【MAT1001】托马斯微积分期末复习提纲详解

微积分期末复习提纲详解

一、极限（Limit Review）

1. 定义

设函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 的某个去心邻域内有定义，如果存在常数 AAA，对于任意给定的正数 ε\varepsilonε，总存在正数 δ\deltaδ，使得当 0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta0<∣x−x0∣<δ 时，有 ∣f(x)−A∣<ε|f(x) - A| < \varepsilon∣f(x)−A∣<ε，则称 AAA 是函数 f(x)f(x)f(x) 当 x→x0x \to x_0x→x0 时的极限，记作：

lim⁡x→x0f(x)=A \lim_{x \to x_0} f(x) = A x→x0limf(x)=A

2. 极限的性质

唯一性：若极限存在，则极限值唯一。
局部有界性：若极限存在，则函数在某个去心邻域内有界。
局部保号性 ：若 lim⁡x→x0f(x)=A>0\lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0limx→x0f(x)=A>0，则存在某个去心邻域，使得在该邻域内 f(x)>0f(x) > 0f(x)>0。
四则运算法则 ：设 lim⁡f(x)=A\lim f(x) = Alimf(x)=A，lim⁡g(x)=B\lim g(x) = Blimg(x)=B，则：

lim⁡[f(x)±g(x)]=A±B,lim⁡[f(x)⋅g(x)]=A⋅B,lim⁡f(x)g(x)=AB (B≠0) \lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B, \quad \lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B, \quad \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} \ (B \neq 0) lim[f(x)±g(x)]=A±B,lim[f(x)⋅g(x)]=A⋅B,limg(x)f(x)=BA (B=0)

3. 求解技巧

（1）夹逼定理

如果 g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \le f(x) \le h(x)g(x)≤f(x)≤h(x)，且 lim⁡g(x)=lim⁡h(x)=A\lim g(x) = \lim h(x) = Alimg(x)=limh(x)=A，则 lim⁡f(x)=A\lim f(x) = Alimf(x)=A。

（2）有理化分子

常用于含有根式的极限，例如：

lim⁡x→01+x−1x=lim⁡x→0(1+x−1)(1+x+1)x(1+x+1)=lim⁡x→012=12 \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x} - 1)(\sqrt{1+x} + 1)}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} x→0limx1+x −1=x→0limx(1+x +1)(1+x −1)(1+x +1)=x→0lim21=21

（3）洛必达法则

适用于 00\frac{0}{0}00 或 ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞ 型极限。若 lim⁡x→af(x)g(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}limx→ag(x)f(x) 满足条件，则：

lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x) \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} x→alimg(x)f(x)=x→alimg′(x)f′(x)

（4）等价无穷小

当 x→0x \to 0x→0 时，常用等价无穷小替换（注意只能用于乘积因子）：

sin⁡x∼x\sin x \sim xsinx∼x
tan⁡x∼x\tan x \sim xtanx∼x
arcsin⁡x∼x\arcsin x \sim xarcsinx∼x
ln⁡(1+x)∼x\ln(1+x) \sim xln(1+x)∼x
ex−1∼xe^x - 1 \sim xex−1∼x
1−cos⁡x∼12x21 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^21−cosx∼21x2

（5）指数型极限的对数求法

对于形如 lim⁡f(x)g(x)\lim f(x)^{g(x)}limf(x)g(x) 的未定式（如 1∞1^\infty1∞、000^000、∞0\infty^0∞0），设 y=f(x)g(x)y = f(x)^{g(x)}y=f(x)g(x)，取对数：

ln⁡y=g(x)ln⁡f(x) \ln y = g(x) \ln f(x) lny=g(x)lnf(x)

先求 lim⁡ln⁡y\lim \ln ylimlny，则原极限为 elim⁡ln⁡ye^{\lim \ln y}elimlny。

（6）大O与小o记号

f(x)=O(g(x))f(x) = O(g(x))f(x)=O(g(x)) 表示存在常数 CCC，使得 ∣f(x)∣≤C∣g(x)∣|f(x)| \le C|g(x)|∣f(x)∣≤C∣g(x)∣ 在某个邻域内成立。
f(x)=o(g(x))f(x) = o(g(x))f(x)=o(g(x)) 表示 lim⁡f(x)g(x)=0\lim \frac{f(x)}{g(x)} = 0limg(x)f(x)=0。

4. 例题

计算：

lim⁡x→0x−sin⁡xx3⋅xarcsin⁡x⋅xex−1 \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} \cdot \frac{x}{\arcsin x} \cdot \frac{x}{e^x - 1} x→0limx3x−sinx⋅arcsinxx⋅ex−1x

解：利用等价无穷小，当 x→0x \to 0x→0 时，arcsin⁡x∼x\arcsin x \sim xarcsinx∼x，ex−1∼xe^x - 1 \sim xex−1∼x，所以后两项极限均为1。对第一项，使用洛必达法则或泰勒展开：

lim⁡x→0x−sin⁡xx3=lim⁡x→01−cos⁡x3x2=lim⁡x→0sin⁡x6x=16 \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \frac{1}{6} x→0limx3x−sinx=x→0lim3x21−cosx=x→0lim6xsinx=61

因此原极限为 16\frac{1}{6}61。

二、连续性（Continuity）

1. 定义

设函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 的某邻域内有定义，若 lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)limx→x0f(x)=f(x0)，则称 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 连续。

2. 复合函数连续性

若 fff 在 x0x_0x0 连续，ggg 在 f(x0)f(x_0)f(x0) 连续，则复合函数 g∘fg \circ fg∘f 在 x0x_0x0 连续。

3. 介值定理（IVT）

若 fff 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 上连续，且 f(a)≠f(b)f(a) \ne f(b)f(a)=f(b)，则对于任意介于 f(a)f(a)f(a) 和 f(b)f(b)f(b) 之间的数 CCC，存在至少一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ∈(a,b) 使得 f(ξ)=Cf(\xi) = Cf(ξ)=C。

4. 极值定理（EVT）

若 fff 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 上连续，则 fff 在 [a,b][a,b][a,b] 上必取得最大值和最小值。

5. 间断点类型

第一类间断点 ：左右极限都存在。若相等但不等于函数值（或函数值无定义）则为可去间断点 ；若不相等则为跳跃间断点。
第二类间断点：左右极限至少有一个不存在，如无穷间断点、振荡间断点。

6. 可积性

若 fff 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，则 fff 在 [a,b][a,b][a,b] 上可积。有界且只有有限个间断点的函数也可积。

三、导数（Derivatives）

1. 定义

函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 处的导数定义为：

f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0 f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} f′(x0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)

若该极限存在，则称函数在 x0x_0x0 可导。

2. 线性化

在点 x0x_0x0 附近，用切线近似函数值：

L(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0) L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) L(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)

3. 中值定理（MVT）

若 fff 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a,b)(a,b) 内可导，则存在至少一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ∈(a,b) 使得：

f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} f′(ξ)=b−af(b)−f(a)

4. 函数作图

利用导数分析函数性质：

一阶导数 f′(x)f'(x)f′(x)：确定单调区间（f′(x)>0f'(x) > 0f′(x)>0 递增，f′(x)<0f'(x) < 0f′(x)<0 递减）和极值点（临界点处 f′(x)=0f'(x) = 0f′(x)=0 或不存在）。
二阶导数 f′′(x)f''(x)f′′(x)：确定凹凸性（f′′(x)>0f''(x) > 0f′′(x)>0 凹向上，f′′(x)<0f''(x) < 0f′′(x)<0 凹向下）和拐点。

5. 求导法则

四则运算：

(u±v)′=u′±v′,(uv)′=u′v+uv′,(uv)′=u′v−uv′v2 (u \pm v)' = u' \pm v', \quad (uv)' = u'v + uv', \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} (u±v)′=u′±v′,(uv)′=u′v+uv′,(vu)′=v2u′v−uv′

链式法则：

ddxf(g(x))=f′(g(x))⋅g′(x) \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) dxdf(g(x))=f′(g(x))⋅g′(x)

6. 牛顿法

用于求方程 f(x)=0f(x) = 0f(x)=0 的近似解，迭代公式：

xn+1=xn−f(xn)f′(xn) x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} xn+1=xn−f′(xn)f(xn)

7. 反函数求导

若 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 可逆且 f′(x)≠0f'(x) \ne 0f′(x)=0，则反函数 x=f−1(y)x = f^{-1}(y)x=f−1(y) 的导数为：

dxdy=1f′(x)=1f′(f−1(y)) \frac{dx}{dy} = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} dydx=f′(x)1=f′(f−1(y))1

8. 隐函数求导

对由方程 F(x,y)=0F(x,y) = 0F(x,y)=0 确定的隐函数，两边对 xxx 求导，然后解出 dydx\frac{dy}{dx}dxdy。例如，对 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1x2+y2=1 求导得 2x+2ydydx=02x + 2y \frac{dy}{dx} = 02x+2ydxdy=0，所以 dydx=−xy\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}dxdy=−yx。

9. 对数求导法

对形如 y=f(x)g(x)y = f(x)^{g(x)}y=f(x)g(x) 或连乘除的函数，先取对数：ln⁡y=ln⁡f(x)\ln y = \ln f(x)lny=lnf(x) 或 ln⁡y=g(x)ln⁡f(x)\ln y = g(x) \ln f(x)lny=g(x)lnf(x)，然后两边对 xxx 求导，解出 y′y'y′。

四、原函数与不定积分（Anti-derivatives）

1. 三角函数积分

基本积分公式：

∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \sin x \, dx = -\cos x + C∫sinxdx=−cosx+C
∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x \, dx = \sin x + C∫cosxdx=sinx+C
∫sec⁡2x dx=tan⁡x+C\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C∫sec2xdx=tanx+C
∫csc⁡2x dx=−cot⁡x+C\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C∫csc2xdx=−cotx+C
∫sec⁡xtan⁡x dx=sec⁡x+C\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C∫secxtanxdx=secx+C
∫csc⁡xcot⁡x dx=−csc⁡x+C\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C∫cscxcotxdx=−cscx+C

2. 换元法

第一类换元（凑微分） ：∫f(φ(x))φ′(x) dx=∫f(u) du\int f(\varphi(x)) \varphi'(x) \, dx = \int f(u) \, du∫f(φ(x))φ′(x)dx=∫f(u)du，其中 u=φ(x)u = \varphi(x)u=φ(x)。
第二类换元 ：常用于根式积分，例如：
- a2−x2\sqrt{a^2 - x^2}a2−x2 ，令 x=asin⁡tx = a \sin tx=asint
- a2+x2\sqrt{a^2 + x^2}a2+x2 ，令 x=atan⁡tx = a \tan tx=atant
- x2−a2\sqrt{x^2 - a^2}x2−a2 ，令 x=asec⁡tx = a \sec tx=asect

3. 有理函数积分

将有理函数分解为部分分式之和，然后逐项积分。例如：

∫P(x)Q(x) dx \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx ∫Q(x)P(x)dx

其中 P(x)P(x)P(x)、Q(x)Q(x)Q(x) 为多项式，若 deg⁡P<deg⁡Q\deg P < \deg QdegP<degQ，可进行部分分式分解。

4. 分部积分法

公式：

∫u dv=uv−∫v du \int u \, dv = uv - \int v \, du ∫udv=uv−∫vdu

选择 uuu 的顺序可参考"反对幂指三"（反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数），通常将优先级高的选为 uuu。

五、定积分（Definite Integral）

1. 定义

黎曼和：设函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,b][a,b][a,b] 上有定义，将区间任意分割，取样本点，和式极限：

∫abf(x) dx=lim⁡max⁡Δxi→0∑i=1nf(ξi)Δxi \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i ∫abf(x)dx=maxΔxi→0limi=1∑nf(ξi)Δxi

2. 微积分基本定理（FTC）

第一部分 ：若 fff 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，则函数 F(x)=∫axf(t) dtF(x) = \int_a^x f(t) \, dtF(x)=∫axf(t)dt 在 [a,b][a,b][a,b] 上可导，且 F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)F′(x)=f(x)。
第二部分 ：若 FFF 是 fff 的一个原函数，则：

∫abf(x) dx=F(b)−F(a) \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)

3. 换元法

与不定积分类似，但需注意换限。设 x=φ(t)x = \varphi(t)x=φ(t)，则：

∫abf(x) dx=∫φ−1(a)φ−1(b)f(φ(t))φ′(t) dt \int_a^b f(x) \, dx = \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)} f(\varphi(t)) \varphi'(t) \, dt ∫abf(x)dx=∫φ−1(a)φ−1(b)f(φ(t))φ′(t)dt

4. 分部积分法

∫abu dv=[uv]ab−∫abv du \int_a^b u \, dv = [uv]_a^b - \int_a^b v \, du ∫abudv=[uv]ab−∫abvdu

5. 面积与体积

平面图形面积 ：由曲线 y=f(x)y = f(x)y=f(x)、y=g(x)y = g(x)y=g(x) 和直线 x=ax = ax=a、x=bx = bx=b 围成，面积为：

A=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dx A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx A=∫ab∣f(x)−g(x)∣dx

旋转体体积 ：
- 绕 x 轴旋转：V=π∫ab[f(x)]2 dxV = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dxV=π∫ab[f(x)]2dx
- 绕 y 轴旋转（柱壳法）：V=2π∫abxf(x) dxV = 2\pi \int_a^b x f(x) \, dxV=2π∫abxf(x)dx

6. 弧长

曲线 y=f(x)y = f(x)y=f(x)，a≤x≤ba \le x \le ba≤x≤b 的弧长为：

L=∫ab1+[f′(x)]2 dx L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx L=∫ab1+[f′(x)]2 dx

7. 数值积分

梯形法 ：∫abf(x) dx≈b−a2n[f(x0)+2∑i=1n−1f(xi)+f(xn)]\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{2n} \left[ f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n) \right]∫abf(x)dx≈2nb−a[f(x0)+2∑i=1n−1f(xi)+f(xn)]
辛普森法 ：∫abf(x) dx≈b−a6n[f(x0)+4∑i=1nf(x2i−1)+2∑i=1n−1f(x2i)+f(x2n)]\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6n} \left[ f(x_0) + 4\sum_{i=1}^{n} f(x_{2i-1}) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_{2i}) + f(x_{2n}) \right]∫abf(x)dx≈6nb−a[f(x0)+4∑i=1nf(x2i−1)+2∑i=1n−1f(x2i)+f(x2n)]

8. 反常积分

（1）无穷区间

∫a+∞f(x) dx=lim⁡t→+∞∫atf(x) dx \int_a^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x) \, dx ∫a+∞f(x)dx=t→+∞lim∫atf(x)dx

（2）无界函数

若 fff 在 aaa 点无界，则：

∫abf(x) dx=lim⁡t→a+∫tbf(x) dx \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x) \, dx ∫abf(x)dx=t→a+lim∫tbf(x)dx

（3）p-判别法

∫1+∞1xp dx\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} \, dx∫1+∞xp1dx 收敛当且仅当 p>1p > 1p>1
∫011xp dx\int_0^1 \frac{1}{x^p} \, dx∫01xp1dx 收敛当且仅当 p<1p < 1p<1

（4）比较判别法

若 0≤f(x)≤g(x)0 \le f(x) \le g(x)0≤f(x)≤g(x) 在 [a,+∞)[a, +\infty)[a,+∞) 上，则：

若 ∫a+∞g(x) dx\int_a^{+\infty} g(x) \, dx∫a+∞g(x)dx 收敛，则 ∫a+∞f(x) dx\int_a^{+\infty} f(x) \, dx∫a+∞f(x)dx 收敛
若 ∫a+∞f(x) dx\int_a^{+\infty} f(x) \, dx∫a+∞f(x)dx 发散，则 ∫a+∞g(x) dx\int_a^{+\infty} g(x) \, dx∫a+∞g(x)dx 发散

六、常微分方程（ODE）

1. 斜率场

给定微分方程 dydx=f(x,y)\frac{dy}{dx} = f(x,y)dxdy=f(x,y)，在平面区域上每一点 (x,y)(x,y)(x,y) 画出斜率为 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 的短线段，形成斜率场。解曲线（积分曲线）在每点处与斜率场的线段相切。

2. 可分离变量方程

形如 dydx=g(x)h(y)\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)dxdy=g(x)h(y)，分离变量：

dyh(y)=g(x) dx \frac{dy}{h(y)} = g(x) \, dx h(y)dy=g(x)dx

两边积分求解。

3. 线性微分方程

一阶线性方程：dydx+P(x)y=Q(x)\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)dxdy+P(x)y=Q(x)，通解公式：

y=e−∫P(x) dx(∫Q(x)e∫P(x) dx dx+C) y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right) y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)

4. 自治方程与相线分析

自治方程：dydt=f(y)\frac{dy}{dt} = f(y)dtdy=f(y)，不显含自变量 ttt。相线分析步骤：

求平衡点（f(y)=0f(y) = 0f(y)=0 的根）
判断稳定性：若 f′(y0)<0f'(y_0) < 0f′(y0)<0，则平衡点稳定；若 f′(y0)>0f'(y_0) > 0f′(y0)>0，则不稳定

5. 数学模型

指数增长/衰减 ：dydt=ky\frac{dy}{dt} = kydtdy=ky，解为 y=y0ekty = y_0 e^{kt}y=y0ekt
Logistic 模型 ：dydt=ry(1−yK)\frac{dy}{dt} = ry \left(1 - \frac{y}{K}\right)dtdy=ry(1−Ky)，描述有限资源下的增长
牛顿冷却定律 ：dTdt=k(T−Tenv)\frac{dT}{dt} = k(T - T_{\text{env}})dtdT=k(T−Tenv)，物体温度随时间变化