upd.26.2.11

数学分析笔记整理

§6 函数极限

一、\(x \to \infty\) 的极限

设 \(f\) 定义在 \([a, +\infty)\) 上，\(A\) 为定数，若 \(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists M > a\)，使得当 \(x > M\) 时有 \(|f(x) - A| < \varepsilon\)，则称 \(f\) 当 \(x\) 趋于 \(+\infty\) 时以 \(A\) 为极限，记作：

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = A \]

同理定义 \(-\infty\) 的极限。

二、\(x \to x_0\) 的极限（\(\varepsilon-\delta\) 定义）

设 \(f\) 在 \(U^\circ(x_0; \delta')\) 内有定义，\(A\) 为定数，若 \(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta \in (0, \delta')\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，有

\[|f(x) - A| < \varepsilon \]

则称 \(f\) 当 \(x\) 趋于 \(x_0\) 时以 \(A\) 为极限，记作

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = A \]

3. 单侧极限

设函数 \(f\) 在 \(U^+_r(x_0; \delta')\)（或 \(U^-_r(x_0; \delta')\)）上有定义，若 \(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta < \delta'\)，使得当 \(x_0 < x < x_0 + \delta\)（或 \(x_0 - \delta < x < x_0\)）时有

\[|f(x) - A| < \varepsilon \]

则称 \(A\) 为函数 \(f\) 当 \(x\) 趋于 \(x_0^+\)（\(x_0^-\)）的右（左）极限，记作

\[\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A \quad \text{（或 } \lim_{x \to x_0^-} f(x) = A \text{）} \]

定理：

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = A \]

§7 函数极限的性质

唯一性 ：若极限 \(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 存在，则该极限唯一。
局部有界性 ：若 \(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 存在，则 \(f\) 在 \(U^\circ(x_0)\) 上有界。
局部保号性 ：若 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0\)（或 \(< 0\)），则对任何正数 \(r < A\)（或 \(r < -A\)），存在 \(U^\circ(x_0)\)，对一切 \(x \in U^\circ(x_0)\)，有：

\[f(x) > r > 0 \quad \text{（或 } f(x) < -r < 0 \text{）} \]
保不等式性 ：设 \(\lim_{x \to x_0} f(x)\)，\(\lim_{x \to x_0} g(x)\) 存在，且在 \(U^\circ(x_0; \delta')\) 上有 \(f(x) \leq g(x)\)，则：

\[\lim_{x \to x_0} f(x) \leq \lim_{x \to x_0} g(x) \]
夹逼定理 ：设 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = A\)，在 \(U^\circ(x_0; \delta')\) 上有

\[f(x) \leq h(x) \leq g(x) \]

则

\[\lim_{x \to x_0} h(x) = A \]

§8 函数极限存在的条件

① 海涅（Heine）定理

设 \(f\) 在 \(U^\circ(x_0; \delta)\) 上有定义，\(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 存在 \(\iff\) 对于任何含于 \(U^\circ(x_0; \delta)\) 的数列 \(\{a_n\}\)，\(\lim_{n \to \infty} f(a_n)\) 存在且相等。

Heine 定理等价式：

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \forall x_n \to x_0 \ (n \to \infty) \ \text{有} \ \lim_{k \to \infty} f(x_n) = A \]

② Cauchy 准则

\(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 存在 \(\iff \forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta\)，使得 \(\forall x', x'' \in U^\circ(x_0; \delta')\)，有

\[|f(x') - f(x'')| < \varepsilon \]

类似于数列。

§9 两个重要极限

一、

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

证明：已知 \(\sin x < x < \tan x \ (0 < x < \frac{\pi}{2})\)，同除 \(\sin x\) 得：

\[1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} \iff \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1 \]

用 \(-x\) 替换 \(x\) 仍成立，推广：\(x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\)。由夹逼定理得：

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

二、

\[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \]

稳定点与费马定理

稳定点 ：\(f'(x) = 0\) 的点。
费马定理 ：极值点一定是稳定点，稳定点不一定是极值点。
- 例：\(y = x^3\)，\(x = 0\) 为稳定点，但不为极值点。

凸性、拐点与 Jensen 不等式

定理：\(f\) 在 \(I\) 上二阶可导，则 \(f\) 在 \(I\) 上为凸（凹）函数 \(\iff f''(x) \geq 0\)（\(f''(x) \leq 0\)），\(x \in I\)。

延森（Jensen）不等式 ：若 \(f\) 为 \([a, b]\) 上的凸函数，则对任意 \(x_i \in [a, b]\)，\(\lambda_i > 0\)，\(\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1\)，有：

\[f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i) \]

拐点：\((x_0, f(x_0))\) 处切线穿过曲线，且两侧严格凸和严格凹，此时称 \((x_0, f(x_0))\) 是 \(y = f(x)\) 的拐点。

\(f''(x_0) = 0 \Rightarrow (x_0, f(x_0))\) 为 \(f(x)\) 拐点。
\(f''(x)\) 在 \(U^+_r(x_0)\)、\(U^-_r(x_0)\) 符号相反 \(\Rightarrow (x_0, f(x_0))\) 为 \(f(x)\) 拐点。
拐点是点坐标！

§10 导数

定义：

设函数 \(y = f(x)\) 在 \(U(x_0)\) 内有定义，若

\[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \]

存在，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导，记作 \(f'(x)\)。

几何意义 ：在 \((x_0, y_0)\) 处切线斜率。

切线方程：

\[y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \]

极值点 ：

若函数 \(f\) 在 \(U(x_0)\) 上对一切 \(x \in U(x_0)\) 都有 \(f(x_0) > f(x)\)（或 \(f(x_0) < f(x)\)），则称 \(x_0\) 为极大（小）值点。

§11 微分

定义：

设函数 \(y = f(x)\) 定义在 \(U(x_0)\) 上，若 \(x_0 + \Delta x \in U(x_0)\)，定义增量

\[\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \]

若存在常数 \(A\)，使得

\[\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x) \]

则称 \(f\) 在 \(x_0\) 处可微，\(A \Delta x\) 记作微分，记为

\[\mathrm{d}y|{x=x_0} \quad \text{或} \quad \mathrm{d}f(x)|{x=x_0} \]

可导 ⇔ 可微

\[\mathrm{d}y = f'(x) \mathrm{d}x \]

关于极值

第一充分条件

当 \(x \in U^-(x_0)\) 时，\(f'(x) \leq 0\)；当 \(x \in U^+(x_0)\) 时，\(f'(x) \geq 0\)，则 \(f\) 在 \(x_0\) 处取极小值。
当 \(x \in U^-(x_0)\) 时，\(f'(x) \geq 0\)；当 \(x \in U^+(x_0)\) 时，\(f'(x) \leq 0\)，则 \(f\) 在 \(x_0\) 处取极大值。

第二充分条件

设 \(f\) 在 \(U(x_0)\) 上一阶可导，在 \(x = x_0\) 处二阶可导，且 \(f'(x_0) = 0\)，\(f''(x_0) \neq 0\)。

若 \(f''(x_0) < 0\)：极大值
若 \(f''(x_0) > 0\)：极小值

§ 微分定理

一、罗尔定理（Rolle）

若函数 \(f\) 满足如下条件：

\(f\) 在 \([a, b]\) 上连续
\(f\) 在 \((a, b)\) 上可导
\(f(a) = f(b)\)

则 \((a, b)\) 上至少存在一点 \(\xi\)，使得 \(f'(\xi) = 0\)。

二、拉格朗日中值定理（Lagrange）

若 \(f\) 满足：

\([a, b]\) 上连续
\((a, b)\) 上可导

则在 \((a, b)\) 上至少有一点 \(\xi\)，使得

\[f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

该定理是 Rolle 的一般情况。

推论

若 \(f\) 在区间 \(I\) 上可导，且 \(f'(x) \equiv 0\)，\(x \in I\)，则 \(f\) 在 \(I\) 上为常函数。
若 \(f, g\) 在区间 \(I\) 上可导，且 \(f'(x) \equiv g'(x)\)，\(x \in I\)，则 \(f(x) = g(x) + C\)。
导数极限定理 ：设 \(f\) 在 \(U(x_0)\) 上连续，在 \(U^\circ(x_0)\) 上可导，且 \(\lim_{x \to x_0} f'(x)\) 存在，则

\[f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} f'(x) \]
达布定理 ：若 \(f\) 在 \([a, b]\) 上可导，且 \(f'+(a) \neq f'-(b)\)，\(k \in (f'+(a), f'-(b))\)，则至少存在一点 \(\xi\)，使得 \(f'(\xi) = k\)。

柯西中值定理

设 \(f, g\) 满足：

在 \([a, b]\) 上连续
在 \((a, b)\) 上可导
\(f'(x)\) 和 \(g'(x)\) 不同时为 0
\(g(a) \neq g(b)\)

则存在 \(\xi \in (a, b)\)，使得：

\[\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \]

洛必达法则

\[\lim_{x \to x_0^*} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0^*} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]

（不可用于离散函数）

§ 泰勒公式

对于任一多项式 \(P(x) = \sum_{i=0}^n a_i (x - x_0)^i\)，对其在 \(x_0\) 处的导数：

\[P^{(n)}(x_0) = n! a_n \]

因此多项式系数由其在 \(x_0\) 处导数值唯一确定。

由此可得 \(f\) 在 \(x_0\) 处的泰勒多项式：

\[T(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n \]

其中系数 \(\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \ (k = 1, 2, \dots, n)\) 称为泰勒系数。

Taylor 公式 ：若 \(f\) 在 \(x_0\) 存在直至 \(n\) 阶导数，则有 \(f(x) = T(x) + o((x - x_0)^n)\)，即

\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n) \]

佩亚诺型余项。

当 \(x_0 = 0\) 时，有特殊形式：

\[f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n) \]

称为麦克劳林公式（Maclaurin）。

一些常用的麦克劳林展开：

\[\begin{aligned} e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \\ \sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots + (-1)^{m-1} \frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!} + o(x^{2m}) \\ \cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + (-1)^m \frac{x^{2m}}{(2m)!} + o(x^{2m}) \\ \ln(1+x) &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n) \\ \frac{1}{1-x} &= 1 + x + x^2 + \dots + x^n + o(x^n) \quad \text{（级数形式）} \end{aligned} \]

泰勒定理

若 \(f\) 在 \([a, b]\) 上有至 \(n\) 阶的连续导函数，在 \((a, b)\) 上有 \((n+1)\) 阶导函数，则对任意 \(x, x_0 \in [a, b]\)，至少存在一点 \(\xi \in (a, b)\)，使得：

\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1} \]

拉格朗日型余项。

参变函数的导数

\[\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases} \]

则

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \bigg/ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \]

高阶导数

\[\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x) - f'(x_0)}{x - x_0} = f''(x_0) \]

n 阶导数 ：记作 \(f^{(n)}(x_0)\)，\(y^{(n)}|_{x=x_0}\)，\(\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}\)，\(\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\)。

高阶导数运算：

加减：\([u \pm v]^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}\)
乘：莱布尼茨公式：

\[(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)} \]

类似二项式定理。

§ 函数的凸性和拐点

定义：

\(\forall x_1, x_2 \in D\)，\(\lambda \in (0, 1)\)，总有：

\[f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2) \]

则 \(f\) 在 \(D\) 上为凸函数。
反之，

\[f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \geq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2) \]

则 \(f\) 在 \(D\) 上为凹函数。

Tip：非严格定义。

若 \(f\) 在 \(I\) 上可导，则下述命题等价：

\(f\) 为 \(I\) 上凸函数
\(f'\) 为 \(I\) 上增函数
\(\forall x_1, x_2 \in I\)，有：\(f(x_2) \geq f(x_1) + f'(x_1)(x_2 - x_1)\)

几何意义：\(f(x)\) 曲线总在任一切线上方。

数学分析学习笔记3：函数