upd.26.2.11

数学分析笔记整理

§6 函数极限

一、$x \to \infty$ 的极限

设 $f$ 定义在 $[a, +\infty)$ 上，$A$ 为定数，若 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists M > a$，使得当 $x > M$ 时有 $|f(x) - A| < \varepsilon$，则称 $f$ 当 $x$ 趋于 $+\infty$ 时以 $A$ 为极限，记作：

\ $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = A \\$

同理定义 $-\infty$ 的极限。

二、$x \to x_0$ 的极限（$\varepsilon-\delta$ 定义）

设 $f$ 在 $U^\circ(x_0; \delta')$ 内有定义，$A$ 为定数，若 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta \in (0, \delta')$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有

\ $\|f(x) - A\| \< \\varepsilon \\$

则称 $f$ 当 $x$ 趋于 $x_0$ 时以 $A$ 为极限，记作

\ $\\lim_{x \\to x_0} f(x) = A \\$

3. 单侧极限

设函数 $f$ 在 $U^+_r(x_0; \delta')$（或 $U^-_r(x_0; \delta')$）上有定义，若 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta < \delta'$，使得当 $x_0 < x < x_0 + \delta$（或 $x_0 - \delta < x < x_0$）时有

\ $\|f(x) - A\| \< \\varepsilon \\$

则称 $A$ 为函数 $f$ 当 $x$ 趋于 $x_0^+$（$x_0^-$）的右（左）极限，记作

\ $\\lim_{x \\to x_0\^+} f(x) = A \\quad \\text{（或 } \\lim_{x \\to x_0\^-} f(x) = A \\text{）} \\$

定理：

\ $\\lim_{x \\to x_0} f(x) = A \\iff \\lim_{x \\to x_0\^+} f(x) = \\lim_{x \\to x_0\^-} f(x) = A \\$

§7 函数极限的性质

唯一性 ：若极限 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，则该极限唯一。
局部有界性 ：若 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，则 $f$ 在 $U^\circ(x_0)$ 上有界。
局部保号性 ：若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0$（或 $< 0$），则对任何正数 $r < A$（或 $r < -A$），存在 $U^\circ(x_0)$，对一切 $x \in U^\circ(x_0)$，有：

\ $f(x) \> r \> 0 \\quad \\text{（或 } f(x) \< -r \< 0 \\text{）} \\$
保不等式性 ：设 $\lim_{x \to x_0} f(x)$，$\lim_{x \to x_0} g(x)$ 存在，且在 $U^\circ(x_0; \delta')$ 上有 $f(x) \leq g(x)$，则：

\ $\\lim_{x \\to x_0} f(x) \\leq \\lim_{x \\to x_0} g(x) \\$
夹逼定理 ：设 $\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = A$，在 $U^\circ(x_0; \delta')$ 上有

\ $f(x) \\leq h(x) \\leq g(x) \\$

则

\ $\\lim_{x \\to x_0} h(x) = A \\$

§8 函数极限存在的条件

① 海涅（Heine）定理

设 $f$ 在 $U^\circ(x_0; \delta)$ 上有定义，$\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在 $\iff$ 对于任何含于 $U^\circ(x_0; \delta)$ 的数列 $\{a_n\}$，$\lim_{n \to \infty} f(a_n)$ 存在且相等。

Heine 定理等价式：

\ $\\lim_{x \\to x_0} f(x) = A \\iff \\forall x_n \\to x_0 \\ (n \\to \\infty) \\ \\text{有} \\ \\lim_{k \\to \\infty} f(x_n) = A \\$

② Cauchy 准则

$\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在 $\iff \forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta$，使得 $\forall x', x'' \in U^\circ(x_0; \delta')$，有

\ $\|f(x') - f(x'')\| \< \\varepsilon \\$

类似于数列。

§9 两个重要极限

一、

\ $\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sin x}{x} = 1 \\$

证明：已知 $\sin x < x < \tan x \ (0 < x < \frac{\pi}{2})$，同除 $\sin x$ 得：

\ $1 \< \\frac{x}{\\sin x} \< \\frac{1}{\\cos x} \\iff \\cos x \< \\frac{\\sin x}{x} \< 1 \\$

用 $-x$ 替换 $x$ 仍成立，推广：$x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。由夹逼定理得：

\ $\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sin x}{x} = 1 \\$

二、

\ $\\lim_{x \\to \\infty} \\left(1 + \\frac{1}{x}\\right)\^x = e \\$

稳定点与费马定理

稳定点 ：$f'(x) = 0$ 的点。
费马定理 ：极值点一定是稳定点，稳定点不一定是极值点。
- 例：$y = x^3$，$x = 0$ 为稳定点，但不为极值点。

凸性、拐点与 Jensen 不等式

定理：$f$ 在 $I$ 上二阶可导，则 $f$ 在 $I$ 上为凸（凹）函数 $\iff f''(x) \geq 0$（$f''(x) \leq 0$），$x \in I$。

延森（Jensen）不等式 ：若 $f$ 为 $ $a, b$ $ 上的凸函数，则对任意 $x_i \in $a, b$ $，$\lambda_i > 0$，$\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$，有：

\ $f\\left(\\sum_{i=1}\^n \\lambda_i x_i\\right) \\leq \\sum_{i=1}\^n \\lambda_i f(x_i) \\$

拐点：$(x_0, f(x_0))$ 处切线穿过曲线，且两侧严格凸和严格凹，此时称 $(x_0, f(x_0))$ 是 $y = f(x)$ 的拐点。

$f''(x_0) = 0 \Rightarrow (x_0, f(x_0))$ 为 $f(x)$ 拐点。
$f''(x)$ 在 $U^+_r(x_0)$、$U^-_r(x_0)$ 符号相反 $\Rightarrow (x_0, f(x_0))$ 为 $f(x)$ 拐点。
拐点是点坐标！

§10 导数

定义：

设函数 $y = f(x)$ 在 $U(x_0)$ 内有定义，若

\ $\\lim_{x \\to x_0} \\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \\$

存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，记作 $f'(x)$。

几何意义 ：在 $(x_0, y_0)$ 处切线斜率。

切线方程：

\ $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \\$

极值点 ：

若函数 $f$ 在 $U(x_0)$ 上对一切 $x \in U(x_0)$ 都有 $f(x_0) > f(x)$（或 $f(x_0) < f(x)$），则称 $x_0$ 为极大（小）值点。

§11 微分

定义：

设函数 $y = f(x)$ 定义在 $U(x_0)$ 上，若 $x_0 + \Delta x \in U(x_0)$，定义增量

\ $\\Delta y = f(x_0 + \\Delta x) - f(x_0) \\$

若存在常数 $A$，使得

\ $\\Delta y = A \\Delta x + o(\\Delta x) \\$

则称 $f$ 在 $x_0$ 处可微，$A \Delta x$ 记作微分，记为

\ $\\mathrm{d}y\|_{x=x_0} \\quad \\text{或} \\quad \\mathrm{d}f(x)\|_{x=x_0} \\$

可导 ⇔ 可微

\ $\\mathrm{d}y = f'(x) \\mathrm{d}x \\$

关于极值

第一充分条件

当 $x \in U^-(x_0)$ 时，$f'(x) \leq 0$；当 $x \in U^+(x_0)$ 时，$f'(x) \geq 0$，则 $f$ 在 $x_0$ 处取极小值。
当 $x \in U^-(x_0)$ 时，$f'(x) \geq 0$；当 $x \in U^+(x_0)$ 时，$f'(x) \leq 0$，则 $f$ 在 $x_0$ 处取极大值。

第二充分条件

设 $f$ 在 $U(x_0)$ 上一阶可导，在 $x = x_0$ 处二阶可导，且 $f'(x_0) = 0$，$f''(x_0) \neq 0$。

若 $f''(x_0) < 0$：极大值
若 $f''(x_0) > 0$：极小值

§ 微分定理

一、罗尔定理（Rolle）

若函数 $f$ 满足如下条件：

$f$ 在 $ $a, b$ $ 上连续
$f$ 在 $(a, b)$ 上可导
$f(a) = f(b)$

则 $(a, b)$ 上至少存在一点 $\xi$，使得 $f'(\xi) = 0$。

二、拉格朗日中值定理（Lagrange）

若 $f$ 满足：

$ $a, b$ $ 上连续
$(a, b)$ 上可导

则在 $(a, b)$ 上至少有一点 $\xi$，使得

\ $f'(\\xi) = \\frac{f(b) - f(a)}{b - a} \\$

该定理是 Rolle 的一般情况。

推论

若 $f$ 在区间 $I$ 上可导，且 $f'(x) \equiv 0$，$x \in I$，则 $f$ 在 $I$ 上为常函数。
若 $f, g$ 在区间 $I$ 上可导，且 $f'(x) \equiv g'(x)$，$x \in I$，则 $f(x) = g(x) + C$。
导数极限定理 ：设 $f$ 在 $U(x_0)$ 上连续，在 $U^\circ(x_0)$ 上可导，且 $\lim_{x \to x_0} f'(x)$ 存在，则

\ $f'(x_0) = \\lim_{x \\to x_0} f'(x) \\$
达布定理 ：若 $f$ 在 $ $a, b$ $ 上可导，且 $f'+(a) \neq f'-(b)$，$k \in (f'+(a), f'-(b))$，则至少存在一点 $\xi$，使得 $f'(\xi) = k$。

柯西中值定理

设 $f, g$ 满足：

在 $ $a, b$ $ 上连续
在 $(a, b)$ 上可导
$f'(x)$ 和 $g'(x)$ 不同时为 0
$g(a) \neq g(b)$

则存在 $\xi \in (a, b)$，使得：

\ $\\frac{f'(\\xi)}{g'(\\xi)} = \\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \\$

洛必达法则

\ $\\lim_{x \\to x_0\^\*} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{x \\to x_0\^\*} \\frac{f'(x)}{g'(x)} \\$

（不可用于离散函数）

§ 泰勒公式

对于任一多项式 $P(x) = \sum_{i=0}^n a_i (x - x_0)^i$，对其在 $x_0$ 处的导数：

\ $P\^{(n)}(x_0) = n! a_n \\$

因此多项式系数由其在 $x_0$ 处导数值唯一确定。

由此可得 $f$ 在 $x_0$ 处的泰勒多项式：

\ $T(x) = f(x_0) + \\frac{f'(x_0)}{1!}(x - x_0) + \\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)\^2 + \\dots + \\frac{f\^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)\^n \\$

其中系数 $\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \ (k = 1, 2, \dots, n)$ 称为泰勒系数。

Taylor 公式 ：若 $f$ 在 $x_0$ 存在直至 $n$ 阶导数，则有 $f(x) = T(x) + o((x - x_0)^n)$，即

\ $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)\^2 + \\dots + \\frac{f\^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)\^n + o((x - x_0)\^n) \\$

佩亚诺型余项。

当 $x_0 = 0$ 时，有特殊形式：

\ $f(x) = f(0) + f'(0)x + \\frac{f''(0)}{2!}x\^2 + \\dots + \\frac{f\^{(n)}(0)}{n!}x\^n + o(x\^n) \\$

称为麦克劳林公式（Maclaurin）。

一些常用的麦克劳林展开：

\ $\\begin{aligned} e\^x \&= 1 + x + \\frac{x\^2}{2!} + \\dots + \\frac{x\^n}{n!} + o(x\^n) \\\\ \\sin x \&= x - \\frac{x\^3}{3!} + \\frac{x\^5}{5!} + \\dots + (-1)\^{m-1} \\frac{x\^{2m-1}}{(2m-1)!} + o(x\^{2m}) \\\\ \\cos x \&= 1 - \\frac{x\^2}{2!} + \\frac{x\^4}{4!} + \\dots + (-1)\^m \\frac{x\^{2m}}{(2m)!} + o(x\^{2m}) \\\\ \\ln(1+x) \&= x - \\frac{x\^2}{2} + \\frac{x\^3}{3} + \\dots + (-1)\^{n-1} \\frac{x\^n}{n} + o(x\^n) \\\\ \\frac{1}{1-x} \&= 1 + x + x\^2 + \\dots + x\^n + o(x\^n) \\quad \\text{（级数形式）} \\end{aligned} \\$

泰勒定理

若 $f$ 在 $ $a, b$ $ 上有至 $n$ 阶的连续导函数，在 $(a, b)$ 上有 $(n+1)$ 阶导函数，则对任意 $x, x_0 \in $a, b$ $，至少存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得：

\ $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)\^2 + \\dots + \\frac{f\^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)\^n + \\frac{f\^{(n+1)}(\\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)\^{n+1} \\$

拉格朗日型余项。

参变函数的导数

\ $\\begin{cases} x = \\varphi(t) \\\\ y = \\psi(t) \\end{cases} \\$

则

\ $\\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}x} = \\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}t} \\bigg/ \\frac{\\mathrm{d}x}{\\mathrm{d}t} = \\frac{\\psi'(t)}{\\varphi'(t)} \\$

高阶导数

\ $\\lim_{x \\to x_0} \\frac{f'(x) - f'(x_0)}{x - x_0} = f''(x_0) \\$

n 阶导数 ：记作 $f^{(n)}(x_0)$，$y^{(n)}|_{x=x_0}$，$\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}$，$\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}$。

高阶导数运算：

加减：$ $u \\pm v$ ^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}$
乘：莱布尼茨公式：

\ $(uv)\^{(n)} = \\sum_{k=0}\^n C_n\^k u\^{(n-k)} v\^{(k)} \\$

类似二项式定理。

§ 函数的凸性和拐点

定义：

$\forall x_1, x_2 \in D$，$\lambda \in (0, 1)$，总有：

\ $f(\\lambda x_1 + (1-\\lambda)x_2) \\leq \\lambda f(x_1) + (1-\\lambda)f(x_2) \\$

则 $f$ 在 $D$ 上为凸函数。
反之，

\ $f(\\lambda x_1 + (1-\\lambda)x_2) \\geq \\lambda f(x_1) + (1-\\lambda)f(x_2) \\$

则 $f$ 在 $D$ 上为凹函数。

Tip：非严格定义。

若 $f$ 在 $I$ 上可导，则下述命题等价：

$f$ 为 $I$ 上凸函数
$f'$ 为 $I$ 上增函数
$\forall x_1, x_2 \in I$，有：$f(x_2) \geq f(x_1) + f'(x_1)(x_2 - x_1)$

几何意义：$f(x)$ 曲线总在任一切线上方。

数学分析学习笔记3：函数