多重组合问题
实际生活中，一定会遇到多重组合问题。多重组合就是把nnn个元素分配到大小为k1,k,⋯ ,kmk_1,k_,\cdots,k_mk1,k,⋯,km的集合中。符号定义如下:
(nk1,k,⋯ ,km)=n!(∏i=1mki!)(n−∑i=1mki)! \binom n {k_1,k_,\cdots,k_m}=\frac{n!}{(\prod_{i=1}^mk_i!)(n-\sum_{i=1}^mk_i)!} (k1,k,⋯,kmn)=(∏i=1mki!)(n−∑i=1mki)!n!
符号用的还是组合的符号，上面代表总数$n),下面是拆分的数量。举个例子，把6个不同的小球，拿出5个，放到两个盒子里，第一个盒子放2个，第二个盒子放3，最后一个小球留着，其实相当于最后1个小球放入了第三个盒子。按公式计算就有60种情况：
(62,3)=6!2!3!(6−2−3)!=6!2!3!=60 \binom6{2,3}=\frac{6!}{2!3!(6-2-3)!}=\frac{6!}{2!3!}=60 (2,36)=2!3!(6−2−3)!6!=2!3!6!=60
那么为什么是这个公式呢？拆解一下，nnn中取k1k_1k1,那么就是：
(nk1)=n!k1!(n−k1)! \binom{n}{k_1}=\frac{n!}{k_1!(n-k_1)!} (k1n)=k1!(n−k1)!n!
剩余n−k1n-k_1n−k1中取k2k_2k2个则是:
(n−k1k2)=(n−k1)!k2!(n−k1−k2)! \binom{n-k_1}{k_2}=\frac{(n-k_1)!}{k_2!(n-k_1-k_2)!} (k2n−k1)=k2!(n−k1−k2)!(n−k1)!
于是，整个过程就是：
(nk1,k,⋯ ,km)=n!k1!(n−k1)!(n−k1)!k2!(n−k1−k2)!⋯(n−k1−k2−⋯−km−1)!km!(n−k1−k2−⋯−km)!=n!k1!k2!⋯km!(n−k1−k2−⋯−km)!=n!(∏i=1mki!)(n−∑i=1mki)! \binom n {k_1,k_,\cdots,k_m}\\ =\frac{n!}{k_1!\cancel{(n-k_1)!}}\frac{\cancel{(n-k_1)!}}{k_2!\cancel{(n-k_1-k_2)!}}\cdots\frac{\cancel{(n-k_1-k_2-\cdots-k_{m-1})!}}{k_m!(n-k_1-k_2-\cdots-k_{m})!}\\ =\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!(n-k_1-k_2-\cdots-k_m)!}\\ =\frac{n!}{(\prod_{i=1}^mk_i!)(n-\sum_{i=1}^mk_i)!} (k1,k,⋯,kmn)=k1!(n−k1)! n!k2!(n−k1−k2)! (n−k1)! ⋯km!(n−k1−k2−⋯−km)!(n−k1−k2−⋯−km−1)! =k1!k2!⋯km!(n−k1−k2−⋯−km)!n!=(∏i=1mki!)(n−∑i=1mki)!n!
公式里有个剩余项很烦，所以实际上假想出一个篮子，把最后的剩余项都放入这个篮子里。那么公式就可以简化为：
当∑i=1mki=n时,(nk1,k,⋯ ,km)=n!∏i=1mki! \text{当}\sum_{i=1}^mk_i=n\text{时},\binom n {k_1,k_,\cdots,k_m}=\frac{n!}{\prod_{i=1}^mk_i!} 当i=1∑mki=n时,(k1,k,⋯,kmn)=∏i=1mki!n!
矩阵配额问题
上述问题是nnn个不同的小球，那么n个相同的小球，染成多种颜色呢，再放入m个盒子里呢？换句话说，mmm种颜色的小球，同颜色小球无差别，总数为xxx,数量分别为k1,k2,...,kmk_1,k_2,\dots,k_mk1,k2,...,km,放入nnn个盒子里，每个盒子分别放l1,l2,⋯ ,lnl_1,l_2,\cdots,l_nl1,l2,⋯,ln个小球，也就是∑imki=∑inli=x,\sum_i^mk_i=\sum_i^nl_i=x,∑imki=∑inli=x,有多少种放法？
太抽象就得用例子来说，6个小球，3个红色，3个黑色，放入3个盒子，A盒放1个，B盒放2个，C盒放3个。其中一种方法，我们得到一个矩阵:
Color/BoxABCR012B111 \begin{matrix} Color/Box &A &B&C\\ R &0 & 1&2\\ B&1&1 &1 \end{matrix} Color/BoxRBA01B11C21
列向量为每个盒子的分配法，行向量为每种颜色的分配情况，上面的例子是A盒放1个黑球，B盒放1黑1红，C盒放2红1黑。问题就变成了求配额矩阵的数量。这个问题就需要用生成函数法，或者动态规范法来解决了。