洛谷-P11978 [KTSC 2021] 铁路 / railroad 题解

Solution

显然特殊节点作为根，这样就把无根树转成了有根树。

考虑如何刻画假边。定义 \(dep_u\) 为 \(u\) 到根的最短路。原树上真边连接的两个点到根的 \(dep\) 恰好差 \(1\)。因此假边可以仅在深度相同的点之间连。这样不改变每个点的 \(dep\)，\(dep_u=dep_v\) 等价于 \((u,v)\) 是假边。

但是还有一个问题：如果树是链，根选在了链顶就被卡掉了。感性理解一下，树的高度越小，最多能连的假边数量 \(K_{max}\) 越多。因此我们选择树的中心（直径中点）作为根。

可以证明这样 \(K_{max}\ge\left\lfloor \frac{N-1}{2} \right\rfloor\)。任意树都可以看成在直径上不断挂叶子形成的。不挂叶子时，\(K_{max}=\left\lfloor \frac{N-1}{2} \right\rfloor\)。每挂一个叶子，树高不变，\(K_{max}\) 至少增加 \(1\)，而 \(\left\lfloor \frac{N-1}{2} \right\rfloor\) 至多增加 \(1\)。因此仍然有 \(K_{max}\ge\left\lfloor \frac{N-1}{2} \right\rfloor\)。证毕。

Code

cpp 复制代码

#include "railroad.h"
#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i(a);i<b;++i)
#define per(i,a,b) for(int i(a);i>b;--i)
#define rept(i,a,b) for(int i(a);i<=b;++i)
#define pert(i,a,b) for(int i(a);i>=b;--i)
#define eb emplace_back
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
constexpr int N=1e3+5;
vector<int> g[N],vec[N],dia;
int d1[N],d2[N];
void dfs1(int u,int pre){
    for(int v:g[u]) if(v^pre) d1[v]=d1[u]+1,dfs1(v,u);
}
void dfs2(int u,int pre){
    for(int v:g[u]) if(v^pre) d2[v]=d2[u]+1,dfs2(v,u);
    for(int v:g[u]) if(v^pre) d2[u]=max(d2[u],d2[v]);
}
void dfs3(int u,int pre){
    dia.eb(u);
    for(int v:g[u]){
        if(v!=pre&&d2[v]==d2[u]){
            dfs3(v,u);
            break;
        }
    }
}
vector<pii> encode_map(int N,int K,int &X,vector<pii> E){
    dia.clear();
    rept(i,1,N){
        g[i].clear(),vec[i].clear();
        d1[i]=d2[i]=0;
    }
    vector<pii> res;
    for(auto [u,v]:E) g[u].eb(v),g[v].eb(u);
    dfs1(1,0);
    int s=0;
    rept(i,1,N) if(d1[i]>d1[s]) s=i;
    dfs2(s,0);
    dfs3(s,0);
    X=dia[dia.size()>>1];
    dfs1(X,0);
    rept(i,1,N) vec[d1[i]].eb(i);
    pert(d,N-1,0){
        rep(i,0,(int)vec[d].size()-1){
            rep(j,i+1,vec[d].size()){
                res.eb(vec[d][i],vec[d][j]);
                --K;
                if(!K) goto end;
            }
        }
    }
    end:
    return res;
}
vector<pii> decode_map(int N,int K,int X,vector<pii> E){
    vector<pii> res;
    queue<int> q;
    rept(i,1,N){
        g[i].clear(),vec[i].clear();
        d1[i]=0;
    }
    for(auto [u,v]:E){
        g[u].eb(v),g[v].eb(u);
    }
    q.push(X);
    d1[X]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(int v:g[u]){
            if(!d1[v]){
                d1[v]=d1[u]+1;
                res.eb(u,v);
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return res;
}