文章目录
- [P r e f a c e Preface Preface](#P r e f a c e Preface Preface)
- [T e x t Text Text](#T e x t Text Text)
- [C o n c l u s i o n Conclusion Conclusion](#C o n c l u s i o n Conclusion Conclusion)
P r e f a c e Preface Preface
数据结构课上无聊，随意推导了一些东西，大部分的东西高中见过，只不过最近刚好数一复习到取值范围，所以顺手推导了一些丢掉许久的东西。
T e x t Text Text
众所周知， ln 2 ≈ 0.6931 \ln 2\approx 0.6931 ln2≈0.6931， ln 3 ≈ 1.0986 \ln 3 \approx 1.0986 ln3≈1.0986。但是考试是不能带计算器的，虽然我们可以通过记忆的方法记住，这对我们解决小题是有所帮助的。那么我们如何在考场上严谨证明呢？
下面我们以 ln 2 \ln 2 ln2的范围放缩为例，简要谈谈这个问题。
初探
对于函数 f ( x ) = ln x f(x)=\ln x f(x)=lnx而言，它是一个严格单调递增的函数，自然地，我们知道 1 < 2 < e 1<2<e 1<2<e，所以，显然我们有 f ( 1 ) < f ( 2 ) < e f(1)<f(2)<e f(1)<f(2)<e，也就是 ln 2 ∈ ( 0 , 1 ) \ln 2\in(0,1) ln2∈(0,1)之间。
稍微懂一点点导数或者放缩知识的同学知道，有一个经典放缩式子
ln x ≤ x − 1 \ln x\leq x-1 lnx≤x−1
当且仅当 x = 1 x=1 x=1时，等号成立。
对于这个式子，我们可以用 1 x \frac 1 x x1替换掉 x x x，就可以得到
1 − 1 x ≤ ln x ≤ x − 1 1-\frac 1x\leq\ln x\leq x-1 1−x1≤lnx≤x−1
代入 x = 2 x=2 x=2，那么有 ln 2 ∈ ( 1 2 , 1 ) \ln 2\in(\frac 1 2,1) ln2∈(21,1)
ok完结撒花
显然这个精度我们是不满意的，并且这个式子过于简单了，在考试的时候往往是完全不够用的，有没有更好的办法呢？
泰勒展开
这个时候，高数比较好的同学就要说了：我有一计，可泰勒展开！
很好，这不失一种好的办法！
由 ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln(1+x)的泰勒展开式，知
ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 x n n \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}n+\cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} ln(1+x)=x−2x2+3x3−4x4+⋯+(−1)n−1nxn+⋯=n=1∑∞(−1)n−1nxn
收敛域为 x ∈ ( − 1 , 1 ] x\in(-1,1] x∈(−1,1]
那么代入 x = 1 x=1 x=1
有 ln ( 2 ) = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 n + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n \ln(2)=1-\frac 12+\frac 13-\frac 14+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} ln(2)=1−21+31−41+⋯+n(−1)n−1+⋯=n=1∑∞n(−1)n−1
级数为 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} ∑n=1∞n(−1)n−1，是交错调和级数，由莱布尼茨审敛法知，该级数收敛。
这个时候就有同学要问了：主播主播，你这里收敛域那么小，只有 x ∈ ( − 1 , 1 ] x\in(-1,1] x∈(−1,1]，连个 ln 3 \ln 3 ln3都算不了，什么野鸡做法。
嘿嘿， ln 3 \ln 3 ln3貌似算不了，但是 ln 1 3 \ln \frac 1 3 ln31可以算啊，代入 x = − 2 3 x=-\frac 23 x=−32即可。两者只是相反数的关系。
也就是说，理论上来说，我们只需要计算这个交错调和级数，此题就over了，吗？
确实是over了，但实际操作上来说，会发现哪怕算到了第十项，也只有大约 ( 0.6456 , 0.7457 ) (0.6456,0.7457) (0.6456,0.7457)的精度（这还是我用计算器算的情况下），比起后面我们要讲的放缩，过于繁琐。
换言之，这个方法正确且精准，但是收敛速度过于慢了。虽然书写简单，但前面几项的精度太粗，算到后面精度虽然够了，但是计算量并不小，还容易出错。
那么有没有能简单又强势得到范围的方法呢？有的兄弟，有的。
基于泰勒展开式的简单放缩
对于 ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln(1+x)的泰勒展开式。
ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + x 5 5 − x 6 6 + ⋯ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}5-\frac{x^6}6+\cdots ln(1+x)=x−2x2+3x3−4x4+5x5−6x6+⋯
若我们只取前两项（亦可取更多项，读者可自证），显然可以得到
ln ( 1 + x ) ≥ x − x 2 2 \ln(1+x)\geq x-\frac{x^2}{2} ln(1+x)≥x−2x2
易证这个式子在 ∀ x ≥ 0 \forall x\geq 0 ∀x≥0内恒成立。
令 t = x + 1 ≥ 1 t=x+1\geq 1 t=x+1≥1，代入可得
ln t ≥ 1 2 ( t − 1 ) ( 3 − t ) \ln t\geq \frac 1 2(t-1)(3-t) lnt≥21(t−1)(3−t)
当且仅当 t = 1 t=1 t=1时，取等号。
代入 t = 2 t=2 t=2，好像还是只能得到 ln 2 > 1 2 \ln 2>\frac 1 2 ln2>21，主播你真是个菜鸡
别急，还记得我们对于 ln x ≤ x − 1 \ln x\leq x-1 lnx≤x−1作倒代换得到另外半边放缩的方式吗？我们这里采用同样的办法。
令 t = 1 u ( 0 < u ≤ 1 ) t=\frac 1 u(0<u\leq 1) t=u1(0<u≤1)，代入得
ln 1 u ≥ 1 2 ( 1 u − 1 ) ( 3 − 1 u ) \ln \frac 1u \geq \frac 1 2(\frac 1 u-1)(3-\frac 1 u) lnu1≥21(u1−1)(3−u1)
整理可得
ln u ≤ 1 2 ( 1 − 1 u ) ( 3 − 1 u ) \ln u \leq \frac 12(1-\frac 1u)(3-\frac 1 u) lnu≤21(1−u1)(3−u1)
这个时候，代入 u = 2 2 < 1 u=\frac {\sqrt 2}2<1 u=22 <1，得
ln 2 2 = − 1 2 ln 2 < 1 2 ( 1 − 2 ) ( 3 − 2 ) = 5 − 4 2 2 \ln \frac {\sqrt 2}2=-\frac 1 2 \ln 2<\frac 1 2(1-\sqrt 2)(3-\sqrt 2)=\frac {5-4\sqrt 2}2 ln22 =−21ln2<21(1−2 )(3−2 )=25−42
那么
ln 2 > 4 2 − 5 \ln 2>4\sqrt 2-5 ln2>42 −5
而 4 2 − 5 ≈ 0.657 4\sqrt 2-5\approx0.657 42 −5≈0.657，而 ln 2 \ln 2 ln2实际上约为 0.6931 0.6931 0.6931。这相比于 1 2 \frac 1 2 21取得了喜人的进展（
事实上，对于这个式子 ln t ≥ 1 2 ( t − 1 ) ( 3 − t ) \ln t\geq \frac 1 2(t-1)(3-t) lnt≥21(t−1)(3−t)代入 t = 2 t=\sqrt 2 t=2 也可以得到一样的结果，可以理解为主播绕了下远路，但单纯是因为当时课上的时候就是这样推的，尽量还原当时的思考过程，见谅！
更进一步地，代入 t = 2 1 3 t=2^{\frac 1 3} t=231，可以得到 ln 2 > 0.6784 \ln 2>0.6784 ln2>0.6784，精度进一步提升，可以证明，当只需令 2 2 2上的指数上的分母足够大，精度就可以无限接近。只不过，这样的话还不如泰勒公式直接算了，后者还起码都是有理数，而这种做法在考场上并不太可行，因为事实上连 2 1 3 2^{\frac 1 3} 231都不太好手算。
但不管怎么说，我们总算是得到了 ln 2 \ln 2 ln2范围的一个下界，但是对于它来说，1作为上界貌似离得比较远了，有什么比较好的上界吗？
回望
在我高二刷模拟卷的时候，曾经做到过一道导数压轴题，它的最后一问本质上是要证明 ln 2 < 2 2 \ln 2<\frac {\sqrt 2}2 ln2<22 。
当时各种诡异的证明方法确实给我幼小的心灵造成过莫大的震撼，以至于我一直都记得这样一个放缩。
对 ∀ x > 1 , 有 ln x < x − 1 x 对\forall x>1,有\ln x<\sqrt x-\frac 1{\sqrt x} 对∀x>1,有lnx<x −x 1
这是经典的前大后小（即 0 < x < 1 0<x<1 0<x<1的时候不等号反而要变号，它的证明也很简单）放缩，本质上是用飘带函数去放缩的，下面简单证明一下。
令 t = x t=\sqrt x t=x ，显然这是一一对应的关系，考虑函数 g ( t ) = t − 1 t − 2 ln t g(t)=t-\frac 1 t-2\ln t g(t)=t−t1−2lnt
那么 g ′ ( t ) = 1 + 1 t 2 − 2 t = ( t − 1 ) 2 t 2 ≥ 0 g'(t)=1+\frac{1}{t^2}-\frac{2}{t}=\frac{(t-1)^2}{t^2}\geq 0 g′(t)=1+t21−t2=t2(t−1)2≥0，而 g ( 1 ) = 0 g(1)=0 g(1)=0
故
0 < t < 1 0<t<1 0<t<1时 0 < x < 1 0<x<1 0<x<1, t − 1 t < 2 ln t = ln t 2 t-\frac 1 t <2\ln t=\ln t^2 t−t1<2lnt=lnt2，即 x − 1 x < ln x \sqrt x-\frac 1{\sqrt x}<\ln x x −x 1<lnx
t > 1 t>1 t>1时 x > 1 x>1 x>1，同理 x − 1 x > ln x \sqrt x-\frac 1{\sqrt x}>\ln x x −x 1>lnx
代入 x = 2 x=2 x=2，即得到 ln 2 < 2 2 \ln 2< \frac {\sqrt 2}2 ln2<22
至此，我们通过了简单的求导以及放缩，就得到了 4 2 − 5 < ln 2 < 1 2 4\sqrt 2-5<\ln 2<\frac 1{\sqrt 2} 42 −5<ln2<2 1这个精度还算不错的放缩。
貌似，可以结束了？
再顾
我们很早就学过如下不等式链条，当 a , b > 0 a,b>0 a,b>0时，有
2 1 a + 1 b ≤ a b ≤ a + b 2 ≤ a 2 + b 2 2 \frac 2{\frac 1 a+\frac 1b}\leq \sqrt{ab}\leq \frac{a+b}2\leq \sqrt{\frac {a^2+b^2}2} a1+b12≤ab ≤2a+b≤2a2+b2
即调和平均不大于几何平均不大于算术平均不大于平方平均。
而事实上，当 a ≠ b a\neq b a=b时，在几何平均与算术平均之间，还可以插入一个对数平均。又因为 a ≠ b a\neq b a=b，所以等号去掉，有
a b < a − b ln a − ln b < a + b 2 \sqrt{ab}<\frac{a-b}{\ln a-\ln b}<\frac{a+b}2 ab <lna−lnba−b<2a+b
这就是大名鼎鼎的对数均值不等式，在解决简单的极值点偏移题目时往往能发挥奇效。
不过这不是我们今天主要讨论的话题，我们先回过神来，讨论这个式子怎么证明。
不失一般性地，我们设 a > b > 0 a>b>0 a>b>0，式子同时除以 b b b，则
a b < a b − 1 ln a b < 1 2 ( a b + 1 ) \sqrt{\frac ab}<\frac{\frac ab-1}{\ln \frac ab}<\frac 1 2(\frac a b+1) ba <lnbaba−1<21(ba+1)
对于第一个小于号，令 t = a b t=\sqrt \frac ab t=ba ，等价于证明 t − 1 t − 2 ln t > 0 t-\frac 1 t-2\ln t>0 t−t1−2lnt>0，这个就是之前证过的飘带放缩。
对于第二个小于号，令 u = a b u=\frac ab u=ba，等价于证明 对 ∀ t > 1 , ln t > 2 ( t − 1 ) t + 1 对\forall t>1,\ln t>\frac{2(t-1)}{t+1} 对∀t>1,lnt>t+12(t−1)
设 h ( t ) = ln t − 2 + 4 t + 1 h(t)=\ln t-2+\frac 4{t+1} h(t)=lnt−2+t+14，则
h ′ ( t ) = 1 t − 4 ( t + 1 ) 2 = ( t − 1 ) 2 t ( t + 1 ) 2 ≥ 0 h'(t)=\frac 1 t-\frac 4{(t+1)^2}=\frac{(t-1)^2}{t(t+1)^2}\geq 0 h′(t)=t1−(t+1)24=t(t+1)2(t−1)2≥0
那么
当 0 < t < 1 0<t<1 0<t<1时， h ( t ) < h ( 1 ) = 0 h(t)<h(1)=0 h(t)<h(1)=0，即 ln t < 2 ( t − 1 ) t + 1 \ln t<\frac{2(t-1)}{t+1} lnt<t+12(t−1)
当 1 < t < + ∞ 1<t<+\infty 1<t<+∞时， h ( t ) > h ( 1 ) = 0 h(t)>h(1)=0 h(t)>h(1)=0，即 ln t > 2 ( t − 1 ) t + 1 \ln t>\frac{2(t-1)}{t+1} lnt>t+12(t−1)
原命题得证。
神奇的是，代入 t = 2 t=2 t=2，我们得到了一个优美的结论，即 ln 2 > 2 3 \ln 2>\frac 2 3 ln2>32，这个精度甚至比 4 2 − 5 4\sqrt 2-5 42 −5更高！
同样地道理，我们可以将 ln 3 \ln 3 ln3放缩至 ( 1 , 2 3 3 ) (1,\frac {2\sqrt 3}3) (1,323 )，精度也还可以。
此外，对于 φ ( x ) = x − 1 x + 1 ( x > 0 ) \varphi(x)=\frac{x-1}{x+1}(x>0) φ(x)=x+1x−1(x>0)，容易知道 φ ( 1 x ) = − φ ( x ) \varphi(\frac 1x)=-\varphi(x) φ(x1)=−φ(x)，这是它能和对数函数绑定放缩的关键。
C o n c l u s i o n Conclusion Conclusion
至此，我们简单探索了一下关于 ln 2 \ln 2 ln2范围放缩的一些技巧和关键不等式。
事实上，笔者所写的内容大都在高中强基课程里接触并学习，在彼时就有进行过相似的思考，此时也不仅仅是站在巨人的肩膀上，朝花夕拾罢了。
2026年3月21日