深刻理解--递归这个新概念

递归是一个让无数编程初学者懵逼的概念，偏偏它又是很多高级算法的基础。

递归本身的含义

递归，在计算机科学中是指一种通过 重复 将问题分解为 同类的子问题 而解决问题的方法。简单来说，递归表现为 函数 调用 函数本身。

在知乎看到一个比喻递归的例子，： 什么是递归？

• 李鹏的回答 - 知乎 www.zhihu.com/question/20...

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递归最恰当的比喻，就是查词典。我们使用的词典，本身就是递归，为了解释一个词，需要使用更多的词。当你查一个词，发现这个词的解释中某个词仍然不懂，于是你开始查这第二个词，可惜，第二个词里仍然有不懂的词，于是查第三个词，这样查下去，直到有一个词的解释是你完全能看懂的，那么递归走到了尽头，然后你开始后退，逐个明白之前查过的每一个词，最终，你明白了最开始那个词的意思。

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又例如 你浏览器搜索 "递归" 结果页面上又有一行字问你，您是不是要找'递归'

点进去后，又会来到递归页面， 这仿佛是赛博鬼打墙，哈哈哈哈哈哈哈哈！

但递归真正的作用不是无线套娃下去 ，而是帮你解决复杂的问题。

mindmap 更小问题 小问题 更小问题 大问题

递归: 可以把一个大问题分解成更小的同类型问题 ，直到问题小到可以被直接解决，继而解决到原本的大问题

递归是需要一个终止条件的，当某个终止条件满足时，就不再递归调用啦！ 要是你写出来的递归 没终止条件 亦或者说是一直到不了递归条件的话，会导致函数无限调用直到程序崩溃！ 大家要注意这点！⚠️⚠️⚠️

那问题又来了，为什么程序无限调用会导致崩溃呢？「 栈溢出问题」「StackOverflowproblem」

1. 因为每次调用函数，都会在内存新增一个栈帧，用来保存函数内部的状态，比如函数局部变量的值等等。
2. 因为各个函数内部是互相独立的，但栈的空间是有限的，当递归调用的层级太多时，就会超出栈的容量，从而导致调用栈溢出。 ⚠️⚠️⚠️如果我们一味的调用函数而不返回，一旦栈被填满后，就会导致 栈溢出「StackOverflow」，程序会直接终止运行！
3. 延伸一下，递归过程类似于出栈入栈。如果递归次数过多，栈的深度就需要越深，最后栈容量真的不够装。

递归的特点

实际上，递归有两个显著的特征，终止条件和自身调用:

• 自身调用：原问题可以分解为子问题，子问题和原问题的求解方法是一致的，即都是调用自身的同一个函数。

• 终止条件：递归必须有一个终止的条件，即不能无限循环地调用本身。

递归存在的问题

• 递归调用层级太多，会导致栈溢出的问题。
• 递归重复计算，会导致效率低下。

递归的种类

• 在计算机科学和编程中，根据递归函数的结构和调用方式，可以将递归分为几种主要类型。

. 直接递归 (Direct Recursion)

这是最常见、最直观的递归形式。一个函数直接调用自己。

示例 ：计算阶乘

. 间接递归 (Indirect Recursion)

在这种情况下，函数 A 调用函数 B，而函数 B 又反过来调用函数 A，形成一个调用循环。

示例：判断奇偶数

这段代码的目标是判断一个数字是偶数 还是奇数。

• 如果是偶数，isEven(数字) 函数会告诉我们 true。
• 如果是奇数，isEven(数字) 函数会告诉我们 false。

例如，isEven(2) 应该返回 true，isEven(3) 应该返回 false。 Qwen3-Coder

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1. 直接递归 (Direct Recursion)

这是最常见、最直观的递归形式。一个函数直接调用自己。

示例：计算阶乘

javascript

编辑

1function factorial(n) {
2    // 基准情况 (Base Case): 递归的终止条件
3    if (n <= 1) {
4        return 1;
5    }
6    // 递归步骤 (Recursive Step): 函数调用自身
7    else {
8        return n * factorial(n - 1);
9    }
10}
11
12// factorial(3) -> 3 * factorial(2) -> 3 * 2 * factorial(1) -> 3 * 2 * 1

2. 间接递归 (Indirect Recursion) 2. 间接递归（间接递归）

在这种情况下，函数 A 调用函数 B，而函数 B 又反过来调用函数 A，形成一个调用循环。

示例：判断奇偶数

javascript

编辑

1function isEven(n) {
2    if (n === 0) {
3        return true;
4    } else {
5        return isOdd(n - 1); // 调用 isOdd
6    }
7}
8
9function isOdd(n) {
10    if (n === 0) {
11        return false;
12    } else {
13        return isEven(n - 1); // 调用 isEven
14    }
15}
16
17// isEven(3) -> isOdd(2) -> isEven(1) -> isOdd(0) -> false

3. 尾递归 (Tail Recursion)

尾递归是一种特殊的直接递归。在函数的最后一步执行递归调用，并且该递归调用是函数返回的表达式，其返回值不需要再参与任何计算。

优点：尾递归在某些编程语言（如 Scheme、Scala）和编译器中可以被优化成循环，从而避免了创建新的栈帧，节省了内存，防止栈溢出。

示例：计算阶乘（非尾递归 vs 尾递归）

• 非尾递归版本：

  javascript

  编辑

  1function factorial(n) {
  2    if (n <= 1) {
  3        return 1;
  4    }
  5    // 递归调用后还要进行乘法运算，所以不是尾递归
  6    return n * factorial(n - 1);
  7}

• 尾递归版本：

  javascript

  编辑

  1function factorialTail(n, accumulator = 1) { // accumulator 用于累积结果
  2    if (n <= 1) {
  3        return accumulator;
  4    }
  5    // 递归调用是函数的最后一步，且结果直接返回，是尾递归
  6    return factorialTail(n - 1, accumulator * n);
  7}
  8
  9// factorialTail(3, 1) -> factorialTail(2, 3) -> factorialTail(1, 6) -> 6

4. 树形递归 (Tree Recursion)

当一个函数在其递归步骤中调用自身多次时，就形成了树形递归。这种递归的调用过程会形成一棵树状结构，通常会产生大量的重复计算。

用经典的二叉树 来理解树形递归吧

前序排列 (根左右）代码样式

中序排列（左根右）代码样式

后序排列（左右根）代码样式

解释一下： 前半部分就是将 二叉树用代码 表达出来 后半部分用代码将 二叉树 分别用三种方法 遍历出来

递归的经典应用场景

哪些问题我们可以考虑使用递归来解决呢？即递归的应用场景一般有哪些呢？

• 阶乘问题

• 二叉树深度

• 汉诺塔问题

• 斐波那契数列

• 快速排序、归并排序（分治算法也使用递归实现）

• 遍历文件，解析xml文件

厚积薄发 这只是其中的一小步 后续还有更多的知识需要我们去慢慢积累与学习!