (rephasing) 过程，但该分析可推广至任意数量的等色团。实际上，由于真实样品中存在大量等色团，在施加 180y′°180_{y'}\degree180y′°脉冲的 t=τt=\taut=τ 时刻，去相位 (dephasing，或说失相)已经使得横向磁化矢量 Mx′y′M_{x'y'}Mx′y′完全消失，所以 FID 信号在 t=τt=\taut=τ 时消失。在 180y′°180_{y'}\degree180y′°脉冲之后，Mx′y′M_{x'y'}Mx′y′逐渐增长并在 t=2τt=2\taut=2τ 时达到最大值，如下图所示。
值得注意的是，上图展示了两个弛豫时间，分别是T2T_2T2和T2∗T_{2}^*T2∗，看得出来后者小于前者。基于之前的分析可知，T2T_2T2是因为原子核之间的相互影响（自旋-晶格、自旋-自旋相互作用）造成的，此影响是随机的，不可恢复的；T2∗T_{2}^*T2∗则是因为B0B_0B0的不均匀造成的，此影响是工艺造成的，短时间内不随时间变化，是确定性的，可恢复的。再进一步观察，即使 脉冲使得相位开始重聚，但是因为原子核之间互相影响造成的失相是不可恢复 的，所以在 t=2τt=2\taut=2τ 探测信号即使达到峰值，该峰值相较于t=0t=0t=0时刻，仍有e−2τ/T2e^{-2\tau/T_2}e−2τ/T2的衰减（T2T_2T2弛豫）。
如果我们忽略 T2T_2T2 弛豫，那么在 180y′°180_{y'}\degree180y′° 脉冲之前的自由进动期间导致等色团间相位一致性丢失的机制，与脉冲后导致相位一致性恢复的机制是相同的。因此，Mx′y′M_{x'y'}Mx′y′作为时间的函数具有对称特性：
∣Mx′y′(τ−t)∣=∣Mx′y′(τ+t)∣0≤t≤τ(4.20) |M_{x^{\prime}y^{\prime}}(\tau-t)| = |M_{x^{\prime}y^{\prime}}(\tau+t)| \qquad 0 \leq t \leq \tau \qquad (4.20) ∣Mx′y′(τ−t)∣=∣Mx′y′(τ+t)∣0≤t≤τ(4.20)
该公式表明，横向磁化矢量的大小 ∣Mx′y′(t)∣|M_{x^{\prime}y^{\prime}}(t)|∣Mx′y′(t)∣ 在时间点 t=τt = \taut=τ 处具有镜像对称性 。即在 t=τt = \taut=τ 之前某时刻 (τ−t)(\tau - t)(τ−t) 的信号幅度，与之后相同时刻 (τ+t)(\tau + t)(τ+t) 的信号幅度相等。由于横向磁化矢量 Mx′y′M_{x'y'}Mx′y′ 在 t=τt=\taut=τ 时因失相 而完全消失，其在 t>τt>\taut>τ 时的"重生"是180°脉冲重聚焦能力 的结果。因此，t>τt>\taut>τ 时的 Mx′y′(t)M_{x'y'}(t)Mx′y′(t) 通常被称为被重新召集的（重聚的）横向磁化 。其中，重聚部分 (τ<t<2τ\tau<t<2\tauτ<t<2τ) 负责回波信号的一侧 ，而随后的失相部分 (t>2τt>2\taut>2τ) 则负责回波信号的另一侧。
推导背景：
在 90∘−τ−180∘90^{\circ}-\tau-180^{\circ}90∘−τ−180∘ 脉冲序列中，t=τt = \taut=τ 时刻（即 180∘180^{\circ}180∘ 脉冲施加的时刻），由于失相，横向磁化 Mx′y′M_{x^{\prime}y^{\prime}}Mx′y′ 完全消失。t>τt > \taut>τ 时段信号的"重生"是 180∘180^{\circ}180∘ 脉冲重聚焦能力的结果。因此，t>τt > \taut>τ 时段的 Mx′y′(t)M_{x^{\prime}y^{\prime}}(t)Mx′y′(t) 常被称为 "被重新召集的（重聚焦的）横向磁化" 。其中，重聚焦部分 (τ<t<2τ\tau < t < 2\tauτ<t<2τ) 负责回波信号的一侧，随后的失相部分 (t>2τt > 2\taut>2τ) 负责另一侧。
为了更一般化地推导回波信号，我们考虑以下双脉冲序列。其中 α1\alpha_1α1 和 α2\alpha_2α2 是两个任意角度的射频脉冲， τ\tauτ 是时间间隔。
α1−τ−α2(4.21) \alpha_{1} - \tau - \alpha_{2} \tag {4.21} α1−τ−α2(4.21)
假设这两个脉冲都是y′y'y′方向的，在开始正式的分析前，我们先来回顾 αy′\alpha_{y^{\prime}}αy′ 脉冲和时间 τ\tauτ 对宏观磁化分量的影响，首先是脉冲 αy′\alpha_{y^{\prime}}αy′ 前后的转换：
Mx′My′Mz′\]⟶αy′\[Mx′cosα−Mz′sinαMy′Mx′sinα+Mz′cosα\](4.22) \\begin{bmatrix} M_{x\^{\\prime}} \\\\ M_{y\^{\\prime}} \\\\ M_{z\^{\\prime}} \\end{bmatrix} \\stackrel{{\\alpha_{y\^{\\prime}}}}{\\longrightarrow} \\begin{bmatrix} M_{x\^{\\prime}}\\cos\\alpha - M_{z\^{\\prime}}\\sin\\alpha \\\\ M_{y\^{\\prime}} \\\\ M_{x\^{\\prime}}\\sin\\alpha + M_{z\^{\\prime}}\\cos\\alpha \\end{bmatrix} \\tag {4.22} Mx′My′Mz′ ⟶αy′ Mx′cosα−Mz′sinαMy′Mx′sinα+Mz′cosα (4.22) 此矩阵变换描述了在旋转坐标系中，一个沿 y′y'y′ 轴施加、翻转角为 α\\alphaα 的射频脉冲对磁化矢量各分量 (Mx′,My′,Mz′)(M_{x\^{\\prime}}, M_{y\^{\\prime}}, M_{z\^{\\prime}})(Mx′,My′,Mz′) 的影响。该脉冲会混合 x′x'x′ 和 z′z'z′ 分量，而 y′y'y′ 分量保持不变。 下面的公式描述了磁化矢量在时间间隔 τ\\tauτ 内的演化 \[Mx′My′Mz′\]⟶τ\[(Mx′cosωτ+My′sinωτ)e−τ/T2(−Mx′sinωτ+My′cosωτ)e−τ/T2Mz0(1−e−τ/T1)+Mz′e−τ/T1\](4.23) \\begin{bmatrix} M_{x\^{\\prime}} \\\\ M_{y\^{\\prime}} \\\\ M_{z\^{\\prime}} \\end{bmatrix} \\stackrel{{\\tau}}{\\longrightarrow} \\begin{bmatrix} (M_{x\^{\\prime}}\\cos\\omega\\tau + M_{y\^{\\prime}}\\sin\\omega\\tau)e\^{-\\tau/T_{2}} \\\\ (-M_{x\^{\\prime}}\\sin\\omega\\tau + M_{y\^{\\prime}}\\cos\\omega\\tau)e\^{-\\tau/T_{2}} \\\\ M_{z}\^{0}(1 - e\^{-\\tau/T_{1}}) + M_{z\^{\\prime}}e\^{-\\tau/T_{1}} \\end{bmatrix} \\tag {4.23} Mx′My′Mz′ ⟶τ (Mx′cosωτ+My′sinωτ)e−τ/T2(−Mx′sinωτ+My′cosωτ)e−τ/T2Mz0(1−e−τ/T1)+Mz′e−τ/T1 (4.23) * **横向分量 (Mx′,My′M_{x\^{\\prime}}, M_{y\^{\\prime}}Mx′,My′)** ：以频率 ω\\omegaω 在横向平面内进动（cosωτ\\cos\\omega\\taucosωτ 和 sinωτ\\sin\\omega\\tausinωτ 项），同时其幅度以时间常数 T2T_2T2 指数衰减 (e−τ/T2e\^{-\\tau/T_{2}}e−τ/T2)。 * **纵向分量 (Mz′M_{z\^{\\prime}}Mz′)** ：以时间常数 T1T_1T1 弛豫恢复至其热平衡值 Mz0M_{z}\^{0}Mz0。 正式开始分析双脉冲序列，考虑一个频率为 ω\\omegaω 的任意等色团，初始处于热平衡状态（只有Mz0(ω)M_{z}\^{0}(\\omega)Mz0(ω)）。在施加 α1,y′\\alpha_{1,y'}α1,y′ 脉冲后瞬间，其磁化分量为： Mx′(ω,0+)=−Mz0(ω)sinα1My′(ω,0+)=0Mz′(ω,0+)=Mz0(ω)cosα1 \\begin{align\*} M_{x\^{\\prime}}(\\omega, 0_{+}) \&= -M_{z}\^{0}(\\omega)\\sin\\alpha_{1} \\\\ M_{y\^{\\prime}}(\\omega, 0_{+}) \&= 0 \\\\ M_{z\^{\\prime}}(\\omega, 0_{+}) \&= M_{z}\^{0}(\\omega)\\cos\\alpha_{1} \\end{align\*} Mx′(ω,0+)My′(ω,0+)Mz′(ω,0+)=−Mz0(ω)sinα1=0=Mz0(ω)cosα1 经过 τ\\tauτ 延迟后，磁化分量演化为： Mx′(ω,τ)=−Mz0(ω)sinα1cosωτe−τ/T2My′(ω,τ)=Mz0(ω)sinα1sinωτe−τ/T2Mz′(ω,τ)=Mz0(ω)\[1−e−τ/T1\]+Mz0(ω)cosα1e−τ/T1=Mz0(ω)\[1−(1−cosα1)e−τ/T1\] \\begin{align\*} M_{x\^{\\prime}}(\\omega, \\tau) \&= -M_{z}\^{0}(\\omega)\\sin\\alpha_{1} \\cos\\omega\\tau e\^{-\\tau/T_{2}} \\tag {4.24a} \\\\ M_{y\^{\\prime}}(\\omega, \\tau) \&= M_{z}\^{0}(\\omega)\\sin\\alpha_{1} \\sin\\omega\\tau e\^{-\\tau/T_{2}} \\tag {4.24b} \\\\ M_{z\^{\\prime}}(\\omega, \\tau) \&= M_{z}\^{0}(\\omega)\[1 - e\^{-\\tau/T_{1}}\] + M_{z}\^{0}(\\omega)\\cos\\alpha_{1} e\^{-\\tau/T_{1}} \\\\ \&= M_{z}\^{0}(\\omega)\[1 - (1 - \\cos\\alpha_{1})e\^{-\\tau/T_{1}}\] \\tag {4.24c} \\end{align\*} Mx′(ω,τ)My′(ω,τ)Mz′(ω,τ)=−Mz0(ω)sinα1cosωτe−τ/T2=Mz0(ω)sinα1sinωτe−τ/T2=Mz0(ω)\[1−e−τ/T1\]+Mz0(ω)cosα1e−τ/T1=Mz0(ω)\[1−(1−cosα1)e−τ/T1\](4.24a)(4.24b)(4.24c) **推导解释：** * 将初始热平衡值 (0,0,Mz0)(0, 0, M_z\^0)(0,0,Mz0) 代入脉冲变换公式 (4.22)，得到 0+0_+0+ 时刻的值。 * 再将 0+0_+0+ 时刻的值代入自由演化公式 (4.23)，并经过代数整理，得到 τ\\tauτ 时刻的各分量表达式。 * (4.24c) 中的简化展示了纵向弛豫的最终表达式，它由两部分组成：从零恢复的部分 (1−e−τ/T11-e\^{-\\tau/T_1}1−e−τ/T1) 和从初始值 Mz0cosα1M_z\^0 \\cos\\alpha_1Mz0cosα1 衰减的部分(e−τ/T1e\^{-\\tau/T_1}e−τ/T1) 。 α2\\alpha_2α2 脉冲对 y′y'y′ 分量没有影响，但将 τ\\tauτ 时刻的 x′x'x′ 和 z′z'z′ 分量变换为以下新值： Mx′(ω,τ+)=−Mz0(ω)sinα1cosα2cosωτe−τ/T2−Mz0(ω)\[1−(1−cosα1)e−τ/T1\]sinα2Mz′(ω,τ+)=Mz0(ω)\[1−(1−cosα1)e−τ/T1\]cosα2−Mz0(ω)sinα1sinα2cosωτe−τ/T2 \\begin{align\*} M_{x\^{\\prime}}(\\omega, \\tau_{+}) \&= -M_{z}\^{0}(\\omega)\\sin\\alpha_{1}\\cos\\alpha_{2} \\cos\\omega\\tau e\^{-\\tau/T_{2}} \\\\ \&\\quad - M_{z}\^{0}(\\omega)\[1 - (1 - \\cos\\alpha_{1})e\^{-\\tau/T_{1}}\] \\sin\\alpha_{2} \\tag {4.25a} \\\\ M_{z\^{\\prime}}(\\omega, \\tau_{+}) \&= M_{z}\^{0}(\\omega)\[1 - (1 - \\cos\\alpha_{1})e\^{-\\tau/T_{1}}\] \\cos\\alpha_{2} \\\\ \&\\quad - M_{z}\^{0}(\\omega)\\sin\\alpha_{1} \\sin\\alpha_{2} \\cos\\omega\\tau e\^{-\\tau/T_{2}} \\tag {4.25b} \\end{align\*} Mx′(ω,τ+)Mz′(ω,τ+)=−Mz0(ω)sinα1cosα2cosωτe−τ/T2−Mz0(ω)\[1−(1−cosα1)e−τ/T1\]sinα2=Mz0(ω)\[1−(1−cosα1)e−τ/T1\]cosα2−Mz0(ω)sinα1sinα2cosωτe−τ/T2(4.25a)(4.25b) 将 τ\\tauτ 时刻的磁化矢量 \[Mx′(τ),My′(τ),Mz′(τ)\]\[M_{x\^{\\prime}}(\\tau), M_{y\^{\\prime}}(\\tau), M_{z\^{\\prime}}(\\tau)\]\[Mx′(τ),My′(τ),Mz′(τ)\] 作为公式 (4.22) 的输入，施加 αy′\\alpha_{y'}αy′ 脉冲（此处 α=α2\\alpha = \\alpha_2α=α2），即可得到这些表达式。My′M_{y\^{\\prime}}My′ 分量的变换未列出，因为 αy′\\alpha_{y'}αy′ 脉冲对齐没有影响 通过三角恒等式 cosα2=cos2α22−sin2α22\\cos\\alpha_2 = \\cos\^2\\frac{\\alpha_2}{2} - \\sin\^2\\frac{\\alpha_2}{2}cosα2=cos22α2−sin22α2 ，对 (4.25a) 的第一项进行了代数变形， τ+\\tau_+τ+ 时刻的 x′x'x′ 分量可以重写为： Mx′(ω,τ+)=−Mz0(ω)sinα1cos2α22cosωτe−τ/T2+Mz0(ω)sinα1sin2α22cosωτe−τ/T2−Mz0(ω)\[1−(1−cosα1)e−τ/T1\]sinα2 \\begin{align\*} M_{x\^{\\prime}}(\\omega, \\tau_{+}) \&= -M_{z}\^{0}(\\omega)\\sin\\alpha_{1}\\cos\^{2}\\frac{\\alpha_{2}}{2} \\cos\\omega\\tau e\^{-\\tau/T_{2}} \\\\ \&\\quad + M_{z}\^{0}(\\omega)\\sin\\alpha_{1}\\sin\^{2}\\frac{\\alpha_{2}}{2} \\cos\\omega\\tau e\^{-\\tau/T_{2}} \\\\ \&\\quad - M_{z}\^{0}(\\omega)\[1 - (1 - \\cos\\alpha_{1})e\^{-\\tau/T_{1}}\] \\sin\\alpha_{2} \\tag {4.26} \\end{align\*} Mx′(ω,τ+)=−Mz0(ω)sinα1cos22α2cosωτe−τ/T2+Mz0(ω)sinα1sin22α2cosωτe−τ/T2−Mz0(ω)\[1−(1−cosα1)e−τ/T1\]sinα2(4.26) 利用 1=cos2α22+sin2α221 = \\cos\^2\\frac{\\alpha_2}{2} + \\sin\^2\\frac{\\alpha_2}{2}1=cos22α2+sin22α2 对 (4.24b) 的第一项进行了代数变形， τ+\\tau_+τ+ 时刻的 y′y'y′ 分量可以重写为： My′(ω,τ+)=Mz0(ω)sinα1cos2α22sinωτe−τ/T2+Mz0(ω)sinα1sin2α22sinωτe−τ/T2(4.27) \\begin{align\*} M_{y\^{\\prime}}(\\omega,\\tau_{+})\&=M_{z}\^{0}(\\omega)\\sin\\alpha_{1}\\cos\^{2}\\frac{\\alpha_{2}}{2}\\sin\\omega\\tau e\^{-\\tau/T_{2}}\\\\ \&\\quad+M_{z}\^{0}(\\omega)\\sin\\alpha_{1}\\sin\^{2}\\frac{\\alpha_{2}}{2}\\sin\\omega\\tau e\^{-\\tau/T_{2}} \\end{align\*}\\tag {4.27} My′(ω,τ+)=Mz0(ω)sinα1cos22α2sinωτe−τ/T2+Mz0(ω)sinα1sin22α2sinωτe−τ/T2(4.27) 将 τ+\\tau_+τ+ 时刻的 x′x'x′ 和 y′y'y′ 磁化分量组合成了**复横向磁化矢量** Mx′y′=Mx′+iMy′M_{x'y'} = M_{x'} + iM_{y'}Mx′y′=Mx′+iMy′ 的紧凑形式（此处的ωτ\\omega\\tauωτ是顺时针和x′x'x′的角度，而欧拉公式的角度是逆时针和x′x'x′的角度）： Mx′y′(ω,τ+) = Mz0(ω)sinα1(sin2α22e−iωτ−cos2α22eiωτ)e−τ/T2 −Mz0(ω)\[1−(1−cosα1)e−τ/T1\]sinα2(4.28) \\begin{align\*} M_{x\^{\\prime}y\^{\\prime}}(\\omega,\\tau_{+})\\,=\\,\&\\,M_{z}\^{0}(\\omega)\\sin\\alpha_{1}\\left(\\sin\^{2}\\frac{\\alpha_{2}}{2}e\^{-i\\omega\\tau}-\\cos\^{2}\\frac{\\alpha_{2}}{2}e\^{i\\omega\\tau}\\right)e\^{-\\tau/T_{2}}\\\\ \&\\,-M_{z}\^{0}(\\omega)\[1-(1-\\cos\\alpha_{1})e\^{-\\tau/T_{1}}\]\\sin\\alpha_{2} \\end{align\*}\\tag {4.28} Mx′y′(ω,τ+)=Mz0(ω)sinα1(sin22α2e−iωτ−cos22α2eiωτ)e−τ/T2−Mz0(ω)\[1−(1−cosα1)e−τ/T1\]sinα2(4.28) **第一项 (横向部分)** : Mz0(ω)sinα1(sin2α22e−iωτ−cos2α22eiωτ)e−τ/T2M_{z}\^{0}(\\omega)\\sin\\alpha_{1}\\left(\\sin\^{2}\\frac{\\alpha_{2}}{2}e\^{-i\\omega\\tau}-\\cos\^{2}\\frac{\\alpha_{2}}{2}e\^{i\\omega\\tau}\\right)e\^{-\\tau/T_{2}}Mz0(ω)sinα1(sin22α2e−iωτ−cos22α2eiωτ)e−τ/T2 * 该项包含了由前两个脉冲产生的横向磁化，其演化与频率 ω\\omegaω 和 T2T_2T2 弛豫相关。 **第二项 (纵向衍生部分)** : −Mz0(ω)\[1−(1−cosα1)e−τ/T1\]sinα2-M_{z}\^{0}(\\omega)\[1-(1-\\cos\\alpha_{1})e\^{-\\tau/T_{1}}\]\\sin\\alpha_{2}−Mz0(ω)\[1−(1−cosα1)e−τ/T1\]sinα2 * 该项源于第二个脉冲 (α2\\alpha_2α2) 作用于 τ\\tauτ 时刻的纵向磁化 Mz′(ω,τ)M_{z'}(\\omega, \\tau)Mz′(ω,τ)。这部分磁化在脉冲前是纵向的，脉冲后其一部分被扳倒到横向平面，但其相位与频率 ω\\omegaω **无关**。 下面的公式描述了第二个脉冲之后 (t\>τt \> \\taut\>τ)，复横向磁化矢量在旋转坐标系中的**自由进动和弛豫演化** 。 Mx′y′(ω,t)=Mx′y′(ω,τ+)e−(t−τ)/T2e−iω(t−τ)=Mz0(ω)sinα1(−cos2α22e−iωτ+sin2α22eiωτ)e−t/T2e−iω(t−τ)−Mz0(ω)\[1−(1−cosα1)e−τ/T1\]sinα2e−(t−τ)/T2e−iω(t−τ)=Mz0(ω)sinα1sin2α22e−t/T2e−iω(t−2τ)−Mz0(ω)sinα1cos2α22e−t/T2e−iωt−Mz0(ω)\[1−(1−cosα1)e−τ/T1\]sinα2e−(t−τ)/T2e−iω(t−τ)(4.29) \\begin{align\*} M_{x\^{\\prime}y\^{\\prime}}(\\omega,t)\&=M_{x\^{\\prime}y\^{\\prime}}(\\omega,\\tau_{+})e\^{-(t-\\tau)/T_{2}}e\^{-i\\omega(t-\\tau)}\\\\ \&=M_{z}\^{0}(\\omega)\\sin\\alpha_{1}\\left(-\\cos\^{2}\\frac{\\alpha_{2}}{2}e\^{-i\\omega\\tau}+\\sin\^{2}\\frac{\\alpha_{2}}{2}e\^{i\\omega\\tau}\\right)e\^{-t/T_{2}}e\^{-i\\omega(t-\\tau)}\\\\ \&\\quad-M_{z}\^{0}(\\omega)\[1-(1-\\cos\\alpha_{1})e\^{-\\tau/T_{1}}\]\\sin\\alpha_{2}e\^{-(t-\\tau)/T_{2}}e\^{-i\\omega(t- \\tau)}\\\\ \&=M_{z}\^{0}(\\omega)\\sin\\alpha_{1}\\sin\^{2}\\frac{\\alpha_{2}}{2}e\^{-t/T_{2}}e\^{-i\\omega(t-2\\tau)}\\\\ \&\\quad-M_{z}\^{0}(\\omega)\\sin\\alpha_{1}\\cos\^{2}\\frac{\\alpha_{2}}{2}e\^{-t/T_{2}}e\^{-i\\omega t}\\\\ \&\\quad-M_{z}\^{0}(\\omega)\[1-(1-\\cos\\alpha_{1})e\^{-\\tau/T_{1}}\]\\sin\\alpha_{2}e\^{-(t-\\tau)/T_{2}}e\^{-i\\omega(t-\\tau)} \\end{align\*}\\tag{4.29} Mx′y′(ω,t)=Mx′y′(ω,τ+)e−(t−τ)/T2e−iω(t−τ)=Mz0(ω)sinα1(−cos22α2e−iωτ+sin22α2eiωτ)e−t/T2e−iω(t−τ)−Mz0(ω)\[1−(1−cosα1)e−τ/T1\]sinα2e−(t−τ)/T2e−iω(t−τ)=Mz0(ω)sinα1sin22α2e−t/T2e−iω(t−2τ)−Mz0(ω)sinα1cos22α2e−t/T2e−iωt−Mz0(ω)\[1−(1−cosα1)e−τ/T1\]sinα2e−(t−τ)/T2e−iω(t−τ)(4.29) **第一行 (通用演化公式)** : Mx′y′(ω,t)=Mx′y′(ω,τ+)e−(t−τ)/T2e−iω(t−τ)M_{x\^{\\prime}y\^{\\prime}}(\\omega,t) = M_{x\^{\\prime}y\^{\\prime}}(\\omega,\\tau_{+}) e\^{-(t-\\tau)/T_{2}} e\^{-i\\omega(t-\\tau)}Mx′y′(ω,t)=Mx′y′(ω,τ+)e−(t−τ)/T2e−iω(t−τ) - 这是旋转坐标系中磁化矢量演化的标准形式：幅度以 T2T_2T2 时间常数指数衰减 (e−(t−τ)/T2e\^{-(t-\\tau)/T_{2}}e−(t−τ)/T2)，同时以频率 ω\\omegaω 绕 z′z'z′轴进动 (e−iω(t−τ)e\^{-i\\omega(t-\\tau)}e−iω(t−τ))。 **后续行 (展开式)** : 将公式 (4.28) 代入第一行的通用公式，并进行代数展开和整理，得到三项。 仔细的查看这三项，他们都适用于 (t\>τt \> \\taut\>τ)： 第一项：Mz0(ω)sinα1sin2α22e−t/T2e−iω(t−2τ)M_{z}\^{0}(\\omega)\\sin\\alpha_{1}\\sin\^{2}\\frac{\\alpha_{2}}{2}e\^{-t/T_{2}}e\^{-i\\omega(t-2\\tau)}Mz0(ω)sinα1sin22α2e−t/T2e−iω(t−2τ)：包含相位因子 e−iω(t−2τ)e\^{-i\\omega(t-2\\tau)}e−iω(t−2τ)。当 t=2τt = 2\\taut=2τ 时，此因子变为 e0=1e\^{0} = 1e0=1，意味着所有频率成分的相位在该时刻都会重新回到0相位，这标志着**回波的形成**，这个过程就是相位重聚。 第二项：−Mz0(ω)sinα1cos2α22e−t/T2e−iωt-M_{z}\^{0}(\\omega)\\sin\\alpha_{1}\\cos\^{2}\\frac{\\alpha_{2}}{2}e\^{-t/T_{2}}e\^{-i\\omega t}−Mz0(ω)sinα1cos22α2e−t/T2e−iωt：包含相位因子−iωt\^{-i\\omega t}−iωt，不同频率成分会有不同的相位。当这些不同频率横向宏观磁化矢量成分叠加后，因为相位的不一致而快速减弱。 第三项：−Mz0(ω)\[1−(1−cosα1)e−τ/T1\]sinα2e−(t−τ)/T2e−iω(t−τ)-M_{z}\^{0}(\\omega)\[1-(1-\\cos\\alpha_{1})e\^{-\\tau/T_{1}}\]\\sin\\alpha_{2}e\^{-(t-\\tau)/T_{2}}e\^{-i\\omega(t-\\tau)}−Mz0(ω)\[1−(1−cosα1)e−τ/T1\]sinα2e−(t−τ)/T2e−iω(t−τ)：包含相位因子e−iω(t−τ)e\^{-i\\omega(t-\\tau)}e−iω(t−τ)，不同频率成分会有不同的相位。当这些不同频率横向宏观磁化矢量成分叠加后，因为相位的不一致而快速减弱。 对一个存在频谱分布的系统而言，第二项和第三项都是一个纯失相项，而第一项在逐渐的聚相。在当 t=2τt = 2\\taut=2τ 时，该项产生了一个回波信号，它可以被表达为： S(t)=sinα1sin2α22∫−∞∞ρ(ω)e−t/T2(ω)e−iω(t−TE)dω,when∣t−TE∣≤Tacq/2(4.30) S(t)=\\sin\\alpha_{1}\\sin\^{2}\\frac{\\alpha_{2}}{2}\\int_{-\\infty}\^{\\infty}\\rho(\\omega)e\^{-t/T_{2}(\\omega)}e\^{-i\\omega(t-T_{E})}d\\omega, when \|t-T_{E}\|\\leq T_{acq}/2\\tag {4.30} S(t)=sinα1sin22α2∫−∞∞ρ(ω)e−t/T2(ω)e−iω(t−TE)dω,when∣t−TE∣≤Tacq/2(4.30) 其中： * TE=2τT_{E}=2\\tauTE=2τ，是回波的峰值发生的时刻 * TacqT_{acq}Tacq，是数据采样间隔，表示信号在回波峰附近的一个时间窗口（数据采集间隔）内被记录 * ρ(ω)\\rho(\\omega)ρ(ω): **质子密度谱**，表示不同进动频率的质子分布。 * e−t/T2(ω)e\^{-t/T_{2}(\\omega)}e−t/T2(ω): **T2T_2T2 弛豫衰减**因子，导致信号随时间指数衰减。 * e−iω(t−TE)e\^{-i\\omega(t-T_{E})}e−iω(t−TE): **相位演化** 因子。当 t=TE=2τt = T_E = 2\\taut=TE=2τ 时，此项为 1，所有频率成分同相位，信号达到最大值（回波峰）。 回波时间t=TEt=T_Et=TE时刻测得的**回波峰值振幅** AEA_EAE为 AE=sinα1sin2α22∫−∞∞ρ(ω)e−TE/T2(ω)dω(4.31) A_{E}=\\sin\\alpha_{1}\\sin\^{2}\\frac{\\alpha_{2}}{2}\\int_{-\\infty}\^{\\infty}\\rho(\\omega)e\^{-T_{E}/T_{2}(\\omega)}d\\omega\\tag {4.31}AE=sinα1sin22α2∫−∞∞ρ(ω)e−TE/T2(ω)dω(4.31) 假设 T2T_2T2 与空间位置（进而与频率 ω\\omegaω）无关，上式可以进一步简化为 AE=Mz0sinα1sin2α22e−TE/T2(4.32) A_{E}=M_{z}\^{0}\\sin\\alpha_{1}\\sin\^{2}\\frac{\\alpha_{2}}{2}e\^{-T_{E}/T_{2}}\\tag {4.32} AE=Mz0sinα1sin22α2e−TE/T2(4.32) 当 α1=90∘\\alpha_1 = 90\^{\\circ}α1=90∘ 和 α2=180∘\\alpha_2 = 180\^{\\circ}α2=180∘ 时，sinα1sin2α22=1∗1=1\\sin\\alpha_{1}\\sin\^{2}\\frac{\\alpha_{2}}{2} = 1 \* 1 = 1sinα1sin22α2=1∗1=1，得到最大可能的回波振幅 AEmax=Mz0e−TE/T2A_{E}\^{max} = M_{z}\^{0} e\^{-T_{E}/T_{2}}AEmax=Mz0e−TE/T2。这仍比初始 FID 的最大值 () 小 倍，原因是 T2T_2T2 弛豫（随机波动）不可逆，无法被重聚焦脉冲恢复。 同时，回波振幅 AEA_EAE 随回波时间 TET_ETE 呈指数衰减，衰减时间常数为 T2T_2T2。这就是T2T_2T2 加权\*\*的数学来源。