如何表示

首先我们可以知道 \(\angle\alpha\) 在必修一的定义里是一条射线. 那么这个射线会经过一些顶点.

我们取经过的第一个 \(x,y\in\Z\) 的点 \((x,y)\), 用有序数对 \(@(x,y)\) 表示这个角.

如果你发现对于第一个点 \((x,y)\) 有 \(\gcd(x,y)\ne1\), 那就说明你找错了, 请使用 \((\cfrac{x}{\gcd(x,y)},\cfrac{y}{\gcd(x,y)})\).
如果完全不经过整数点, 那么取 \(x=1\), 此时有 \(y\in\R\) 而不是 \(y\in\Z\).

这样表示一个角有许多好处.

三角函数

最显然的, \(\tan @(x,y)=\cfrac{y}{x}\).

于是我们使用简单的勾股定理就可以得到 \(\sin @(x,y)=\cfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\), \(\cos @(x,y)=\cfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\).

比较两个角的角度

有 \(\angle @(p,q)\) 和 \(\angle @(u,v)\), 我们只需要比较 \(\cfrac{q}{p}\) 和 \(\cfrac{v}{u}\) 就可以得到两个角的大小关系了.

这其实是比较了 \(\angle @(p,q)\) 和 \(\angle @(u,v)\) 在 \(x=1\) 时的 \(y\) 的大小关系.