dp 总结 1
闲来无事, 把刚学明白的 dp 笔记整理一下.
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基本的, 状态, 转移, 方程
状态
一句话概况即为当前的属性.
比如说, 贝贝现在是 \(30\) 岁, 发了 \(0\) 张专辑, 我们就可以说 \(f_{30}=0\).
这里我们说 \(30\) 和 \(0\) 是不同的信息, 所以一个状态 \(f_{x}=y\) 里包含的信息其实有 \(x\) 和 \(y\).
同样的, \(f_{x,y}=z\) 里包含的信息有 \(3\) 个, 即 \(x\) \(y\) \(z\).
转移
转移, 就是说用 \(f_{x}\) 推算 \(f_{y}\), 或者用 \(f_{x}\) 和 \(f_{y}\) 推算 \(f_{z}\).
举个例子.
贝贝的新专辑 "金手指", 第 \(x\) 首歌是 boombap 还是 trap 取决于第 \(x-1\) 首和第 \(x-2\) 首, 即 \(f_{x}=(f_{x-1}+f_{x-2}) \bmod 2\). 那么我们就说 \(f_{x}\) 由 \(f_{x-1}\) 和 \(f_{x-2}\) 转移而来.
方程
方程就是把转移的过程写成人类能看懂的东西, 比如 "数学语言" "自然语言" "编程语言".
线性 dp
最简单的线性 dp, 就是跳跃问题.
考虑状态, 我们让 \(f_{x}\) 表示现在位于 \(stone_{x}\) 时最少跳了多少.
转移就比较容易了, \(f_{x}=\operatorname{std::min}(f_{x-2}+|h_{x-2}-h_{x}|,f_{x-1}+|h_{x-1}-h_{x}|)\).
没什么好讲的, 注意边界条件初始化就好了, 难的题就很难.
背包 dp
这个就好玩了.
01 背包
我个人觉得背包 dp 和线性 dp 大抵是有血缘关系的罢.
可以想到, 我们让 \(f_{c}\) 表示在背包容量为 \(c\) 时的最大价值.
于是有转移方程 \(f_{c}=\operatorname{std::max}(f_{c},f_{c-w_{x}}+v_{x})\).
那么这时候我们有一个问题.
如果内层循环从 \(w_{x}\) 枚举到 \(W\), 那么有可能会造成重复选择, 但题意说每个物品只有 \(1\) 个.
于是我们可以调转内层循环的方向, 从 \(W\) 枚举到 \(w_{x}\), 此时每个物品就只会被选一次了.
代码
cpp
for(ll x=1;x<=n;x++) // 枚举每个物品
for(ll c=W;w[x]<=c;c--) // 枚举背包大小
f[c]=std::max(f[c],f[c-w[x]]+v[x]); // 转移
std::cout<<f[W]<<"\n";完全背包
再考虑, 如果每个物品可以选无数次呢?
显然, 只要把内层循环的方向调回去就可以了.
cpp
for(ll x=1;x<=n;x++) // 枚举每个物品
for(ll c=w[x];c<=W;c++) // 枚举背包大小
f[c]=std::max(f[c],f[c-w[x]]+v[x]); // 转移
std::cout<<f[W]<<"\n";多重背包
现在我们说, 每个物品不止有 \(1\) 个, 但也不能无限选, 于是我们说物品 \(x\) 有 \(t_{x}\) 个, 这就是多重背包.
如果当成 \(t_{x}\) 个相同物品那么显然会超时, 因为 \(\sum\limits_{x\in[1,n]}t_{x}\ge+\infin\).
于是我们想, 我们学计算机最重要的是什么? 是二进制.
是的, 我们只要拆分成二进制就好了.
cpp
std::vector<td>v,w;
for(td x=1;x<=n;x++){
td vx,wx,tx;
std::cin>>vx>>wx>>tx;
for(td f=1;f<=tx;f<<=1){ // 二进制分解
v.emplace_back(vx*f);
w.emplace_back(wx*f);
tx-=f;
} if(tx!=0){ // 最后还剩一点点, 单独做成一个
v.emplace_back(vx*tx);
w.emplace_back(wx*tx);
}
}然后跑一遍 01 背包就解决了.
分组背包
当每一组物品里只能选 \(1\) 个的时候应该怎么办呢?
这里留给读者思考, 简单放一下代码, 和 01 背包也差不多.
cpp
ll t=0;
std::vector<std::vector<ll>>g(n+1);
for(ll x=1;x<=n;x++){
ll s;
std::cin>>w[x]>>v[x]>>s;
t=std::max(t,s);
g[s].emplace_back(x);
}
for(ll s=1;s<=t;s++)
for(ll c=W;0<=c;c--)
for(ll x:g[s])
if(w[x]<=c)
f[c]=std::max(f[c],f[c-w[x]]+v[x]);
std::cout<<f[W]<<"\n";时间复杂度总结
像线性 dp 就是 \(O(n*k)\), 其中 \(k\) 为转移复杂度, 比如之后会讲的优化就能搞出 \(k=\log n\).
背包 dp 就比较固定了, 都是 \(O(n*W)\). 特别的, 由于多重背包是二进制搞来的, 所以多重背包的 \(n'=\sum\limits_{x\in[1,n]}\log x\)
下期预告
区间 dp, 状压 dp.