P9751 [CSP-J 2023] 旅游巴士
题目描述
小 Z 打算在国庆假期期间搭乘旅游巴士去一处他向往已久的景点旅游。
旅游景点的地图共有 nnn 处地点，在这些地点之间连有 mmm 条道路。其中 111 号地点为景区入口，nnn 号地点为景区出口。我们把一天当中景区开门营业的时间记为 000 时刻，则从 000 时刻起，每间隔 kkk 单位时间便有一辆旅游巴士到达景区入口，同时有一辆旅游巴士从景区出口驶离景区。
所有道路均只能单向通行 。对于每条道路，游客步行通过的用时均为恰好 111 单位时间。
小 Z 希望乘坐旅游巴士到达景区入口，并沿着自己选择的任意路径走到景区出口，再乘坐旅游巴士离开，这意味着他到达和离开景区的时间都必须是 kkk 的非负整数倍 。由于节假日客流众多，小 Z 在旅游巴士离开景区前只想一直沿着景区道路移动，而不想在任何地点（包括景区入口和出口）或者道路上停留。
出发前，小 Z 忽然得知：景区采取了限制客流的方法，对于每条道路均设置了一个
"开放时间"aia _ iai，游客只有不早于 aia _ iai 时刻才能通过这条道路。
请帮助小 Z 设计一个旅游方案，使得他乘坐旅游巴士离开景区的时间尽量地早。
输入格式
输入的第一行包含 333 个正整数 n,m,kn, m, kn,m,k，表示旅游景点的地点数、道路数，以及旅游巴士的发车间隔。
输入的接下来 mmm 行，每行包含 333 个非负整数 ui,vi,aiu _ i, v _ i, a_ iui,vi,ai，表示第 iii 条道路从地点 uiu _ iui 出发，到达地点 viv _ ivi，道路的"开放时间"为 aia _ iai。
输出格式
输出一行，仅包含一个整数，表示小 Z 最早乘坐旅游巴士离开景区的时刻。如果不存在符合要求的旅游方案，输出 -1。
输入输出样例 #1
输入 #1
5 5 3
1 2 0
2 5 1
1 3 0
3 4 3
4 5 1输出 #1
6说明/提示
【样例 #1 解释】
小 Z 可以在 333 时刻到达景区入口，沿 1→3→4→51 \to 3 \to 4 \to 51→3→4→5 的顺序走到景区出口，并在 666 时刻离开。
【样例 #2】
见附件中的 bus/bus2.in 与 bus/bus2.ans。
【数据范围】
对于所有测试数据有：2≤n≤1042 \leq n \leq 10 ^ 42≤n≤104，1≤m≤2×1041 \leq m \leq 2 \times 10 ^ 41≤m≤2×104，1≤k≤1001 \leq k \leq 1001≤k≤100，1≤ui,vi≤n1 \leq u _ i, v _ i \leq n1≤ui,vi≤n，0≤ai≤1060 \leq a _ i \leq 10 ^ 60≤ai≤106。
| 测试点编号 | n≤n \leqn≤ | m≤m \leqm≤ | k≤k \leqk≤ | 特殊性质 |
|---|---|---|---|---|
| 1∼21 \sim 21∼2 | 101010 | 151515 | 100100100 | ai=0a _ i = 0ai=0 |
| 3∼53 \sim 53∼5 | 101010 | 151515 | 100100100 | 无 |
| 6∼76 \sim 76∼7 | 10410 ^ 4104 | 2×1042 \times 10 ^ 42×104 | 111 | ai=0a _ i = 0ai=0 |
| 8∼108 \sim 108∼10 | 10410 ^ 4104 | 2×1042 \times 10 ^ 42×104 | 111 | 无 |
| 11∼1311 \sim 1311∼13 | 10410 ^ 4104 | 2×1042 \times 10 ^ 42×104 | 100100100 | ai=0a _ i = 0ai=0 |
| 14∼1514 \sim 1514∼15 | 10410 ^ 4104 | 2×1042 \times 10 ^ 42×104 | 100100100 | ui≤viu _ i \leq v _ iui≤vi |
| 16∼2016 \sim 2016∼20 | 10410 ^ 4104 | 2×1042 \times 10 ^ 42×104 | 100100100 | 无 |
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+5;
int n,//景点数 <=1e4
m,//道路数 2e4
k, //从0时刻开始，每隔k时间发一趟车。<=100
t[101][N];
/*
到达时间晚于开放时间，不用等就能走进景点道路。
早了，就坐下一趟公交来景区。
无限时间能达目的。关键我们要明确是不是k的整数倍时到目的地。
所以要我们需要知道哪个状态(余数t%k)下到最早到达哪个景点。
t[rt%k][x]=rt
「以 rt%k 为周期状态（即到达时间 rt 除以 k 的余数为 rt%k）时，到达景点 x 的最早时间 rt」。
这为避免重复计算，把无限时间映射到0~k-1有限状态内(t%k)就是状态压缩与去重
确保不同状态下到达景点只留下最早时间，实质就是去重和剪枝
这样用宽搜找到找到到达目的地的最短时间
*/
vector<pair<int,int> > v[N];//哪个时刻开放从哪个景点出发到达哪个景点的道路
queue<pair<int,int> > q;//款搜队列，哪个时刻从哪个景点出发
int main(){
//freopen("data.cpp","r",stdin);
cin>>n>>m>>k;
for(int i=1;i<=m;i++){
int s,e,x;
cin>>s>>e>>x;
v[s].push_back({x,e});//t时间开放从u到v的道路
}
memset(t,0x3f3f3f3f,sizeof(t));//到每个景点都需无穷大时间
q.push({0,1});//0时刻从1景点出发
while(!q.empty()){//只要款搜队列非空就循环
int st=q.front().first,//出发时间
sv=q.front().second,//出发景点
rt;
q.pop();//去除队首
for(int i=0;i<v[sv].size();i++){//遍历从sv出发的道路
int et=v[sv][i].first,//到ev道路的开放时间
ev=v[sv][i].second; //该道路是sv出发到ev
if(st>=et)rt=st+1;//该道路开放后才出发，道路耗时1时间，st+1到达ev
else rt=ceil((et-st)*1.0/k)*k+st+1;//还没开放就到了，就得k的最少整数倍(其他时间不变，只是选了下个航班)
//比如周五月开学，他周一来不行，又等不了，所以改成一周后的周一来，这时就可以不等就上学
//到达ev的暂时时间是ceil((st-et)*1.0/k)*k+st
if(t[rt%k][ev]>rt){
t[rt%k][ev]=rt;//各景点间有路，都可达。关键是k的整数倍时间可达，而且是最小值。
q.push({rt,ev});//新的款搜点
}
}
}
if(t[0][n]==0x3f3f3f3f)cout<<-1;
else cout<<t[0][n];
return 0;
}
思路
单源最短路径算法
状态压缩去重剪枝宽度优先搜索
该算法时间复杂度为 O(k·(n+m))，内核是「基于周期状态压缩的BFS剪枝」，底层原理可拆解为两点：
- 状态总数被压缩至有限集：因发车周期为k，所有时间可通过「t%k」映射到0~k-1的k种余数状态，每个景点仅需维护k种状态（对应k个余数），总状态数上限为k·n，避免无限时间带来的无限状态；
- 每个状态与边仅处理一次：BFS中，每个状态（景点x+余数r）仅在首次找到「最早到达时间」时入队处理，后续更晚的同状态会被跳过；且每条边（共m条）仅会被其起点景点的k种状态处理，总边操作量上限为k·m。
两者叠加，总操作量被严格限制在k·(n+m)，实现高效搜索。