每天学一个算法--回溯算法（Backtracking）

📘 教案 12：回溯算法（Backtracking · 从暴力到剪枝）

1️⃣ 问题定义

回溯用于解决一类问题：

在所有可能方案中，寻找满足条件的解

典型问题

排列 / 组合
子集问题
N 皇后
数独
路径搜索

2️⃣ 核心思想

回溯 = 系统枚举 + 条件剪枝

本质拆解

枚举所有可能（暴力）
在过程中排除不合法路径（剪枝）

3️⃣ 回溯的结构模型（最重要）

树形结构（必须理解）

text 复制代码

            []
        /    |    \
      [1]   [2]   [3]
     /   \
 [1,2]  [1,3]

👉 每一条路径 = 一个方案

4️⃣ 回溯模板（核心）

python 复制代码

def backtrack(path, choices):

    if 满足条件:
        保存结果
        return

    for 选择 in choices:

        做选择

        backtrack(path, 剩余选择)

        撤销选择

三个关键动作

1️⃣ 做选择

2️⃣ 递归

3️⃣ 撤销选择（回溯）

👉 这三步必须成对出现

5️⃣ 示例1：全排列（最经典）

问题：

text 复制代码

[1,2,3]

求所有排列

解：

python 复制代码

def backtrack(path):

    if len(path) == n:
        res.append(path[:])
        return

    for num in nums:
        if num 已使用:
            continue

        path.append(num)
        标记使用

        backtrack(path)

        撤销使用
        path.pop()

6️⃣ 示例2：子集问题

问题：

text 复制代码

[1,2,3]

求所有子集

关键区别

👉 每个节点都是答案

python 复制代码

def backtrack(start):

    res.append(path[:])

    for i in range(start, n):
        path.append(nums[i])

        backtrack(i+1)

        path.pop()

7️⃣ 示例3：N 皇后（重要）

规则：

每行一个皇后
不能同列
不能对角线

状态：

text 复制代码

row, col, 对角线

本质：

👉 在棋盘上逐行尝试

8️⃣ 剪枝（关键优化）

什么是剪枝？

提前终止不可能的路径

示例：

text 复制代码

当前和已经 > target

👉 不用继续

本质：

减少搜索空间

9️⃣ 回溯 vs 动态规划

项目	回溯	DP
思路	枚举所有	记忆优化
复杂度	高	较低
是否剪枝	有	无

10️⃣ 时间复杂度

通常：

O(指数级)\]\[ O(指数级) \]\[O(指数级)

👉 但剪枝后会下降

常见错误

❌ 错误1：忘记撤销选择

👉 状态污染

❌ 错误2：条件写错

👉 多算 / 少算

❌ 错误3：不会剪枝

👉 变成纯暴力

回溯问题分类

类型	示例
排列	全排列
组合	组合数
子集	子集
棋盘问题	N皇后
路径问题	迷宫

回溯的本质总结

回溯不是"乱试"，而是：

在树上进行有控制的搜索

一句话教学总结

回溯 =

👉 "尝试所有可能"

👉 + "不行就回退"