0xFF 二进制

众所周知在计算机中信息都是用二进制储存的那你知道在计算机内部怎样储存的吗

原码

原码就是在这个数绝对值的二进制前面加上一个符号位 (符号位为 $0$ 则为正数符号位为 $1$则为负数反之亦然)

举几个栗子

比如 $42$ 它的二进制就是 $(101010)_2$ 所以原码是 $(00101010)_2$

再比如 $-42$ 的原码是 $(10101010)_2$

我们来验证一下

\[42+(-42)=0 \]

\[(00101010)_2+(10101010)_2=(01010100)_2 \]

这不对啊

反码

聪明的你想到了一个方法那就是把负数除了符号位都反过来

比如 $-42$ 的原码是 $(10101010)_2$ 所以反码是 $(11010101)_2$

再来计算一下

\[42+(-42)=0 \]

\[(00101010)_2+(11010101)_2=(11111111)_2 \]

是 $-0$ ？

补码

你又想到了我们可以在反码的基础上$+1$

比如 $-42$ 的原码是 $(10101010)_2$ 反码是 $(11010101)_2$ 所以补码是 $(11010110)_2$

再来计算一下

\[42+(-42)=0 \]

\[(00101010)_2+(11010110)_2=(00000000)_2 \]

没错就是 $0$

这就是在计算机内部储存整数的方法补码

0x01 位运算

正片开始

在计算机中有些运算速度极快它们就是位运算

位运算有六种分别是

-按位与: $\\mathrm{AND}$ &

-按位或: $\\mathrm{OR}$ |

-取反: $\\mathrm{NOT}$ ~

-异或: $\\oplus$ ^

-左移: $<<$ <<

-右移: $>>$ >>

具体做什么就不说了应该都知道重要的是那一些性质

位运算的性质

我们可以发现计算位运算时每一位是互相无关的我们可以用这一个特点来做题

例题

可以发现当最高位为 $0$ 时这个算式为 $0$

code:

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
ll x;
int t;
int main(){
	cin>>t;
	while(t--){
		cin>>x;
		for(int i=30;i>=0;i--){
			ll A=(1<<i);
			if(x&A){
				cout<<A-1<<"\n";
				break;
			}
		}
	}
	return 0;
}

$\\mathrm{AND}$ 和 $\\mathrm{OR}$

根据定义可以知道

\[a\ \mathrm{OR}\ b = \mathrm{NOT}\ ((\mathrm{NOT}\ a)\ \mathrm{AND}\ (\mathrm{NOT}\ b)) \]

可以用上这个性质将 $\\mathrm{OR}$ 和 $\\mathrm{AND}$ 互相转换

$\\mathrm{NOT} \\ a$ 和 $-a$

根据补码的定义 $\mathrm{NOT} \ a = -(a+1)$ 和 $-a = \\mathrm{NOT} \\ a +1$

这个和树状数组的 $\mathrm{lowbit}$ 有密切的关系

$\mathrm{lowbit}$

$\mathrm{lowbit}$ 就是二进制位上最低位的 $1$ 所代表的数如 $\mathrm{lowbit} \ (42) = \mathrm{lowbit} \ ((00101010)_2) = 2$

通过瞪眼法观察可以发现 $\mathrm{lowbit} \ (x) = x\ \mathrm{AND} \ (-x)$ 证明不难

$\\oplus$

$\\oplus$ 就十分有趣了有许多题都爱用它的性质

$a\oplus a=0$
$0\oplus a=a$
$a\oplus b\ \oplus b=a$
$a \oplus b \le a+b$

例题

根据 $\\oplus$ 的性质可以想到把所有数异或起来出现两次的会归零

code:

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,x,ans;
int main(){
    cin>>n;
    while(n--)cin>>x,ans^=x;
    cout<<ans;
}

记得卡一下常把输入输出换成 printf和scanf 或者手写快读快写

判断第 $x$ 位是否为 $1$

可用 $a\ \mathrm{AND} (1\ << \ x)$

0x02 二进制枚举

我们可以用一个 bool 数组来表示选与不选那我们也可以用二进制 来表示这就是 二进制枚举多说无益看题

例题

我们可以枚举每一科的每一道题用左脑还是右脑来做

code:

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
int s1,s2,s3,s4,ans;
int A[30],B[30],C[30],D[30];
int main(){
	cin>>s1>>s2>>s3>>s4;
	for(int i=1;i<=s1;i++)cin>>A[i];
	for(int i=1;i<=s2;i++)cin>>B[i];
	for(int i=1;i<=s3;i++)cin>>C[i];
	for(int i=1;i<=s4;i++)cin>>D[i];
	int MiN=INT_MAX;
	for(int i=0;i<(1<<s1);i++){
		int x=0,y=0;
		for(int j=0;j<=s1;j++){
			if(i&(1<<j)){
				x+=A[j+1];
			}else{
				y+=A[j+1];
			}
		}
		MiN=min(MiN,max(x,y));
	}
	ans+=MiN;
	MiN=INT_MAX;
	for(int i=0;i<(1<<s2);i++){
		int x=0,y=0;
		for(int j=0;j<=s2;j++){
			if(i&(1<<j)){
				x+=B[j+1];
			}else{
				y+=B[j+1];
			}
		}
		MiN=min(MiN,max(x,y));
	}
	ans+=MiN;
	MiN=INT_MAX;
	for(int i=0;i<(1<<s3);i++){
		int x=0,y=0;
		for(int j=0;j<=s3;j++){
			if(i&(1<<j)){
				x+=C[j+1];
			}else{
				y+=C[j+1];
			}
		}
		MiN=min(MiN,max(x,y));
	}
	ans+=MiN;
	MiN=INT_MAX;
	for(int i=0;i<(1<<s4);i++){
		int x=0,y=0;
		for(int j=0;j<=s4;j++){
			if(i&(1<<j)){
				x+=D[j+1];
			}else{
				y+=D[j+1];
			}
		}
		MiN=min(MiN,max(x,y));
	}
	ans+=MiN;
	cout<<ans;
	return 0;
}

其实可以封装成函数但我懒 AwA

0x03 掩位码

那我们会想我们可不可以用二进制来表示集合呢当然可以

下面是集合运算和位运算的对照表

名称	集合符号	位运算
并集	$A\\cup B$	$A \\ \\mathrm{OR} \\ B$
交集	$A\\cap B$	$A \ \mathrm{AND} \ B$
补集	$\complement _U A$	$\mathrm{NOT} \ A$
差集	$A - B$	$A \ \mathrm{AND} \ (\mathrm{NOT} B)$
对称差	$A \bigtriangleup B$	$A \oplus B$
同时还有许多操作我们直接看code

code:

cpp 复制代码

//LG
//集合运算 2
//https://www.luogu.com.cn/problem/B3633
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
ll A,B;
int n,m;
void in(ll &Set,int x){Set|=(1ll<<x);}
void del(ll &Set,int x){Set&=~(1ll<<x);}
ll And(ll A,ll B){return A&B;}
ll Or(ll A,ll B){return A|B;}
ll Not(ll A){return ~A;}
ll Sub(ll A,ll B){return A&(~B);}
ll Diff(ll A,ll B){return A^B;}
bool In1(int x,ll A){return A&(1ll<<x);}
bool In2(ll A,ll B){return (A&B)==A;}
int Size(ll A){
	int tot=0;
	while(A){
		tot++;
		A-=A&(-A);
	}
	return tot;
}
void Out(ll A){for(ll i=0;i<=63;i++){if(A&(1ll<<i))cout<<i<<" ";}}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x;
		cin>>x;
		in(A,x);
	}
    cin>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x;
		cin>>x;
		in(B,x);
	}
	cout<<Size(A)<<"\n";
	Out(And(A,B)),cout<<"\n";
	Out(Or(A,B)),cout<<"\n";
	Out(Not(A)),cout<<"\n";
	cout<<(A==B)<<"\n"<<In2(A,B)<<"\n"<<In1(0,A);
    return 0;
}

为绝对不会告诉你有个东西叫 bitset

0x04 奇技淫巧

我们就直接看 code

判断奇数

cpp 复制代码

if(x&1){
  //...
}

交换两数

cpp 复制代码

void swap(int &a,int &b){a^=b,b^=a,a^=b;}

判断符号

cpp 复制代码

bool Sign(int a){return (a>>31);} //0为非负数

绝对值

cpp 复制代码

bool Abs(int a){return (n^(n >> 31)) - (n >> 31);}

位运算二进制枚举掩位码

0xFF 二进制

原码

反码

补码

0x01 位运算

位运算的性质

$\\mathrm{AND}$ 和 $\\mathrm{OR}$

$\\mathrm{NOT} \\ a$ 和 \(-a\)

\(\mathrm{lowbit}\)

$\\oplus$

判断第 \(x\) 位是否为 \(1\)

0x02 二进制枚举

0x03 掩位码

0x04 奇技淫巧

判断奇数

交换两数

判断符号

绝对值

位运算 二进制枚举 掩位码

0xFF 二进制

原码

反码

补码

0x01 位运算

位运算的性质

\\mathrm{AND} 和 \\mathrm{OR}

\\mathrm{NOT} \\ a 和 \(-a\)

\(\mathrm{lowbit}\)

\\oplus

判断第 \(x\) 位是否为 \(1\)

0x02 二进制枚举

0x03 掩位码

0x04 奇技淫巧

判断奇数

交换两数

判断符号

绝对值

位运算二进制枚举掩位码

$\\mathrm{AND}$ 和 $\\mathrm{OR}$

$\\mathrm{NOT} \\ a$ 和 \(-a\)

$\\oplus$