懈贺罢拓1 magnitude及normalized
由于当前许多项目都用到secp256k1库，比特币作为体量最大的数字货币项目，这里建议直接参考bitcoin-core提供的最新secp256k1源码。仍以field的10x26实现版本为例，相关定义如下：
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/** This field implementation represents the value as 10 uint32_t limbs in base
* 2^26. */
typedef struct {
/* A field element f represents the sum(i=0..9, f.n[i] << (i*26)) mod p,
* where p is the field modulus, 2^256 - 2^32 - 977.
*
* The individual limbs f.n[i] can exceed 2^26; the field's magnitude roughly
* corresponds to how much excess is allowed. The value
* sum(i=0..9, f.n[i] << (i*26)) may exceed p, unless the field element is
* normalized. */
uint32_t n[10];
/*
* Magnitude m requires:
* n[i] <= 2 * m * (2^26 - 1) for i=0..8
* n[9] <= 2 * m * (2^22 - 1)
*
* Normalized requires:
* n[i] <= (2^26 - 1) for i=0..8
* sum(i=0..9, n[i] << (i*26)) < p
* (together these imply n[9] <= 2^22 - 1)
*/
SECP256K1_FE_VERIFY_FIELDS
} secp256k1_fe;
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对于magnitude，可称其为"量级"，当m=0时，这时n[i] <= 0(i=0...9)，由此可知此时secp256k1_fe大数必为0，当m=1时，n[i] <= 2*(2^26 - 1)对于i=0...8，n[9] <= 2*(2^22 - 1)，有些说法是当m=1时，是将大数限制到[0,到2p)范围内，这是不准确的，此时secp256k1_fe大数范围是[0, 2*(2^256-1)]（上限是稍大于2p的），magnitude设计本质是"存储约束"而非"模p范围"，通过magnitude约束将大数控制在可高效约简的范围内，magnitude表示大概是2m个p的量级。
对于normalized，可称其为"规范化（归一化）"，从注释中可知每个n[i]都小于或等于其对应的MASK，且sum(n[i]) < p，即规范化后的大数是[0, p)之内的数。由此可知规范化的大数一定是magnitude为0或1的数，但是magnitude为1的数不一定是规范化的大数。
函数secp256k1_fe_normalize对大数实现规范化操作，其本质是将大数看作为特殊的2^26进制大数，即N=∑ni*wi，这里ni <= 2 * m * (2^26 - 1) for i=0..8，n9 <= 2 * m * (2^22 - 1)，wi=2^(i*26)，之所以说它特殊，是因为由于m的存在，每个位上数值是可以大于或等于基数2^26的（正常情况下每个位上取值小于基数，如10进制数，每个位上数值都小于基数10，另外最高位取值有特殊限制），在secp256k1_fe_normalize函数中有两部分操作，第一部分先将大数A规范为最多为257位的大数B（m确定时，该数对应确定最大值，后续详解），第二部分将大数B规范为小于模数p的大数。
在secp256k1源码中其实定义了各个参数大数中magnitude的最大值，在定义VERIFY宏时会对参数合法性进行检查。
#define SECP256K1_GE_X_MAGNITUDE_MAX 4
#define SECP256K1_GE_Y_MAGNITUDE_MAX 3
#define SECP256K1_GEJ_X_MAGNITUDE_MAX 4
#define SECP256K1_GEJ_Y_MAGNITUDE_MAX 4
#define SECP256K1_GEJ_Z_MAGNITUDE_MAX 1
由以上定义可知，在secp256k1算法中0 <= m <= 4，当m=0时，显而易见大数即为0，当m>=1且m<=4时，其实大数对应最大值分别为：
pow(2,256)-1)*2*1=0x1fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffe
pow(2,256)-1)*2*2=0x3fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffc
pow(2,256)-1)*2*3=0x5fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffa
pow(2,256)-1)*2*4=0x7fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff8
当m取值为4时对应最大值在调用规范化函数时，第一部分规范完以后对应最大值为0x100003c00000f000000000001e000003c00000f000003c00000f0000f3c00393e，为一个257位的大数，函数secp256k1_fe_normalize_weak其实就是secp256k1_fe_normalize第一部分执行完以后的输出，该值就是weak函数在m<=4下输出的最大值，该值本身为m<=1的大数。
2 常用函数magnitude值分析
先分析大数取反原型函数secp256k1_fe_negate，其原型如下：
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SECP256K1_INLINE static void secp256k1_fe_negate(secp256k1_fe *r, const secp256k1_fe *a, int m) {
r->n[0] = 0x3FFFC2FUL * 2 * (m + 1) - a->n[0];
r->n[1] = 0x3FFFFBFUL * 2 * (m + 1) - a->n[1];
r->n[2] = 0x3FFFFFFUL * 2 * (m + 1) - a->n[2];
r->n[3] = 0x3FFFFFFUL * 2 * (m + 1) - a->n[3];
r->n[4] = 0x3FFFFFFUL * 2 * (m + 1) - a->n[4];
r->n[5] = 0x3FFFFFFUL * 2 * (m + 1) - a->n[5];
r->n[6] = 0x3FFFFFFUL * 2 * (m + 1) - a->n[6];
r->n[7] = 0x3FFFFFFUL * 2 * (m + 1) - a->n[7];
r->n[8] = 0x3FFFFFFUL * 2 * (m + 1) - a->n[8];
r->n[9] = 0x03FFFFFUL * 2 * (m + 1) - a->n[9];
}
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这里m是输入参数a的magnitude，当m=0时，输出参数r为2p，显然其对应的m'=1；当输入参数a的m=1时，其取值范围为[1, 0x1fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffe]，则2*(m+1)*p-a取值范围是[0x1fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffbfffff0be, 0x3fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffbfffff0bb]，所以输出r的m'<=2，所以对于任意输入m，输出r的m'<=m+1。
对于secp256k1_fe_add函数，其源码如下：
secp256k1_fe_add
显而易见，对于输出r来说m(r)<=m(r)+m(a)，r和a都是secp256k1_fe型数据。
对于secp256k1_fe_mul_int(r, a)，a为int型数据，m(r)<=m(r)*a。
对于secp256k1_fe_mul/secp256k1_fe_sqr函数，在实现中包含内部规约，会把输出参数的"量级"规约回magnitude = 1，使输出可以当作normalized-like使用。
下面以函数为例给出各个步骤的详细magnitude值：
secp256k1_gej_add_var
首先以输入参数a，b中的x，y，z都为magnitude=1（normalized-like）为前提，在此基础上给出按代码顺序的表：
步 代码（操作） 输入 m 输出 m（上限） 说明
1 secp256k1_fe_sqr(&z22, &b->z) b->z:1 1 fe_sqr → 规约为 1
2 secp256k1_fe_sqr(&z12, &a->z) a->z:1 1
3 secp256k1_fe_mul(&u1, &a->x, &z22) 1,1 1 fe_mul → 规约为 1
4 secp256k1_fe_mul(&u2, &b->x, &z12) 1,1 1
5 secp256k1_fe_mul(&s1, &a->y, &z22) 1,1 1
6 secp256k1_fe_mul(&s1, &s1, &b->z) 1,1 1
7 secp256k1_fe_mul(&s2, &b->y, &z12) 1,1 1
8 secp256k1_fe_mul(&s2, &s2, &a->z) 1,1 1
9 secp256k1_fe_negate(&h, &u1, 1) u1:1 2 fe_negate → m_out = 1 + 1 = 2
10 secp256k1_fe_add(&h, &u2) h:2, u2:1 3 fe_add: 2 + 1 = 3
11 secp256k1_fe_negate(&i, &s2, 1) s2:1 2
12 secp256k1_fe_add(&i, &s1) i:2, s1:1 3
13 if (secp256k1_fe_normalizes_to_zero_var(&h)) ... --- --- 特殊分支（不进入一般流程）
14 secp256k1_fe_mul(&t, &h, &b->z) h:3, b.z:1 1 fe_mul → 规约为 1
15 if (rzr != NULL) *rzr = t; t:1 1
16 secp256k1_fe_mul(&r->z, &a->z, &t) a.z:1, t:1 1
17 secp256k1_fe_sqr(&h2, &h) h:3 1 fe_sqr → 规约为 1
18 secp256k1_fe_negate(&h2, &h2, 1) h2:1 2
19 secp256k1_fe_mul(&h3, &h2, &h) h2:2, h:3 1 fe_mul → 规约为 1
20 secp256k1_fe_mul(&t, &u1, &h2) u1:1, h2:2 1
21 secp256k1_fe_sqr(&r->x, &i) i:3 1
22 secp256k1_fe_add(&r->x, &h3) r->x:1, h3:1 2
23 secp256k1_fe_add(&r->x, &t) r->x:2, t:1 3
24 secp256k1_fe_add(&r->x, &t) r->x:3, t:1 4
25 secp256k1_fe_add(&t, &r->x) t:1, r->x:4 5 （t 被覆盖为 t + r->x）
26 secp256k1_fe_mul(&r->y, &t, &i) t:5, i:3 1 fe_mul → 规约为 1
27 secp256k1_fe_mul(&h3, &h3, &s1) h3:1, s1:1 1
28 secp256k1_fe_add(&r->y, &h3) r->y:1, h3:1 2
29 函数返回 r->x:4, r->y:2, r->z:1 --- 这些是按最小合法上界得到的值（未再 normalize 前）
由表可知对于secp256k1_gej_add_var函数，虽然运行过程中，零时变量可能会出现相对较高的magnitude值，但最终返回值r->x的magnitude值是满足SECP256K1_GE_X_MAGNITUDE_MAX值的，同理y，z也满足SECP256K1_GEJ_Y_MAGNITUDE_MAX和SECP256K1_GEJ_Z_MAGNITUDE_MAX限制。
3 大数求逆
最新版大数求逆函数实现原型如下：
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1 static void secp256k1_fe_impl_inv(secp256k1_fe *r, const secp256k1_fe *x) {
2 secp256k1_fe tmp = *x;
3 secp256k1_modinv32_signed30 s;
4
5 secp256k1_fe_normalize(&tmp);
6 secp256k1_fe_to_signed30(&s, &tmp);
7 secp256k1_modinv32(&s, &secp256k1_const_modinfo_fe);
8 secp256k1_fe_from_signed30(r, &s);
9 }
复制代码
3.1 高层概览
- 主要步骤
函数做的是对域元素x求模逆，即求r = x-1 mod p，这里p = 2^256 - 2^32 - 977，其实现流程如下：
1）先把tmp（x）规范化，保证tmp是库约定的limb范围下唯一表示；
2）把规范化的tmp（10x26-bit limbs）转换成一种signed30的中间表示（若干个30-bit的有符号limbs），以便后面用32-bit算法实现逆元算法；
3）在signed30表示上运行secp256k1_modinv32------这是一个针对30-bit/32-bit limbs优化、并做过constant-time处理的模逆实现，基于safegcd/division-steps（改进的欧几里得/半GCD）的思想；
4）把得到的signed30结果再转换回库的secp256k1_fe（10x26表示），并写入r（该转换同时完成必要的约减/规范化）。
- divsteps算法
divsteps是一种高效计算GCD（Greatest Common Divisor最大公约数）的方法，它通过连续多次除法步骤减少迭代次数，特别适合硬件实现和大数计算。它是GCD算法的优化版本，主要特点：
利用二进制表示的优势，通过右移操作快速消除因子2
一次迭代处理多个 "减法 - 移位" 步骤，减少循环次数
使用比较和差值运算替代昂贵的除法操作
求u和v最大公约数算法步骤如下：
1）消除因子2
统计并移除两数中的所有因子2
设a = u / 2^sa，b = v / 2^sb（这里sa是u可整除2的最大次数，sb是v可整除2的最大次数）
2）divsteps迭代
比较a和b
计算差值d = | a - b |
消除d中的所有因子2得到d'
用min(a, b)和d'替换(a, b)
重复直到a == b
3）得出最终结果
gcd(u, v) = b * 2^min(sa, sb)
算法基于以下假设：如果gcd(u, v)是最大公约数，那么它可以分成两部分的乘积，一部分是2的整数次幂，另一部分是非2的倍数。步骤1其实是获取u、v最大公因数中能2整数次幂部分，即2min(sa, sb)，步骤2获取非2的倍数部分。步骤1比较好理解，这里分析下步骤2，假设得出最后一步结论a==b时，具体值为a'，b'，则a'必然满足a' - b' = b'*2x，则有a' = b'*(1+2x)，即a'是b'的倍数，则在上一步必有d'=b'*2y = a'' - a'，由此a'' = a' + b'*2y，即a''也为b的倍数，由此类推，可知最一开始的a和b闭然都是b'的倍数。由以上推理可知最终gcd(u, v) = b' * 2^min(sa, sb)。
以下是算法示例代码：
divsteps
计算示例：gcd(270, 324)：
1）初始值：u=270，v=324
2）移除因子2：sa=1，sb=2 → u=135, v=81
3）第一次迭代：
d=135-81=54
移除因子2: sd=1 → d=27
新值: u=81, v=27
4）第二次迭代：
d=81-27=54
移除因子2: sd=1 → d=27
新值: u=27, v=27
5）循环结束，结果：gcd(270, 324) = 27*2^1 = 54。
3.2 逐步详解
步骤1将大数进行规范化，这一步由secp256k1_fe_normalize实现，该函数已经在之前文章中详细介绍，这里不再进行分析。
步骤2调用secp256k1_fe_to_signed30函数实现，该函数源码如下：
secp256k1_fe_to_signed30
该函数实现很清晰，就是把原有的10个无符号26bit数重新按30bit窗口打包到一组32-bit有符号整数中（共9个元素，每个元素保存30位有效位，并且用int32_t保存以允许出现负数中间值）。
步骤3调用secp256k1_modinv32函数求模逆，该步骤是算法的核心，后续详细解析。
步骤4调用secp256k1_fe_from_signed30函数将30bit格式逆元再转换到标准10x26bit形式。
- 扩展欧几里得算法
扩展欧几里得定理：对于任意整数a和b，必然存在整数x和y满足贝祖等式：a·x + b·y = gcd(a, b)，且gcd(a, b)是能表示为a·x + b·y形式的最小正整数。
1）基础引理：欧几里得算法的余数性质
欧几里得算法通过反复求余计算GCD：
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
其中a mod b = a - b*?a/b?（??为向下取整），且0 ≤ a mod b < |b|。
2）数学归纳法证明贝祖等式存在性
归纳基础：
当b = 0 时，gcd(a, 0) = a，此时取 x = 1，y = 0（这里y可以取任意值，只不过取0后续计算最简单），显然满足 a·1 + 0·0 = a = gcd(a, 0)。
归纳步骤：
假设对于 (b, a mod b) 存在整数 x' 和 y' 满足：b·x' + (a mod b)·y' = gcd(b, a mod b)
根据余数定义 a mod b = a - b·?a/b?，代入上式：b·x' + (a - b·?a/b?)·y' = gcd(a, b)（因 gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)）
整理得：
a·y' + b·(x' - ?a/b?·y') = gcd(a, b)，令 x = y'，y = x' - ?a/b?·y'，则有：a·x + b·y = gcd(a, b)
因此，若 (b, a mod b) 存在解，则 (a, b) 也存在解。由数学归纳法，对任意整数 a, b 均存在这样的 x, y。
3）最小性证明
设 d = gcd(a, b)，则 d 整除 a 和 b，因此 d 整除 a·x + b·y 的所有可能结果。即任何能表示为 a·x + b·y 的整数都是 d 的倍数，故 d 是其中最小的正整数。
其实以上结论是基于一个前提：对于任意两个整数a和b，在应用欧几里得算法若干步后，都能转化成将gcd(a, b)转换成gcd(b', 0)的形式，这个结论可以自己查阅相关整理过程，又因为gcd(a, b) = gcd(-a, -b)，所以该结论对于所有非零整数都成立。
接下来看看在算法层面如何推导系数x和y：
首先，对于gcd(a, b)中的a和b来说都可以看作是各次除法迭代的"余数r"，即gcd(a, b) = gcd(b, a%b))，如果将a%b看作是newr，b看作是r，a看作是oldr，则有：oldr = q?r + newr，这里q是整数商a//b。
接下来，因为求系数x和y其实也是一个迭代推导的过程，假设当前有：
image
可以先把最一开始oldr和r的由系数表示出来：oldr = 1*a + 0*b，r = 0*a + 1*b，即存在初始余数对：(oldr, r) = (a, b)，初始a的系数对：(oldx, x) = (1, 0)，初始b的系数对：(oldy, y) = (0, 1)满足方程。
再接下来，继续进行迭代q = oldr//r，newr = oldr - q*r，将(1)中oldr和(2)中的r代入该等式并进行整理可得：
image
由此可得：newx = oldx - q*x，newy = oldy - q*y，即newr仍是a，b的线性组合，且newx，newy是相应系数。以下是完整算法伪代码：
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(old_r, r) = (a, b)
(old_x, x) = (1, 0) # 表示 a 的系数
(old_y, y) = (0, 1) # 表示 b 的系数
while r ≠ 0:
q = old_r // r
更新余数
(old_r, r) = (r, old_r - q * r)
更新系数
(old_x, x) = (x, old_x - q * x)
(old_y, y) = (y, old_y - q * y)
最终结果
gcd(a,b) = old_r
x = old_x, y = old_y
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以a=240，b=46为例，给出算法迭代过程：
复制代码
初始值：(old_r, r) = (240, 46), (old_x, x) = (1, 0), (old_y, y) = (0, 1)
第1步：240/46=5...10, q = 5, (old_r, r) = (46, 10), (old_x, x) = (0, 1), (old_y, y) = (1, -5)
第2步：46/10=4...6, q = 4, (old_r, r) = (10, 6), (old_x, x) = (1, -4), (old_y, y) = (-5, 21)
第3步：10/6=1...4, q = 1, (old_r, r) = (6, 4), (old_x, x) = (-4, 5), (old_y, y) = (21, -26)
第4步：6/4=1...2, q = 1, (old_r, r) = (4, 2), (old_x, x) = (5, -9), (old_y, y) = (-26, 47)
第5步：4/2=2...0, q = 2, (old_r, r) = (2, 0), (old_x, x) = (-9, 23), (old_y, y) = (47, -120)
此时因r=0，得最终结果gcd(240, 46)=2，x=-9，y=47
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- 二进制GCD算法变种
二进制GCD算法有以下演进时间线：
1961年: 原始二进制GCD概念出现
1967年: Josef Stein正式发表算法
1970年代: Knuth在TAOCP中分析和优化
1980-90年代: 各种优化变种出现，包括这个delta版本
2000年代: 被广泛用于密码学库和大数运算
接下来重点分析带有delta状态变量的版本，算法如下：
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1 def gcd(f, g):
2 """Compute the GCD of an odd integer f and another integer g."""
3 assert f & 1 # require f to be odd
4 delta = 1 # additional state variable
5 while g != 0:
6 assert f & 1 # f will be odd in every iteration
7 if delta > 0 and g & 1:
8 delta, f, g = 1 - delta, g, (g - f) // 2
9 elif g & 1:
10 delta, f, g = 1 + delta, f, (g + f) // 2
11 else:
12 delta, f, g = 1 + delta, f, (g ) // 2
13 return abs(f)
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该算法要求第一个参数f必须是奇数（第3行），并引入了状态变量delta，用于指导算法选择不同的约减策略，避免陷入低效循环。该算法证明分两部分：
1）先证明算法保持 gcd 不变（正确性不破坏）；
2）然后给出一个势函数（potential），并用它证明在每次若干步内势函数会严格下降，从而不可能无限迭代------也就保证终止（收敛）。同时指出 delta 在防止振荡 / 保证下降中的关键作用。
第1部分结论很容易得出，在结合f，g奇偶情况下gcd(g, (g - f)//2)，gcd(f, (g + f)//2)，gcd(f, g//2)这三种情况显然和gcd(f, g)是一样的。第2部分的证明比较复杂，涉及到势函数相关理论，知识盲区，请自行查阅相关资料，这里不再详细说明。
总之，相比如下未引入delta的算法一（在某些情况下会不收敛），上述算法是能保证收敛的。
gcd_no_delta
另外相比，如下未引入delta的算法二，f，g直接判断属于"输入依赖型分支"，不同输入会导致不同的分支走向，容易在硬件层面产生 "分支预测错误"（尤其在加密算法中，输入的随机性会放大这种问题）。而delta引入后，分支判断虽然存在，但更多依赖内部状态变量 delta 的符号（delta > 0 或 delta ≤ 0），而非输入 f 和 g 的直接比较，delta 的更新规则是固定的（1 - delta 或 1 + delta），其变化模式相对可预测，降低了对输入随机性的敏感度，更适合常数时间实现（密码学算法的关键要求）。尤其在大数运算情况下，a > b 这类比较操作需要完整的减法和符号判断（硬件层面是减法器 + 符号位检测），而delta的状态更新（1 - delta 或 1 + delta）是简单的算术操作（本质是 delta 在0和1之间交替，或递增递减），计算成本更低。
bad_gcd
- 由GCD求模逆
对于质数M（大于2）来说求x（0
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def div2(M, x):
"""Helper routine to compute x/2 mod M (where M is odd)."""
assert M & 1
if x & 1: # If x is odd, make it even by adding M.
x += M
x must be even now, so a clean division by 2 is possible.
return x // 2
def modinv(M, x):
"""Compute the inverse of x mod M (given that it exists, and M is odd)."""
assert M & 1
delta, f, g, d, e = 1, M, x, 0, 1
while g != 0:
Note that while division by two for f and g is only ever done on even inputs, this is
not true for d and e, so we need the div2 helper function.
if delta > 0 and g & 1:
delta, f, g, d, e = 1 - delta, g, (g - f) // 2, e, div2(M, e - d)
elif g & 1:
delta, f, g, d, e = 1 + delta, f, (g + f) // 2, d, div2(M, e + d)
else:
delta, f, g, d, e = 1 + delta, f, (g ) // 2, d, div2(M, e )
Verify that the invariants d=f/x mod M, e=g/x mod M are maintained.
assert f % M == (d * x) % M
assert g % M == (e * x) % M
assert f == 1 or f == -1 # |f| is the GCD, it must be 1
Because of invariant d = f/x (mod M), 1/x = d/f (mod M). As |f|=1, d/f = d*f.
return (d * f) % M
复制代码
该算法基于二进制扩展GCD算法，通过不断将问题规模减半来高效计算模逆元，首先明确算法以下关键变量：
M: 模数（必须是奇数）
x: 要求逆元的数
f, g: 跟踪GCD计算的两个值
d, e: 跟踪系数，维护关键不变量
delta: 控制算法分支的状态变量
算法关键在于每次迭代都维护了以下等式λ：
f ≡ d * x (mod M)
g ≡ e * x (mod M)
这意味着每次迭代d和e始终是f和g在模M下关于x的系数，这样只要保证初始时等式成立，以及每次迭代更新f，g时，按计算规则得到的d，e和f，g仍满足以上等式，这就能保证到最后求得最大公约数1时，以上等式仍成立，及找出了最终的逆元d。
以循环迭代中第1种情况为例进行分析，根据规则更新后的f' = g，g' = (g - f)//2，也就是将g替换为新的f，将(g-f)//2替换为新的g，那么对应的系数更新规则必须保证：
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由于更新后f' = g，由最一开始的等式g ≡ e * x (mod M)，可知要保证f' ≡ d' * x (mod M)成立，取d' = e即可，这正是算法中更新d的逻辑。算法中g的更新逻辑是g' = (g - f)//2，将初始等式λ代入更新逻辑得：
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这就要求更新后的e'满足：
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等价于：
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而while迭代中第1种情况中的e的更新函数div2正是实现了该逻辑，在函数中由于输入e-d可能为奇数，此时需要加上奇数M（在模M下不影响最终结果）使得和为偶数再除于2。
同理可以分析while迭代中的另外两个分支，最终当算法终止时，有gcd(M, x) = |f| = 1，则当f = 1时，由f≡d*x≡1 mod M可知，d即为x逆元；当f = -1时，由d*x≡-1 mod M可知-d即为x逆元，正是算法返回值。
- 模逆算法进一步优化
上述每次divstep迭代可以表示为矩阵乘法，对向量[f g]和[d e]应用如下的转换矩阵（1/2*t）：