3 qubit 量子系统中的单qubit 期望值计算

一个 3量子比特系统 中，计算第1个量子比特（qubit 1） 期望值的完整数学过程。假设这里是一个比较随意的测量矩阵，它既不是标准的泡利矩阵，也不是对角矩阵。

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1. 问题设定

系统参数

• 总比特数：n = 3n=3

• 量子比特索引：0, 1, 2（从0开始计数）

• 目标比特：qubit 1

• 自由比特：qubit 0 和 qubit 2

态矢量

三量子比特系统的态矢量有 个分量：

其中 是计算基态， 的二进制表示对应 (qubit2, qubit1, qubit0)。

例如：

• x=0x=0: |000⟩ = |q₂=0, q₁=0, q₀=0⟩

• x=1x=1: |001⟩ = |q₂=0, q₁=0, q₀=1⟩

• x=2x=2: |010⟩ = |q₂=0, q₁=1, q₀=0⟩

• ...

• x=7x=7: |111⟩ = |q₂=1, q₁=1, q₀=1⟩

测量矩阵（随意但合理）

对于目标比特 qubit 1，测量矩阵是 的。我选一个既非厄米也非幺正的矩阵：

这是一个任意复数矩阵 （非厄米，因为 。

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2. 数学推导过程

步骤1：理解可观测量在完整空间的形式

可观测量 在完整 3-qubit 空间是：

​

这里要注意顺序：通常 cuQuantum 的态矢量存储顺序是 qubit 0 是最低有效位（LSB）。所以完整系统的基态顺序是：

因此，当 qubit 1 是目标比特时，算符应为：

​

更准确地说，张量积顺序与比特位置有关。

实际计算期望值时，我们不需要显式构造 8×8 矩阵，而是用部分迹的方法。

步骤2：态矢量的重新索引

将 3-bit 索引 按二进制展开：​

• 目标比特： （qubit 1 的值）

• 自由比特： （qubit 2 和 qubit 0 的组合）

态矢量分量可写为：

​

其中：

• 当 ：qubit 1 为 0

• 当 ：qubit 1 为 1

• 编码了 qubit 2 和 qubit 0 的状态

索引映射表：

x（十进制）	二进制 (b₂b₁b₀)	α (b₁)	γ (b₂b₀)	ψ 分量
0	000	0	0 (00)	ψ₀ = ψ₀₀
1	001	0	1 (01)	ψ₁ = ψ₀₁
2	010	1	0 (00)	ψ₂ = ψ₁₀
3	011	1	1 (01)	ψ₃ = ψ₁₁
4	100	0	2 (10)	ψ₄ = ψ₀₂
5	101	0	3 (11)	ψ₅ = ψ₀₃
6	110	1	2 (10)	ψ₆ = ψ₁₂
7	111	1	3 (11)	ψ₇ = ψ₁₃

这里 ​ 表示：目标比特值为 ，自由比特组合为 时的振幅。

步骤3：计算约化密度矩阵（部分内积矩阵 S）

对于目标子系统（qubit 1），其约化密度矩阵的矩阵元为：

这是一个 2×2 矩阵 ，其中：

注意 ：​，所以 是厄米矩阵。

步骤4：展开每个 S 元素的具体计算

用原始 ψ 分量表示：

S₀₀ (α=0, β=0):

对应：

S₀₁ (α=0, β=1):

对应：

S₁₀ (α=1, β=0):

对应：

S₁₁ (α=1, β=1):

对应：

步骤5：计算期望值

期望值公式：

注意是 ​ 而不是 ​，因为：

展开计算：

代入我们的矩阵 ：

所以：

步骤6：数值示例

假设一个具体的态矢量（归一化）：

即所有分量均为 ​。

那么：

计算 S 矩阵：

• 

• 

• 

• 

期望值：

结果 ：

3. 物理意义分析

(1) 为什么结果是复数？

因为矩阵 MM 不是厄米矩阵。在量子力学中，可观测量的期望值必须是实数，因为它是测量结果的统计平均值。如果我们得到的期望值是复数，说明：

1. 要么我们的矩阵 MM 不是合法的可观测量

2. 要么计算有误（但数学上我们确实可以计算任意矩阵的期望值）

实际上，我们可以将任意矩阵分解为厄米部分和反厄米部分：

其中：

那么：

• 是实数

• 是纯虚数

在我们的例子中：

计算得到 （实数），（纯虚数）。

(2) 与张量积结构的一致性

我们的计算等价于：

由于单位算符 ​ 和 ​ 作用在 qubit 2 和 qubit 0 上，我们实际上是对这两个比特求偏迹 ，只剩下 qubit 1 的约化密度矩阵，然后计算 。

(3) 归一化检查

态矢量归一化要求：

这等价于：

在我们的数值例子中：0.5 + 0.5 = 1，正确。

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4. cuQuantum 内部实现的关键点

在实际的 custatevecComputeExpectation 调用中：

API 调用

custatevecComputeExpectation(
    handle, 
    sv,                    // ψ 向量（8个复数）
    CUDA_C_64F,           // 双精度复数
    3,                    // nIndexBits = 3
    &expect,              // 输出期望值
    CUDA_C_64F,           // 期望值数据类型
    NULL,                 // residualNorm
    matrix,               // 2×2 矩阵 M
    CUDA_C_64F,           // 矩阵数据类型
    layout,               // 矩阵布局（如行优先）
    basisBits,            // [1]
    1,                    // nBasisBits = 1
    computeType,          // 计算精度
    NULL, 0               // 无额外工作空间
);

GPU 内核执行步骤

1. 分配线程：使用少量线程（因为计算量小）

2. 并行计算 S 的四个元素：

   • 线程0：计算 S₀₀ = ψ₀ψ₀ + ψ₁ ψ₁ + ψ₄ψ₄ + ψ₅ψ₅

   • 线程1：计算 S₀₁ = ψ₀ψ₂ + ψ₁ ψ₃ + ψ₄ψ₆ + ψ₅ψ₇

   • 线程2：计算 S₁₀ = ψ₂ψ₀ + ψ₃ ψ₁ + ψ₆ψ₄ + ψ₇ψ₅

   • 线程3：计算 S₁₁ = ψ₂ψ₂ + ψ₃ ψ₃ + ψ₆ψ₆ + ψ₇ψ₇

3. 同步线程，确保所有 S 元素计算完成

4. 计算期望值：

   expect = M[0][0]*S[0][0] + M[0][1]*S[1][0] + M[1][0]*S[0][1] + M[1][1]*S[1][1]

5. 返回结果

内存访问模式

对于每个 S 元素的计算，需要访问的 ψ 分量：

• S₀₀: 访问 ψ₀, ψ₁, ψ₄, ψ₅（这些是 qubit 1 = 0 的分量）

• S₀₁: 访问 ψ₀, ψ₁, ψ₄, ψ₅（qubit1=0）和 ψ₂, ψ₃, ψ₆, ψ₇（qubit1=1）

注意 ψ 在内存中是连续存储的：ψ₀, ψ₁, ψ₂, ψ₃, ψ₄, ψ₅, ψ₆, ψ₇。

计算 S₀₀ 和 S₁₁ 时，访问是非连续的（每隔一个元素），这会影响 GPU 内存合并访问的效率。但对于这么小的问题，影响不大。

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5. 推广到一般情况

对于 n 量子比特系统，计算单个目标比特的期望值：

1. 确定目标比特位置 k

2. 将索引 x 分解 为：

   • 其中 α 是目标比特值（0或1）

   • a 是高位部分，b 是低位部分

3. 定义自由索引 ：，有 种可能

4. 计算：

   

5. 期望值 ：​

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总结

这个 3-qubit 单比特期望值计算的数学过程展示了：

1. 索引分解：将全局索引分解为目标比特和自由比特部分

2. 部分内积矩阵：通过对自由比特求和，得到目标子系统的 2×2 矩阵 S

3. 矩阵收缩：用测量矩阵 M 与 S 收缩得到期望值

4. 复数结果的意义：当 M 非厄米时，期望值可能是复数，其实部对应 M 的厄米部分的期望值，虚部对应反厄米部分

这个计算是 cuQuantum 中更复杂期望值计算的基础模块。对于多目标比特的情况，原理相同，只是 S 矩阵的维度从 2×2 变为 ，其中 m 是目标比特数。