浮点数
我们先看下2进制下的浮点数的表达形式，并不复杂，所以我直接举个例子，一目了然：
十进制173.8125 转换成二进制小数
- 首先取出整数部分：173
- 173－＞10101101
- 再取出小数部分：0.8125
- 将小数部分乘以２,一直到为整数为１，或者达到指定位数的精度：
| 0.8125*2 | = | 1.625 |
| 0.625*2 | = | 1.25 |
| 0.25*2 | = | 0.5 |
| 0.5*2 | = | 1 |
将整数结果和小数结果结合：
173.8125－＞10101101.1101
反过来的时候，就是整数部分正常二进制转换十进制，小数部分则是乘以2＾-1
如小数部分1101:
- 1*2＾-1 + 1*2＾-2 +0*2＾-3 + 1*2＾-4=0.8125
二进制小数的科学计数法：
- 10101101.1101=1.010110111012^7
乘以2^7表示表示向右移动7位小数点，和十进制里意思是一致的。也可以表示成：1.010110111012\＾(0111)
好，有了上面的基础，我们再看下浮点数在10进制下的存储形式，根据IEEE 754标准，浮点数是这样表示的：
其中规定
- 1<=M<2
- E＞0
在32位float下 E的为８位，取值范围为0-255 ，因为在科学计数法中，指数是可以出现负值的，所以，加了个规定，127为偏置 注意double的偏置是1023。即假设正常指数为３，则存的时候指数位为130，就是有127的偏移。同理，取真实指数位的时候，要减去127。如果存储的指数是50，则实际的指数就是50-127=-77。上面我们提到指数的范围是0-255，但是需要注意的是0和255这两个是特殊值，其中255表示无穷大，0则是表示一个非常接近0的一个数。这俩在IEEE里都有专门的定义，并且有专门的特殊值：
- NaN错误：
- 实数范围内对负数开平方产生此错误,此时指数全为１
- 正负无穷大：
- 无穷大的一个值，比如很大的数在相乘产生溢出，此时,指数全为１,尾数全为0
- 正负0
- 标准格式中，小数点左侧的１是隐藏的，因此0无法用这种方式表达所以规定指数和尾数全为0时候表示0
所以，综上，指数范围0-255，偏置127 则实际是-127到128，除了全１和全０两种规定的特殊情况，则范围是-126-127
- max=1.111111111111*2＾127
- 正数的最小值是：1.000000000000*2＾-126
由于尾数是23位，尾数部分的分辨率为1/2^23 约为0.000000119，也就是说小数部分可以保证到第6位，即精度可以保证6位，最大到7位。
好了，我们再说下浮点数的存储形式，还是以173.8125为例：
- 二进制为10101101.1101 -> 1.01011011101*2^7
- 指数为7，加上偏置127，为134，二进制为：1000 0110
- 尾数部分：01011011101
- 最后将符号，指数，尾数，拼在一起，注意默认的小数点前的1是不存的：
- 0 1000 0110 010110111010000...
有个工具可以帮我们快捷验证下：
如图，和我们算的一致，没有问题。
定点数
好，现在可以讲定点数的部分了。定点数看起来是个整数值，但是它是有固定位数的整数部分和小数部分，常见的表达形式就是Qm.n，m是整数的位宽，n就是小数位宽。一般默认是有符号的，就是默认有个1位符号位，整体位宽就是m+n+1。之前也有同事习惯称mPn，m就是整数位宽，整体位宽就是m+n。Qm.n能表示的范围是[-2^m,2^m - 1/2^n]。我们以Qm.n为例，比如Q1.2,就是说整数部分有1位，小数部分有2位，加上符号位，总共就是4位，范围就是[-2，1.75]。假设有Q1.2的有符号定点数为4'b10.11，则它的十进制就是这样算的：
- 4'b10.11 = 1*（-2^1）+0*（2^0）+1*（2^-1）+1*（2^-2） = -2 + 0 + 0.5 + 0.25 = -1.25
两个定点数相加减时，要做小数位对齐的操作，还要考虑溢出，比如5'b100.01(−3.75) + 4'b1.011(−0.625)
- 先对齐小数点：5'b100.01 -> 6'b100.010
- 作位宽扩展，扩展为7bit：
- 6'b100.010 -> 7'b1100.010
- 4'b1.011 -> 7'b1111.011
- 最后相加：
- 7'b1100.010 + 7'b1111.011 = 7'b1011.101(−4.375)
为什么相加只扩展1bit？考虑6'b100.010为Q2.3格式，Q2.3数据范围为-4 -> 4-2^3 两个Q2.3数据相加，范围为-8 -> 8-2^2
而Q3.3数据范围是 -8 -> 8-2^3，大于两个Q2.3范围的数相加，所以扩展1bit到7bit一定不会溢出。
接下来要再讲一下定点数运算的四舍五入，这个关乎到算法运算的精准度。对于二进制小数的四舍五入，可以参考10进制的思想，比如0.026保留两位小数，四舍五入到0.03。要去除的小数位在第3位，也就是0.006，规则是当第3位 >= 0.005时，就向第2位进位,也就是 >= 0.5*10^-2,要向上进位。类似的，当二进制小数，比如Q5.29 -> Q5.28 时候，就是要舍掉最后一位29位，则当第29位 >= 0.5*2^-28 == 2^-29,也就是说第29位是1的时候，就向28位进1。
所以，要丢掉某个位的值，则四舍五入的原则就是加上（或减去）这个位的一半的值，就是0.5 * val，比如2.346 保留两位小数，就是要舍掉千分位，则就加上 0.005 ，所以千分位的一半 就是 0.01 * 0.5 = 0.005 ,也就是要加上的值，用来作四舍五入。0.01其实百分位的最小单位，其实可以理解为百分位是千分位的权值。也可以类比10进制去思考，10进制下的四舍五入，想到的就是加5，因为是10进制，底数就是10，2进制的四舍五入，底数就是2，所以应该是加1。
所以2进制有个规则就是，要舍去的第几位小数位，就加上半个LSB（新精度下的），比如4p29变成4p28，要舍去第29位，原本的精度是2^-29，权值是2^-28,所以就加上2^-28 * 0.5 ,就是2^-29。在定点数下，其实就是加1。如果是变为4p27，则减了2个小数位，就是加上2^-27*0.5 等于 2^-28，则就是加上二进制10，再算术右移2位，所以原位宽和新位宽相差n位，就加上2^(n-1)。
还没完，还要考虑2进制小数的负数情况，我们以上提到四舍五入，默认入的时候都是远离0方向的，正数好理解就是向上，负数其实就是向下。比如-0.67入到-0.7。很多语言都有几种不同四舍五入的函数，matlab里也有。
在10进制情况下 -2.346 + -0.005 = -2.35 就是减去0.005
但是2进制小数不太一样，因为2进制小数的最高权是-2^m，小数点后面的是正数，就是加的关系，加的越多，越靠近0的方向，
比如9'b100.101101(−3.296875), 要舍去的是101，这个是大于等于100的，也就是加的数大于100，所以相对于直接抹去后三位小数，原本的值是更靠近0方向的，所以小数直接进位，向更靠近0的方向，所以其实是要加的2^-3 * 0.5 = 2^-4,也就是要加上.000100
对于定点数来说就是，就是加上000100，也就是加上2^2 = 4 = 100.110001(−3.234375),算术右移3位=100.110(−3.25),可以看到在Q2.6四舍五入到Q2.3，也就是小数位少3位，精度一下就下来了，在verilog里以上的运算基本就是右移的运算了。最后强调下，verilog里如果要做有符号数的运算，则两个变量都要以signed来声明，如果其中一个有符号一个无符号，则会统一按照无符号来运算：
参：