【MIMO-OFDM系列】三、时、频域同步技术

时、频域同步技术

• STO的影响
• CFO的影响
• • IFO的影响
  • FFO的影响
• STO估计技术
• • 时域STO估计技术
  • • 基于CP的STO估计技术
    • 基于训练符号的STO估计
  • 频域STO估计技术
• CFO估计技术
• • 时域CFO估计技术
  • • 基于CP的CFO估计技术
    • 基于训练符号的CFO估计技术
  • 频域CFO估计技术

为了解决频率选择性信道（或等价为多径衰落信道中的ISI）引起的失真，OFDM系统在正交子载波上并行传输消息数据。然而，只有正交性得到保持时，OFDM才能够发挥其技术优势。因此，在正交性得不到充分保证的情况下，系统性能会因ISI和ICI而下降。当存在大小为 δ \delta δ的STO和大小为 ε \varepsilon ε的CFO时，基带接收信号可以表示为：

y l n = IDFT { Y l k } = IDFT { H l k X l k + Z l k } = 1 N ∑ k = 0 N − 1 H l k X l k e j 2 π ( k + ε ) ( n + δ ) / N + z l n y_ln=\text{IDFT}\left\{Y_lk\right\}=\text{IDFT}\left\{H_lkX_lk+Z_lk\right\}=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}H_lkX_lke^{j2\pi(k+\varepsilon)(n+\delta)/N}+z_ln yln=IDFT{Ylk}=IDFT{HlkXlk+Zlk}=N1k=0∑N−1HlkXlkej2π(k+ε)(n+δ)/N+zln

其中， z l n = IDFT { Z l k } z_ln=\text{IDFT}\left\{Z_lk\right\} zln=IDFT{Zlk}。

STO的影响

在OFDM系统中,IFFT和FFT分别是发射机调制和接收机解调的基本功能。为了在接收机进行 N N N点FFT,需要在OFDM符号周期内得到对发射信号的精确采样。换句话说,为了检测每一个(去CP后的)OFDM符号的起始点,必须执行符号定时同步步,这样有助于获得精确的采样。

上表显示了具有 δ \delta δ个采样的STO如何在时域和频域影响接收符号,其中为了叙述简便,忽略了信道和噪声的影响。从上表中可以看出,时域上 δ \delta δ大小的STO会引起频域上 2 π δ / N 2\pi \delta/N 2πδ/N大小的相位偏差,相位偏差与子载波编号 k k k和 δ \delta δ成比例。

根据对OFDM符号起始点估计的位置不同，STO具有不同的影响。下图显示了四中不同情况下的定时偏差，即与精确的定时时刻相比，估计的起始点分别为准确、早一点、更早一点和稍晚一点。此处，假设多径时延扩展为 τ max \tau_{\text{max}} τmax，并且在后面的分析汇总，忽略信道和噪声的影响。

• Case 1：估计的OFDM符号起始点与精确的定时一致，因此能够保持子载波频率分量之间的正交性。在这种情况下，可以完美地恢复OFDM符号，而且没有任何干扰；
• Case 2：估计的OFDM符号起始点在精确的定时点之前，但处在前一个OFDM符号信道响应的末端之后。在这种情况下，低 l l l个符号与第 l − 1 l-1 l−1个符号不会重叠，即不存在有前一个符号引起的ISI。为了观察STO的影响，这里考虑频域接收信号。对时域接收信号的采样 { x l n + δ } n = 0 N − 1 \left\{x_ln+\\delta\right\}_{n=0}^{N-1} {xln+δ}n=0N−1进行FFT，得到频域接收信号：

Y l k = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x l n + δ e − j 2 π n k / N = 1 N ∑ n = 0 N − 1 { ∑ p = 0 N − 1 X l p e j 2 π ( n + δ ) p / N } e − j 2 π n k / N = 1 N ∑ p = 0 N − 1 X l p e j 2 π δ p / N ∑ n = 0 N − 1 e j 2 π ( p − k ) n / N = X l k e j 2 π k δ / N Y_lk=\frac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-1}x_ln+\\deltae^{-j2\pi nk/N}=\frac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-1}\left\{\sum\limits_{p=0}^{N-1}X_lpe^{j2\pi (n+\delta)p/N}\right\}e^{-j2\pi nk/N}=\frac{1}{N}\sum\limits_{p=0}^{N-1}X_lpe^{j2\pi \delta p/N}\sum\limits_{n=0}^{N-1}e^{j2\pi (p-k)n/N}=X_lke^{j2\pi k\delta / N} Ylk=N1n=0∑N−1xln+δe−j2πnk/N=N1n=0∑N−1{p=0∑N−1Xlpej2π(n+δ)p/N}e−j2πnk/N=N1p=0∑N−1Xlpej2πδp/Nn=0∑N−1ej2π(p−k)n/N=Xlkej2πkδ/N

∑ n = 0 N − 1 e j 2 π p − k N n = e j 2 π ( p − k ) N − 1 N ⋅ sin ⁡ π ( k − p ) sin ⁡ π ( k − p ) / N = { N , k = p 0 , k ≠ p \sum\limits_{n=0}^{N-1}e^{j2\pi \frac{p-k}{N}n}=e^{j2\pi(p-k)\frac{N-1}{N}}\cdot \frac{\sin\\pi(k-p)}{\sin\\pi (k-p)/N}=\left\{\begin{matrix} N,k=p\\ 0,k\ne p \end{matrix}\right. n=0∑N−1ej2πNp−kn=ej2π(p−k)NN−1⋅sinπ(k−p)/Nsinπ(k−p)={N,k=p0,k=p

上式表明，可以完全保持子载波频率分量间的正交性。然而，从上式也可以看出，接收信号中存在相位偏差，它使信号的星座绕原点旋转，其中相位偏与 δ \delta δ和 k k k成正比。下图（a）和（b）分别显示了Case 1和Case 2中接收信号的星座图。正如期望的那样，在Case 2中观察到了由STO造成的相位偏差现象。通过一个单抽头的频域均衡器，可以直接补偿相位偏差。

• Case 3：估计的OFDM符号起始点早于前一个OFDM符号信道响应的末端，因此符号定时太早而无法避免ISI。这种情况下，子载波间的正交性被（来自前一个符号的）ISI破坏，同时出现了ICI；
• Case 4：估计的OFDM符号起始点滞后于精确的定时点。在这种情况下，在FFT间隔 T s u b T_{sub} Tsub内，信号由当前的OFDM符号 x l n x_ln xln的一部分和下一个OFDM符号 x l + 1 n x_{l+1}n xl+1n的一部分组成。在FFT间隔内，接收信号可以表示为：

y l n = { x l n + δ , 0 ≤ n ≤ N − 1 − δ x l + 1 n + 2 δ − N G , N − δ ≤ n ≤ N − 1 y_ln=\left\{\begin{matrix} x_ln+\\delta,0\le n \le N-1-\delta\\ x_{l+1}n+2\\delta -N_G,N-\delta \le n \le N-1 \end{matrix}\right. yln={xln+δ,0≤n≤N−1−δxl+1n+2δ−NG,N−δ≤n≤N−1

其中， N G N_G NG为GI的长度。对复数信号 { y l n } n = 0 N − 1 \left\{y_ln\right\}_{n=0}^{N-1} {yln}n=0N−1进行FFT变换，得到解调信号：

上式中最后一行的第二项对应于ICI，这意味着正交性已经被破坏。此外，从上式中最后一行可以清楚地看到，接收信号中存在来自下一个OFDM符号 X l + 1 p X_{l+1}p Xl+1p的ISI。

下图（a）和（b）分别显示了Case 3和Case 4的信号星座图。在Case 4中，失真（包括相位偏差）过于严重，以至于无法得到补偿。这说明为了防止出现这种情况下的STO，符号定时方案是必要的。

CFO的影响

通过载波调制将基带信号向上变换到通频带,然后,在接收机通过使用具有相同频率的本地载波将信号向下变换到基带。总的来说,与载波信号相关的畸变有有两种。一种是由发射机和接收机的载波信号发生器不稳定引起的相位噪声 ,可以将其建模为一个零均值的维纳随机过程。另一种是由多普勒频移 f d f_d fd所引起的CFO 。尽管我们想要在发射机和接收机产生相同频率的载波,但是载波频率会因振荡器固有的物理特性不同而难以保持一致。令 f c f_c fc和 f c ′ f_c' fc′分别表示发射机和接收机的载波频率； f o f f s e t f_{offset} foffset表示二者之间的差值,即 f o f f s e t = f c − f c ′ f_{offset}=f_c-f_c' foffset=fc−fc′。多普勒频移 f d f_d fd由载波频率 f c f_c fc和移动终端的速度 v v v共同决定：

f d = v ⋅ f c c f_d=\frac{v\cdot f_c}{c} fd=cv⋅fc

其中， c c c为光速。定义归一化的CFO为CFO与子载波间隔的比值：

ε = f o f f s e t △ f \varepsilon=\frac{f_{offset}}{\triangle f} ε=△ffoffset

令 ε i \varepsilon_i εi和 ε f \varepsilon_f εf分别表示 ε \varepsilon ε的整数部分和小数部分，即 ε = ε i + ε f \varepsilon=\varepsilon_i+\varepsilon_f ε=εi+εf，其中 ε i = ⌊ ε ⌋ \varepsilon_i=\lfloor \varepsilon \rfloor εi=⌊ε⌋。下表给出了不同商业系统中的多普勒频率和归一化CFO，其中MS的速度为120km/h，且相位偏差与 ε \varepsilon ε和 n n n成正比。这相当于在频域信号 X k Xk Xk上产生了一个 − ε -\varepsilon −ε的频差。

对于发射信号 x n xn xn，下表总结了CFO对接收信号 y n yn yn的影响。

下图显示了CFO对频域信号 X k Xk Xk的影响。大小为 ε \varepsilon ε的CFO使 X k Xk Xk产生了 − ε -\varepsilon −ε的频差，并且导致了ICI，这说明子载波分量收到了其他子载波分量的影响。为了观察CFO的影响，假设发射机和接收机之间仅存在 ε \varepsilon ε大小的CFO，没有任何相位噪声。可得，时域接收信号可以表示为：

y l n = 1 N ∑ k = 0 N − 1 H l k X l k e j 2 π ( k + ε ) / N + z l n y_ln=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}H_lkX_lke^{j2\pi(k+\varepsilon)/N}+z_ln yln=N1k=0∑N−1HlkXlkej2π(k+ε)/N+zln

下图（a）、（b）和（c）分别显示了不同大小的CFO对时域信号相位的影响，这些影响也可以由上表或者上式预测得到。此处，假设FFT的大小为 N = 32 N=32 N=32，采用没有噪声影响的QPSK调制。在左侧的图中,实线和虚线分别表示没有CFO的理想情况(即 ε = 0 \varepsilon=0 ε=0)和存在CFO的情况(即 ε ≠ 0 \varepsilon \ne 0 ε=0)。在右侧的图中显示了它们的相位差。从这些图中可以看到,当CFO增大时接收信号在时域快速交替。相位差随时间的增加而线性增加,相伴立差的斜率随CFO的增大而增大。如下图（c）所示,如果 ε > 0.5 ε>0.5 ε>0.5,那么在一个OFDM符号时间内的相位差将超过 π π π,结果会引起相位模糊。相位模糊与CFO的估计范围有关,归一化的CFO可以分解成两部分： 整数载波频率偏差(IntegerCarrier FrequencyOffset，IFO) ε i ε_i εi 和 小数载波频率偏差(Fractional Carrier Freequency Offset, FFO) ε f ε_f εf ,即 ε = ε i + ε f ε=ε_i+ε_f ε=εi+εf。

IFO的影响

下图说明了发射采样 { x l n } n = 0 N − 1 \left\{x_ln\right\}_{n=0}^{N-1} {xln}n=0N−1如何经历大小为 ε i \varepsilon_i εi的IFO。在接收机，大小为 ε i \varepsilon_i εi的IFO使得接收信号为KaTeX parse error: Undefined control sequence: \varepsiloi at position 10: e^{j2\pi \̲v̲a̲r̲e̲p̲s̲i̲l̲o̲i̲ ̲n/N}xn。由于IFO的作用，发射信号 X k Xk Xk在接收机被循环移位 ε i \varepsilon_i εi，因此在第 k k k个子载波上的接收信号为 X k − ε i Xk-\\varepsilon_i Xk−εi。除非能够补偿循环移位，否则循环移位会导致BER性能的显著下降。然而，子载波频率分量之间的正交性没有被破坏，因此没有出现ICI。

FFO的影响

y l n = 1 N ∑ k = 0 N − 1 H l k X l k e j 2 π ( k + ε ) / N + z l n y_ln=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}H_lkX_lke^{j2\pi(k+\varepsilon)/N}+z_ln yln=N1k=0∑N−1HlkXlkej2π(k+ε)/N+zln

上式中的 { y l n } \left\{ y_ln \right\} {yln}进行FFT，那么存在大小为 ε f \varepsilon_f εf的FFO的频域接收信号可以表示为：

上式中的最后一行的第一项表示由FFO引起的第 k k k个子载波频率分量的幅度失真和相位失真。同时，上式中的 I l k I_lk Ilk表示其他子载波对第 k k k个子载波的ICI。这意味着由于存在FFO，子载波之间的正交性将无法保持。下图显示了在不同FFO的情况下的三个连续的OFDM信号，其中忽略信道、STO和噪声影响。从下图可以看出，当FFO增大时，幅度和相位失真变得更加严重了，这主要归因于上式中的ICI项。

STO估计技术

在OFDM系统中，STO不仅能引起相位失真（通过均衡器进行补偿），而且能引起ISI（一旦发声，就无法被修正）。因此，为了保证OFDM系统性能，在接收机必须利用同步技术来估计STO，以便能够准确估计出OFDM符号的起始点。

时域STO估计技术

考虑CP大小为 T G T_G TG（ N G N_G NG个采样）、有效数据长度为 T s u b T_{sub} Tsub（ N s u b N_{sub} Nsub个采样）的OFDM符号。在时域中，通过使用CP或训练符号可以估计STO。

基于CP的STO估计技术

CP是OFDM符号中一部分数据的一个副本。这就意味着CP和相应的数据部分是相同的，而这种相同之处可以用于对STO的估计。在下图中， B B B和 B ′ B' B′分别表示CP的 N G N_G NG个采样的数据部分的 N G N_G NG个采样。两个采样块相隔 N s u b N_{sub} Nsub个采样。如下图示所示，考虑两个滑动窗W1和W2，其间距为 N s u b N_{sub} Nsub个采样。通过滑动W1和W2，可以搜索两个窗内采样之间的相似度。当OFDM符号的CP落在W1内时，两个窗内的 N G N_{G} NG个采样块之间的相似度达到最大。利用这个最值点，可以识别STO。

当W1和W2中两个采样块之间的差最小时，这两个块的相似度达到最大。所以，在两个窗内，通过搜索使两个块之差取最小值所在的点，就能够估计出STO：

δ ^ = arg min δ { ∑ i = δ N G − 1 + δ ∣ y l n + i − y l n + N + i ∣ } \hat\delta=\underset{\delta}{\text{arg min}}\left\{\sum\limits_{i=\delta}^{N_G-1+\delta }\begin{vmatrix} y_ln+i-y_ln+N+i \end{vmatrix}\right\} δ^=δarg min{i=δ∑NG−1+δ yln+i−yln+N+i }

尽管这种技术简单，但是当接收系统中存在CFO时，其性能会下降。为了处理CFO，通过最小化W1中采样块和W2中采样块之差的平方来估计STO：

δ ^ = arg min δ { ∑ i = δ N G − 1 + δ ( ∣ y l n + i − y l n + N + i ∣ ) 2 } \hat\delta=\underset{\delta}{\text{arg min}}\left\{\sum\limits_{i=\delta}^{N_G-1+\delta }(\begin{vmatrix} y_ln+i-y_ln+N+i \end{vmatrix})^2\right\} δ^=δarg min{i=δ∑NG−1+δ( yln+i−yln+N+i )2}

利用W1和W2中两个采样块之间的相关性，也可以估计STO，即

δ ^ = arg min δ { ∑ i = δ N G − 1 + δ ∣ y l n + i y l ∗ n + N + i ∣ } \hat\delta=\underset{\delta}{\text{arg min}}\left\{\sum\limits_{i=\delta}^{N_G-1+\delta }\begin{vmatrix} y_ln+iy_l^*n+N+i \end{vmatrix}\right\} δ^=δarg min{i=δ∑NG−1+δ yln+iyl∗n+N+i }

上式相当于最大化W1中采样块和W2中采样块之间的相关性。然而，当接收信号中存在CFO时，上式的性能会下降。为了处理接收信号中的CFO，利用ML技术，通过最大化对数似然函数来估计STO：

δ ^ = arg min δ { ∑ i = δ N G − 1 + δ 2 ( 1 − ρ ) Re { y l n + i y l ∗ n + N + i } − ρ ∑ i = δ N G − 1 + δ ∣ y l n + i − y l n + N + i ∣ } \hat\delta=\underset{\delta}{\text{arg min}}\left\{\sum\limits_{i=\delta}^{N_G-1+\delta }2(1-\rho)\text{Re}\left\{y_ln+iy_l^*n+N+i\right\}-\rho\sum\limits_{i=\delta}^{N_G-1+\delta }\begin{vmatrix} y_ln+i-y_ln+N+i \end{vmatrix}\right\} δ^=δarg min{i=δ∑NG−1+δ2(1−ρ)Re{yln+iyl∗n+N+i}−ρi=δ∑NG−1+δ yln+i−yln+N+i }

其中， ρ = S N R / ( S N R + 1 ) \rho=SNR/(SNR+1) ρ=SNR/(SNR+1)。还可以通过ML技术同时估计STO和CFO，STO被估计为：

δ ^ = arg min δ { ∣ γ δ ∣ − ρ Φ δ } \hat\delta=\underset{\delta}{\text{arg min}}\left\{\begin{vmatrix} \gamma\\delta \end{vmatrix}-\rho\Phi\\delta\right\} δ^=δarg min{ γδ −ρΦδ}

其中

γ m = ∑ n = m m + L − 1 y l n y l ∗ n + N \gammam=\sum\limits_{n=m}^{m+L-1}y_lny_l^*n+N γm=n=m∑m+L−1ylnyl∗n+N

Φ m = 1 2 ∑ n = m m + L − 1 { ∣ y l n ∣ 2 + ∣ y l n + N ∣ 2 } \Phim=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=m}^{m+L-1}\left\{\begin{vmatrix} y_ln \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} y_ln+N \end{vmatrix}^2\right\} Φm=21n=m∑m+L−1{ yln 2+ yln+N 2}

其中， L L L表示在窗口内取平均的实际采样数。即使存在CFO，如果对相关函数 γ m \gammam γm取绝对值，上式中的STO估计也是鲁棒的。

基于训练符号的STO估计

通过发射训练符号，可以在接收机实现符号同步。与基于CP的方法相比，基于训练符号的方法存在因传输训练符号而带来的负荷问题，但是这种方法不受多径信道的影响。在估计过程中，可以使用两个相同的OFDM训练符号，也可以使用具有（不同重复周期）重复结构的单个OFDM训练符号。下图说明了具有重复结构的单个OFDM符号的例子，其中重复周期分别在 T s u b / 2 T_{sub}/2 Tsub/2和 T s u b / 4 T_{sub}/4 Tsub/4。通过在子载波之间插入零，在时域可以产生不同的重复样式。一旦发射机在OFDM符号中的两个块发送重复的训练信号，接收机通过最大化两个滑动窗内采样块之间的相似性，就可以找到STO。通过计算重复的训练信号的自相关函数，得到两个采样块之间的相似性。

在上图中，重复周期为 T s u b / 2 T_{sub}/2 Tsub/2，接收信号的A、B和D部分与接收信号的C部分不相同。由此，可以构成两个滑动窗（W1和W2）来估计STO。与基于CP的STO估计技术一样，基于训练序列的STO估计有两种。一种时通过最小化W1和W2中两个接收采样块之间的平方得到，即：

δ ^ = arg min δ { ∑ i = δ N 2 − 1 + δ ( ∣ y l n + i − y l n + N + i ∣ ) 2 } \hat\delta=\underset{\delta}{\text{arg min}}\left\{\sum\limits_{i=\delta}^{\frac{N}{2}-1+\delta }(\begin{vmatrix} y_ln+i-y_ln+N+i \end{vmatrix})^2\right\} δ^=δarg min{i=δ∑2N−1+δ( yln+i−yln+N+i )2}

另一种时通过最大化似然函数得到，即

δ ^ = arg min δ { ∑ i = δ N 2 − 1 + δ ∣ y l n + i y l ∗ n + N 2 + i ∣ 2 ∣ ∑ i = δ N 2 − 1 + δ y l n + N 2 + i ∣ 2 } \hat\delta=\underset{\delta}{\text{arg min}}\left\{\frac{\sum\limits_{i=\delta}^{\frac{N}{2}-1+\delta }\begin{vmatrix} y_ln+iy_l^*n+\\frac{N}{2}+i \end{vmatrix}^2}{\begin{vmatrix} \sum\limits_{i=\delta}^{\frac{N}{2}-1+\delta }y_ln+\\frac{N}{2}+i \end{vmatrix}^2}\right\} δ^=δarg min⎩ ⎨ ⎧ i=δ∑2N−1+δyln+2N+i 2i=δ∑2N−1+δ yln+iyl∗n+2N+i 2⎭ ⎬ ⎫

如上图所示，通过改变训练符号重复样式的周期，能够改善STO估计精度。在上图中，训练符号重复了四次，并且在第三和第四周期中对寻来你符号取反。通过下士可以进一步提高STO的估计精度：

δ ^ = arg min δ { ∑ m = 0 1 ∑ i = δ N 4 − 1 + δ ∣ y l n + i + N 2 m y l ∗ n + i + N 4 + N 2 m ∣ 2 ∣ ∑ m = 0 1 ∑ i = δ N 4 − 1 + δ y l n + i + N 4 + N 2 m ∣ 2 } \hat\delta=\underset{\delta}{\text{arg min}}\left\{\frac{\sum\limits_{m=0}^{1}\sum\limits_{i=\delta}^{\frac{N}{4}-1+\delta }\begin{vmatrix} y_ln+i+\\frac{N}{2}my_l^*n+i+\\frac{N}{4}+\\frac{N}{2}m \end{vmatrix}^2}{\begin{vmatrix} \sum\limits_{m=0}^{1}\sum\limits_{i=\delta}^{\frac{N}{4}-1+\delta }y_ln+i+\\frac{N}{4}+\\frac{N}{2}m \end{vmatrix}^2}\right\} δ^=δarg min⎩ ⎨ ⎧ m=0∑1i=δ∑4N−1+δyln+i+4N+2Nm 2m=0∑1i=δ∑4N−1+δ yln+i+2Nmyl∗n+i+4N+2Nm 2⎭ ⎬ ⎫

因为接收机已知训练符号，所以另一种技术是利用训练符号和接收信号之间的互相关性来估计STO。

频域STO估计技术

接收信号会因为STO而产生相位旋转。相位旋转与子载波的频率撤出那个正比，所以可用频域接收信号中相邻载波的相位差来估计STO。例如，如果对所有 k k k，都有 X l k = X l k − 1 , H l k = H l k − 1 = 1 X_lk=X_lk-1,H_lk=H_lk-1=1 Xlk=Xlk−1,Hlk=Hlk−1=1，那么 Y l k Y l ∗ k − 1 ≈ ∣ X l k ∣ 2 e j 2 π δ / N Y_lkY_l^*k-1\approx \begin{vmatrix} X_lk\end{vmatrix}^2e^{j2\pi \delta/N} YlkYl∗k−1≈ Xlk 2ej2πδ/N，因此可以估计STO：

δ ^ = N 2 π arg ( ∑ k = 1 N − 1 Y l k Y l ∗ k − 1 ) \hat\delta=\frac{N}{2\pi}\text{arg}(\sum\limits_{k=1}^{N-1}Y_lkY_l^*k-1) δ^=2πNarg(k=1∑N−1YlkYl∗k−1)

如上图是一种利用相位旋转的影响进行STO估计的技术。将训练符号的共轭 X x ∗ k X_x^*k Xx∗k和存在STO的接收符号相乘，得到（延迟的）信道脉冲响应，然后从中估计出STO：

δ ^ = arg min δ ( y l x n ) \hat\delta=\underset{\delta}{\text{arg min}}(y_l^xn) δ^=δarg min(ylxn)

其中，

y l x n = IFFT { Y l k e j 2 π k n / N X l ∗ k } = 1 N ∑ k = 0 N − 1 Y l k e j 2 π k n / N X l ∗ k e j 2 π k δ / N = 1 N ∑ k = 0 N − 1 Y l k X l ∗ k e j 2 π k ( n + δ ) / N = 1 N ∑ k = 0 N − 1 H l k X l k X l ∗ k e j 2 π k ( n + δ ) / N = 1 N ∑ k = 0 N − 1 H l k e j 2 π k ( n + δ ) / N = h l n + δ y_l^xn=\text{IFFT}\left\{Y_lke^{j2\pi kn/N}X_l^*k\right\}=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}Y_lke^{j2\pi kn/N}X_l^*ke^{j2\pi k\delta/N}=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}Y_lkX_l^*ke^{j2\pi k(n+\delta)/N}=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}H_lkX_lkX_l^*ke^{j2\pi k(n+\delta)/N}=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}H_lke^{j2\pi k(n+\delta)/N}=h_ln+\\delta ylxn=IFFT{Ylkej2πkn/NXl∗k}=N1k=0∑N−1Ylkej2πkn/NXl∗kej2πkδ/N=N1k=0∑N−1YlkXl∗kej2πk(n+δ)/N=N1k=0∑N−1HlkXlkXl∗kej2πk(n+δ)/N=N1k=0∑N−1Hlkej2πk(n+δ)/N=hln+δ

在上式中，假设训练符号 X k Xk Xk的功率等于1，即 X l k X l ∗ k = ∣ X k ∣ 2 = 1 X_lkX_l^*k=\begin{vmatrix} Xk\end{vmatrix}^2=1 XlkXl∗k= Xk 2=1。

上图给出了利用信道脉冲响应进行STO估计的两个例子，其中一个 δ = 0 \delta =0 δ=0采样，另一个 δ = 10 \delta =10 δ=10采样。第一个信道脉冲响应从第0个采样开始，用实线表示。第二个信道脉冲响应从第10个采样开始，用虚线表示。可以通过这种方法对STO进行正确的估计。频域STO估计技术通常会得到相当精确的估计值，所以能够用于精符号同步中。

当STO较小时，即STO小于采样间隔，根据不同的检测方案（相干和非相干）可以对STO进行不同的补偿。在利用导频符号进行相干检测的情况下，信道估计包括两方面的内容：对信道本身的估计和由STO引起的相位旋转的估计。只要STO很小，用于补偿信道影响的频域均衡器就能吸收STO的影响，所以不需要单独得到符号同步器。然而，在非相干检测的情况下，可以录用接收信号子载波间的相位差检测发射符号。因为STO会导致相位旋转，且相位旋转与子载波的频率成正比，所以在符号检测前应该通过符号同步器消除STO的影响。

CFO估计技术

与STO估计技术一样，可以在时域或频域估计CFO。

时域CFO估计技术

通常利用CP或者训练符号进行时域CFO估计。

基于CP的CFO估计技术

当符号同步完美时，大小为 ε \varepsilon ε的CFO会引起接收信号 2 π n ε / N 2\pi n\varepsilon/N 2πnε/N大小的相位旋转。因此，在假设信道影响可以忽略不计的情况下，CFO会引起CP和相应的OFDM符号后部（相隔 N N N个采样点）之间存在大小为 2 π N ε / N = 2 π ε 2\pi N\varepsilon/N=2\pi \varepsilon 2πNε/N=2πε的相位差。然后，可以根据二者相乘之后的相角找出CFO，如 ε ^ = ( 1 / 2 π ) arg { y l ∗ n y l n + N } , n = − 1 , − 1 , . . . , − N G \hat\varepsilon=(1/2\pi)\text{arg}\left\{y_l^*ny_ln+N\right\},n=-1,-1,...,-N_G ε^=(1/2π)arg{yl∗nyln+N},n=−1,−1,...,−NG。其中 arg(z) \text{arg(z)} arg(z)表示 z z z辐角主值。为了减小噪声的影响，可以对一个CP间隔内的采样取平均：

ε ^ = 1 2 π arg { ∑ n = − N G − 1 y l ∗ n y l n + N } \hat\varepsilon=\frac{1}{2\pi}\text{arg}\left\{\sum\limits_{n=-N_G}^{-1}y_l^*ny_ln+N\right\} ε^=2π1arg{n=−NG∑−1yl∗nyln+N}

由于用 tan ⁡ − 1 ( ) \tan^{-1}() tan−1()来实现 arg ( ) \text{arg}() arg()，所以上式中CFO估计的范围是 [ − π , + π ) / 2 π = [ − 0.5 , + 0.5 ) [-\pi,+\pi)/2\pi=[-0.5,+0.5) [−π,+π)/2π=[−0.5,+0.5)，从而 ∣ ε ^ ∣ < 0.5 \begin{vmatrix}\hat\varepsilon\end{vmatrix}\lt 0.5 ε^ <0.5，因此这种技术不能用于估计整数CFO。

只有频率偏差为零时， y l ∗ n y l n + N y_l^*ny_ln+N yl∗nyln+N才为实数。这说明只要存在CFO， y l ∗ n y l n + N y_l^*ny_ln+N yl∗nyln+N就会变成虚数。事实上， y l ∗ n y l n + N y_l^*ny_ln+N yl∗nyln+N的虚部可以用于CFO的估计。在这种情况下，定义估计误差为：

e ε = 1 L ∑ n = 1 L Im { y l ∗ n y l n + N } e_{\varepsilon}=\frac{1}{L}\sum\limits_{n=1}^{L}\text{Im}\left\{y_l^*ny_ln+N\right\} eε=L1n=1∑LIm{yl∗nyln+N}

其中， L L L表示求平均的采样数。可以将上式中误差函数的期望近似为：

E { e ε } = σ d 2 N sin ⁡ ( 2 π ε N ) ∑ k = 1 L ∣ H k ∣ 2 ≈ K ε E\left\{e_{\varepsilon}\right\}=\frac{\sigma_d^2}{N}\sin(\frac{2\pi \varepsilon}{N})\sum\limits_{k=1}^L\begin{vmatrix}H_k\end{vmatrix}^2\approx K\varepsilon E{eε}=Nσd2sin(N2πε)k=1∑L Hk 2≈Kε

基于训练符号的CFO估计技术

基于CP的估计技术只能估计出 ∣ ε ^ ∣ < 0.5 \begin{vmatrix}\hat\varepsilon\end{vmatrix}\lt 0.5 ε^ <0.5范围内的CFO。由于在同步的初始阶段CFO会很大，所以需要能够对更大范围的CFO进行估计的技术。缩小用于相关性计算所需的采样块之间的距离，能够增大CFO的估计范围 。将训练符号在更短时间内进行重复可以实现这一目的。零 D D D为OFDM符号长度与重复样式长度之比，它是一个整数。发射机在时域以重复样式 D D D发射训练符号，可以通过对频域梳状信号取IFFT得到该训练符号，频域的梳状信号为

X l k = { A m , k = D ⋅ i , i = 0 , 1 , . . . , ( N / D − 1 ) 0 , others X_lk=\left\{\begin{matrix}A_m,k=D\cdot i,i=0,1,...,(N/D-1) \\ 0,\text{others}\end{matrix}\right. Xlk={Am,k=D⋅i,i=0,1,...,(N/D−1)0,others

其中， A m A_m Am表示 M M M进制的符号， N / D N/D N/D为一个整数。当 x l n x_ln xln和 x l n + N / D x_ln+N/D xln+N/D相同时（即 y l ∗ n y l n + N / D = ∣ y l n ∣ 2 e j π ε y_l^*ny_ln+N/D=\begin{vmatrix}y_ln\end{vmatrix}^2e^{j\pi \varepsilon} yl∗nyln+N/D= yln 2ejπε），接收机能够估计的CFO为：

ε ^ = D 2 π arg { ∑ n = 0 N / D y l ∗ n y l n + N / D } \hat\varepsilon=\frac{D}{2\pi}\text{arg}\left\{\sum\limits_{n=0}^{N/D}y_l^*ny_ln+N/D\right\} ε^=2πDarg{n=0∑N/Dyl∗nyln+N/D}

这种技术能够估计出的CFO范围是 ∣ ε ^ ∣ ≤ D / 2 \begin{vmatrix}\hat\varepsilon\end{vmatrix}\le D/2 ε^ ≤D/2，并且估计范围随着 D D D的增大而增大。注意，用于相关性计算的采样数减少到了原来的 1 / D 1/D 1/D，这将导致MSR性能下降。换句话说，以牺牲MSE性能为代价来换取估计范围的增大。

频域CFO估计技术

如果连续发射两个相同的训练符号，那么在CFO大小为 ε \varepsilon ε的情况下，相应的两个接收信号之间的关系为：

y 2 n = y 1 n e j 2 π N ε / N ↔ Y 2 k = Y 1 k e j 2 π ε y_2n=y_1ne^{j2\pi N_{\varepsilon}/N}\leftrightarrow Y_2k=Y_1ke^{j2\pi {\varepsilon}} y2n=y1nej2πNε/N↔Y2k=Y1kej2πε

根据上式中的关系，可以估计出CFO为：

ε ^ = 1 2 π arc tan ⁡ { ∑ k = 0 N − 1 Re Y 1 ∗ \[ k Y 2 k ] / ∑ k = 0 N − 1 Im Y 1 ∗ \[ k Y 2 k ] } \hat\varepsilon=\frac{1}{2\pi}\text{arc}\tan\left\{\sum\limits_{k=0}^{N-1}\text{Re}Y_1\^\*\[kY_2k]/\sum\limits_{k=0}^{N-1}\text{Im}Y_1\^\*\[kY_2k]\right\} ε^=2π1arctan{k=0∑N−1ReY1∗\[kY2k]/k=0∑N−1ImY1∗\[kY2k]}

尽管通过上式估计出的CFO范围为 ∣ ε ^ ∣ ≤ π / 2 π = 1 / 2 \begin{vmatrix}\hat\varepsilon\end{vmatrix}\le \pi/2\pi=1/2 ε^ ≤π/2π=1/2。但是通过使用具有 D D D个重复样式的训练符号，CFO的估计范围可以增加 D D D倍。然后在非零子载波上取平均。如果在频域上取平均的非零采样点减少了，那么MSE性能将会恶化。为了计算上式，这种估计技术需要一个特定的周期（通常被称为前导周期）来提供连续的训练符号。

也可以考虑在估计CFO的同时传输数据符号。在频域插入导频，并且在每个OFDM符号中发射，这样可以跟踪CFO。下图显示了使用到信号进行CFO估计的结构图。

首先，在同步之后将两个OFDM符号 y l n y_ln yln和 y l + D n y_{l+D}n yl+Dn保存在存储器中，然后，通过FFT将时域信号变换成频域信号 { Y l k } k = 0 N − 1 \left\{Y_lk\right\}{k=0}^{N-1} {Ylk}k=0N−1和 { Y l + D k } k = 0 N − 1 \left\{Y{l+D}k\right\}_{k=0}^{N-1} {Yl+Dk}k=0N−1，用于提取导频。最后，由频域导频估计出CFO，通过估计出的CFO在时域对接收信号进行补偿。在这个过程中，实施两种不同的CFO估计模式：捕获模式和跟踪模式。在捕获模式中，估计包括IFO在内的大范围CFO。在跟踪模式中，只进行细CFO估计。IFO估计为：

ε ^ a c q = 1 2 π ⋅ T s u b max { ∑ j = 0 L − 1 Y l + D p ( j ) , ε Y l ∗ p \[ j , ε ] X l + D ∗ p ( j ) X l p \[ j ] } \hat\varepsilon_{acq}=\frac{1}{2\pi\cdot T_{sub}}\text{max}\left\{\sum\limits_{j=0}^{L-1}Y_{l+D}p(j),\\varepsilonY_l^*p\[j,\varepsilon]X_{l+D}^*p(j)X_lp\[j]\right\} ε^acq=2π⋅Tsub1max{j=0∑L−1Yl+Dp(j),εYl∗p\[j,ε]Xl+D∗p(j)Xlp\[j]}

其中， L , p j , X l p \[ j ] L,pj,X_lp\[j] L,pj,Xlp\[j]分别表示导频个数、第 j j j个导频的位置和第 l l l个符号周期中位于 p j pj pj处的导频。同时细CFO为：

ε ^ f = 1 2 π ⋅ T s u b ⋅ D arg { ∑ j = 0 L − 1 Y l + D p ( j ) , ε \^ a c q Y l ∗ p \[ j , ε ^ a c q ] X l + D ∗ p ( j ) X l p \[ j ] } \hat\varepsilon_{f}=\frac{1}{2\pi\cdot T_{sub}\cdot D}\text{arg}\left\{\sum\limits_{j=0}^{L-1}Y_{l+D}p(j),\\hat\\varepsilon_{acq}Y_l^*p\[j,\hat\varepsilon_{acq}]X_{l+D}^*p(j)X_lp\[j]\right\} ε^f=2π⋅Tsub⋅D1arg{j=0∑L−1Yl+Dp(j),ε\^acqYl∗p\[j,ε^acq]Xl+D∗p(j)Xlp\[j]}

在捕获模式中，估计 ε ^ a c q \hat\varepsilon_{acq} ε^acq和 ε ^ f \hat\varepsilon_{f} ε^f，然后通过它们的总和补偿CFO。在跟踪模式中，只估计$ ε ^ f \hat\varepsilon_{f} ε^f，然后通过它补偿CFO。