1.1调度问题与投资问题
1. 调度问题
问题&建模
2. 贪心算法: 加工时间短的先做,加工时间从小到大排序(有反例 根据实际问题使用)
3. 算法设计:
1.问题建模
2.选择什么算法?如何描述这个算法?
3.这个算法是否对所有实例都得到最优解?如何证明?
4.如果不是,能否找到反例?
4. 投资问题
问题&建模
建模:
5. 蛮力算法:
算法&效率
效率:
6.小结: 问题求解的关键
- 建模: 对输入参数和解给出形式化或半形式化的描述
- 设计算法: 采用什么算法设计技术,正确性--是否对所有的实例都得到正确的解
- 分析算法--效率
1.2问题的计算复杂度: 排序问题
1.排序算法的效率: 以元素比较作基本运算
各算法比较
1.1插入排序
运行实例
1.2冒泡排序
运行实例 每一次巡回,最大数放在最后,下一次巡回停止在上次最后一次交换处
1.3快速排序
运行实例 把首元素当作划分标准,从最后一个数从前开始找第一个比首元素小的数,从前面向后面找第一个比首元素大的数,两者交换.
1.4二分归并排序
运行实例 中间分开两组,先递归排序,再挨个取第一个数比较,小的取出来
2.问题的计算复杂度分析
3.小结:
- 几种排序算法简介:插入排序、冒泡排序、快速排序、归并排序
- 排序问题的难度估计--界定什么是最好的排序算法
1.3NP-hard问题与计算复杂性
1.NP-hard问题
典型问题 1.1 货郎问题 详情
问题:
建模与算法:输入
1.2 0-1背包问题 详情
问题:
建模与算法:
1.3 双机调度问题 详情
问题:
建模与算法:
- NP-hard问题小结:
- 这样的问题有数千个,大量存在于各个应用领域
- 至今没找到有效算法: 现有的算法的运行时间是输入规模的指数或更高阶函数
- 至今没有人能够证明对于这类问题不存在多项式时间的算法
- 从是否存在多项式时间算法的角度看,这些问题彼此是等价的,这些问题的难度处于可有效计算的边界
Algorithm + Data Structure = Programming
好的算法: 提高求解问题的效率&节省存储空间
算法的研究目标:
- 问题 -> 建模并寻找算法
- 算法 -> 算法的评价
- 算法类 -> 问题复杂度估计
- 问题类 -> 能够求解的边界
计算复杂性理论的核心--NP完全理论
1.4算法及其时间复杂度
1.问题及实例
详情
-
问题: 需要回答的一般性提问,通常含若干参数
-
问题描述:
定义问题参数(集合,变量,函数,序列等)
说明每个参数的取值范围及参数间的关系
定义问题的解
说明解满足的条件(优化目标或约束条件)
-
问题实例: 参数的一组赋值可得到问题的一个实例
2.算法
详情
-
算法:
有限条指令的序列
这个指令序列确定了解决某个问题的一系列运算或操作
-
算法A解决问题P:
把问题P的任何实例作为算法A的输入,每步计算是确定性的,A能够在有限步停机,输出该实例的正确的解
3.基本运算与输入规模
详情 算法基本运算次数可表为输入规模的函数
给定问题和基本运算就决定了一个算法类
-
3.1 输入规模
-
排序: 数组中元素个数n
-
检索: 被检索数组的元素个数n
-
整数乘法: 两个整数的位数m,n
-
矩阵相乘: 矩阵的行列数i,j,k
-
图的遍历: 图的顶点数n,边数m
...
-
-
3.2基本运算
-
排序: 元素之间的比较
-
检索: 被检索元素x与数组元素的比较
-
整数乘法: 每位数字相乘(位乘)1次m位和n位整数相乘要做mn次位乘
-
矩阵相乘: 每对元素乘1次 ij矩阵与jk矩阵相乘要做ijk次乘法
-
图的遍历: 置指针
...
-
4.时间复杂度
概念
-
4.1最坏时间复杂度W(n)
算法求解输入规模为n的实例所需要的最长时间
-
4.2平均时间复杂度A(n)
在给定同样规模为n的输入实例的概率分布下,算法求解这些实例所需要的平均时间
计算公式
顺序检索算法问题 实例
最坏情况的时间估计:
平均情况的时间估计:
改进
最坏时间复杂度: W(n) = n
平均时间复杂度: A(n) = n/2
1.5算法的伪码表示
1.关键字
- 赋值语句: ←
- 分支语句: if ... then ... [else...]
- 循环语句: while, for, repeat until
- 转向语句: goto
- 输出语句: return
- 调用: 直接写过程的名字
- 注释: //...
2.例子
求最大公约数 输入: 非负整数m,n,其中m与n不全为0
输出: m与n的最大公约数
伪码表示:
- while m > 0 do
- r ← n mod m
- n ← m
- m ← r
- return n
运行实例:
改进的顺序检索 输入: 数组 L[1...n], 元素从小到大排列,数x.
输出: 若x在L中,输出x的位置下标j;否则输出0
伪码表示:
- j ← 1
- while j <= n and L[j] do j ← j+1
- if x < L[j] or j < n then j ← 0
- return j
插入排序 输入: n个数的数组A
输出: 按照递增顺序排好序的数组A
伪码表示:
- for j ← 2 to n do
- x ← A[j]
- i ← j-1 //3-7行把A[j] 插入A[1...j-1]
- while i > 0 and x < A[i] do
- A[i+1] ← A[i]
- i ← i-1
- A[i+] ← x
运行实例:
二分归并排序 MergeSort(A,p,r)
输入: 数组A[p...r]
输出: 按递增顺序排序的数组A
伪码表示:
- if p < r
- then q ← [(p+r)/2]
- MergeSort(A,p,q)
- MergeSort(A,q+1,r)
- Merge(A,p,q,r)
MergeSort 有递归调用,也调用Merge过程
3.小结:
- 伪码不是程序代码,只是给出算法的主要步骤
- 伪码中允许过程调用
1.6函数的渐进的界--阶
1.五种表示函数的阶的符号
111
大O符号
例子:
大Ω符号
例子:
小o符号
小ω符号
例子:
大Θ符号
2.小结:
1.7有关函数渐进的界的定理
1.设函数f、g、h的定义域为自然数集合
定理
-
定理一
估计函数的阶:
-
定理二: 函数的阶之间的关系具有传递性
阶排序:
-
定理三
2.小结:
- 估计函数的阶的方法: 计算极限
- 阶具有传递性
- 对数函数的阶低于幂函数的阶,多项式函数的阶低于指数函数的阶
- 算法的时间复杂度是各步操作时间之和,在常数步的情况下取最高阶的函数即可
1.8几类重要的函数及性质
基本函数类: 阶的高低
函数 对数函数
简化符号:
性质:
指数函数与阶乘
取整函数
定义:
实例:
应用: 二分检索
性质:
证明性质(1):