408真题解析-2009-9-数据结构-小根堆-排序

说明：本文参考了启航25版本、竟成25版本、王道25版本、考研官方推荐教材、互联网资料以及结合个人的理解整理。本人水平有限，若有不对之处，烦请指正。

一 真题2009-9

9. 已知关键字序列5，8,12,19,28,20,15,22 是小根堆（最小堆）插入关键字3，调整后得到的小根堆是（）。

A. 3,5,12,8,28,20,15,22,19

B. 3,5,12,19,20,15,22,8,28

C. 3,8,12,5,20,15,22,28,19

D. 3,12,5,8,28,20,15,22,19

二 读题

本题考察小根堆的调整

三 哔哔详解

小根堆插入规则：首先新元素放入堆尾，然后不断向上调整（与父结点比较，若小于则交换，直至满足堆性质）。

第一步 确认原堆

          5
       /     \
      8       12
    /  \     /  \
   19  28   20   15
  /
 22

第二步 插入关键字3

          5
       /     \
      8       12
    /  \     /  \
   19  28   20   15
  / \
 22  3   ← 新插入的 3

第三步向上调整：

• 当前节点：下标 8，值 = 3
• 父节点 ：(8 - 1) // 2 = 3，值 = 19
  → 3 < 19 → 交换

数组变为：[5, 8, 12, 3, 28, 20, 15, 22, 19]

树结构：

          5
       /     \
      8       12
    /  \     /  \
   3   28   20   15
  / \
22  19

• 当前节点：下标 3，值 = 3
• 父节点 ：(3 - 1) // 2 = 1，值 = 8
  → 3 < 8 → 交换

数组变为：[5, 3, 12, 8, 28, 20, 15, 22, 19]

树结构：

          5
       /     \
      3       12
    /  \     /  \
   8   28   20   15
  / \
22  19

• 当前节点：下标 1，值 = 3
• 父节点 ：(1 - 1) // 2 = 0，值 = 5
  → 3 < 5 → 交换

数组变为：[3, 5, 12, 8, 28, 20, 15, 22, 19]

树结构：

          3        ← 根
       /     \
      5       12
    /  \     /  \
   8   28   20   15
  / \
22  19

• 当前节点在根（下标 0），停止调整。

最终堆数组：[3, 5, 12, 8, 28, 20, 15, 22, 19] 故选 A

四 参考答案

参考答案 A

五 考点精析

5.1 堆的存储结构

• 堆是完全二叉树 ，用一维数组按层序（level order）存储
• 下标关系（从 0 开始）：
  • 父节点：parent = (i - 1) // 2 （整数除法，向下取整）
  • 左孩子：left = 2i + 1
  • 右孩子：right = 2i + 2

5.2 插入操作的调整

• 插入 → 向上调整（sift-up）

• 删除堆顶 → 向下调整（sift-down）

• 本题考的是插入 + 向上冒泡

5.3 小根堆性质

• 任意节点 ≤ 其子节点
• 不要求左右子树有序，只要求父子关系满足即可
• 数组中不是排序数组 ！例如 [3,5,12,8,...] 中 8 < 12，但 8 在左子树、12 在右子树，这是允许的。

六 考点追踪

暂 无