【读论文】音调协和性与临界带宽

Plomp R, Levelt W J M. Tonal Consonance and Critical BandwidthJ. Journal of the Acoustical Society of America, 1965, 38(3): 548-560.

音调协和性与临界带宽

收稿日期：1965年4月26日

R. 普龙普，W. J. M. 莱维尔特

荷兰索斯特贝格，荷兰应用科学研究组织知觉研究所

摘要

首先，本文回顾了将音调协和性 解释为音程具有小整数频率比这一独特属性的各类理论。结合部分实验研究对这些解释进行评估后，结果支持亥姆霍兹提出的假说：协和与不协和音程的区别与相邻分音的拍频有关 。通过让被试判断纯音音程随测试频率与音程宽度变化的实验，对这一关系展开更全面的研究。实验结果可视为对亥姆霍兹理论的修正，表明协和与不协和音程的过渡区间随频率变化，且与临界带宽相关。当频率差超过临界带宽时，纯音音程被判定为协和；最不协和的音程对应的频率差约为临界带宽的四分之一。

基于该结果，本文解释了复合音构成的协和音程的部分特性。为探究临界带宽是否在音乐中同样发挥作用，本文通过计算音程分布随频率与纳入谐波数量的变化，分析了两部作品（J. S. 巴赫三重奏鸣曲选段与A. 德沃夏克弦乐四重奏选段）的和弦。结果有力表明，临界带宽在音乐中确实具有重要作用：当纳入的谐波数量符合乐器实际发声特征时，同时发声分音的"密度"随频率的变化规律与临界带宽一致。

引言

亥姆霍兹提出的欧姆声学定律指出，人耳能够将复合音分解为正弦分量。在一篇先前的论文中2，本文一位作者报告了关于多音信号可分辨分音数量的实验，结果表明，仅当分音的频率间隔超过临界带宽时，人耳才能"听出"分音。

论文标题：The Ear as a Frequency Analyzer 作者：R. Plomp 发表：J. Acoust. Soc. Am. 36, 1628--1636 (1964) 核心任务：第一次系统测量人耳能 "听出" 多少个分音，以及听不出来的边界条件
最佳条件下，人耳最多只能分辨前 5～8 个谐波，低频（≈125 Hz）分辨数量最多，频率越高，能分辨的数量越少，分辨极限、掩蔽范围、可听边界，全部由临界带宽决定

亥姆霍兹并未忽视欧姆定律存在一定适用局限。但他认为，例外情况主要体现为两个同时发声的纯音频率差较小时出现拍频3。基于这一观点，同时考虑相邻谐波之间的拍频，亥姆霍兹得以解释音乐协和性为何与发声音的简单频率比相关4。尽管这一理论广为人知，却遭到了严厉批判，尤其是来自心理学家与音乐学家的批评。

本文重新研究拍频与协和性的关系5。为避免误解，需预先强调：本文仅关注协和性为何与简单频率比相关 这一问题。尽管协和性概念较为模糊，音乐家与普通听众的理解可能存在差异，但二者均涉及这一核心关系。本文认为，协和性指的是具有简单频率比的孤立音对所带来的独特听觉体验，本文使用音调协和性指代这一特征体验。后续实验结果支持亥姆霍兹的理论，但也要求对其做出若干修正，而临界带宽概念在这些修正中起到关键作用。

一、历史回顾

（一）协和性的解释

传统上认为毕达哥拉斯发现：琴弦以1:1、1:2、2:3、3:4的长度比振动时发出的音，其和声效果远优于其他比例。这类音程被称为协和音程，西方音乐的和声体系正是建立在这类音程的独特性之上；中世纪后，4:5、3:5、5:6、5:8等比例的音程也被接纳为不完全协和音程。

为何协和性与琴弦长度的简单整数比相关，这一问题困扰了历代学者。1860年至1920年间，大量研究围绕该问题展开。本质上，所有提出的解释6均基于以下一项或多项依据：

1. 频率比

近代科学兴起的16至17世纪，声学领域的首要重大发现之一是音高与频率的依赖关系7。这一发现意味着协和音程的特征是具有简单频率比，进而催生了关于协和性起源的颇具吸引力的假说。伽利略指出："悦耳的协和音是一对能以特定规律冲击人耳的音；这种规律体现为，在相同时间内，两个音产生的振动脉冲数量可公度，从而避免鼓膜因持续承受不协调的脉冲、向两个不同方向弯曲而备受折磨。"莱布尼茨与欧拉等科学家完善了这一解释，将鼓膜替换为"无意识计数的心灵"------心灵会更偏爱振动重合更频繁的音程。

利普斯与波拉克进一步发展并完善了这一思想910；近期布姆斯利特与克里尔提出的"长模式理论"也可归入此类11。

2. 谐波关系

17世纪发现乐器发出的音由分音构成2，催生了协和性的另一种解释。起初，学者认为每个复合音中都存在频率比为1:2、2:3等的谐波，这一事实足以证明这些比例的协和性（拉莫）。19世纪，学者对谐波存在的深层含义进行了更全面的阐述。亥姆霍兹12与冯特13均将旋律与和声的建立归因于协和音程的谐波重合。

近期，奥格登14与胡斯曼15也从不同角度主张协和性本身源于这种谐波重合。蒙塔尼尝试为该解释提供生理学基础16。

3. 谐波间的拍频

谐波的存在还催生了另一种截然不同的假说：协和性现象与同时发声、频率差较小的音产生的拍频与粗糙感相关。尽管亥姆霍兹常被视作该理论的提出者，但更早已有学者提出类似观点（佐尔格17）。亥姆霍兹13指出，两个纯音频率差较小时，人耳可清晰分辨拍频；当频率差增大，拍频出现过快而无法分辨，声音会变得粗糙、刺耳。他确定，这种粗糙感在频率差为30--40赫兹时达到最大，且与频率无关；但他也承认，频率差固定时，粗糙感随频率升高而增强。当频率差进一步增大，粗糙感减弱，声音变得协和悦耳，与频率比无关。对于乐器发出的复合音，还需考虑低音谐波与高音谐波之间的拍频。

据此，亥姆霍兹解释了：频率比可表示为越小的整数，音程越协和。八度音程（频率比1:2）是最协和的音程，因为高音的所有分音均与低音分音重合，不会产生拍频。次协和的音程是五度（2:3），此时一半的谐波重合，另一半恰好位于低音谐波的正中间。他认为，音乐实践中低频区避免使用三度、六度音程（低频时分音间距比高频更近），这一现象印证了他的理论。

4. 差音

尽管亥姆霍兹并未否认差音拍频也会导致不协和，但普雷沃18，尤其是克鲁格1920更强调这一点。基于对差音的详细实验21，克鲁格认为亥姆霍兹严重低估了差音的作用。由于差音总数随频率比复杂度增加而增多，差音可解释协和音程的等级顺序，既适用于复合音，也适用于纯音。近期，桑迪希22对比了双耳分听与单耳听条件下音程的特征，认为后者更中性，从而印证了克鲁格的理论。

5. 融合

施图姆普夫提出了截然不同的观点23。他认为，谐波与差音都不是区分协和与不协和音程的核心要素，同时否定频率比理论纯属推测。施图姆普夫关注到一个经他本人24及后世多位学者证实的事实：音程的融合度随简单频率比变化的顺序与协和性一致。他将融合定义为两个同时发声的音被感知为一个整体的倾向。施图姆普夫认为融合与协和性的紧密关联是因果关系，融合是协和性的基础。但多年后，他承认这一结论并不成立，该关系无法作为协和性现象的圆满解释25。

（二）对上述解释的评价

这些相互对立的理论表明，协和性是复杂现象，难以通过确凿实验判定各类解释的合理性。与1920年之前的时期不同，现代听觉相关著作对协和性的关注极少26。这种忽视是否合理？我们是否必须认同那些认为协和性主要或完全由文化2728甚至遗传因素29决定的研究者？

回答这一问题需认识到：我们的协和性感知确实深受西方音乐发展与音乐训练的深刻影响，这一点可从两方面体现：

1. 亥姆霍兹用拍频解释协和性的理论遭到众多研究者反对，首要原因是他们认为移除音的谐波后，音程的协和/不协和程度不会改变。梳理支撑该观点的观测结果可发现，所有实验均使用受过音乐训练的被试判断音程。研究者非但不认为这是问题，反而将其视为获得有效反应的必要条件。施图姆普夫或许是拍频理论最主要的批评者，他本人就是典型案例。他最初立志成为音乐家，因此对音程心理学抱有浓厚兴趣30。对他而言，判断某个音程等同于确定其音乐名称，这一认知完全决定了他赋予该音程的协和性价值。因此，即便在听不到谐波与差音的情况下，他仍将8:15、7:10等音程判定为不协和。显然，他（及其他许多人）认为这种判断方式不言自明，却未意识到其结果与协和性、不协和性的起源无关，仅能证明其音乐教育与训练的成效。莫兰与普拉特的研究证实了训练的巨大影响31：3名能识别所有常用音乐音程的被试，需调整一系列音程中一个音的频率至该音程的准确值。纯音条件下的结果显示，三名被试的平均调整值更接近音乐中使用的十二平均律音程宽度，而非简单频率比对应的自然律音程。这一结果表明，必须明确区分音程识别 与协和性判断。识别常用音程的能力无法解释为何特定音程产生的独特听觉体验与组成音的简单频率比相关。

2. 音乐对音程判断的影响还可从另一角度体现。最初，仅1:1、1:2、2:3、3:4被视为协和悦耳的音程。如今情况更为复杂。马尔姆伯格让音乐家与心理学家组成的评审团确定八度内所有音程的协和性排序32，得到结果：1:2、2:3、3:5、3:4与4:5、5:8、5:6、5:7、5:9、8:9、8:15、15:16。格恩西证实了一个众所周知的事实：音乐家会明确区分悦耳度与协和性33。该研究发现，音乐家群体对音程协和性的排序与马尔姆伯格的结果大致相同，但悦耳度排序差异显著：六度（3:5、5:8）、三度（4:5、5:6）、四度（3:4）与小七度（5:9）并列最高。而对于未受过音乐训练的被试，协和性与悦耳度是高度相似的概念34。作者在一项实验中让10名被试用10个不同语义量表评价大量音程，发现协和性与悦耳度得分高度相关。事实上，"协和性"被当作评价维度使用。这些被试同样认为六度、三度、四度最悦耳，但对八度与五度的评价远高于音乐家，这与格恩西的实验结果一致33。从这些结果可得出结论：原始的协和性概念已分化为两种认知------一种为音乐家所持，另一种为普通听众所持。这种分化是历史上音乐偏好从1:2、2:3、3:4等简单频率比音程转向更复杂频率比音程的结果。对普通听众而言，"协和性"一词的含义随这一转变而变化；而音乐家则保留了传统的音程协和性排序，该排序以平滑、均匀为特征，与主观评价无关。

在偏离主题讨论协和性与音乐的关系后，我们回到核心问题：如何评价第一节（一）中提到的各类协和性解释。本文试图回答该问题时，关注的协和性感知并非主要作为音乐教育与训练的产物，而是一种与简单整数频率比相关、具有普遍性的典型听觉现象。这种特殊的听觉现象，即本文所称的音调协和性，可视为音乐家与普通听众所持的协和性概念与简单频率比之间关系的基础。

基于上述限定，仅有少数实验结果有助于判定五类协和性解释的合理性。最相关的研究是格思里与莫里尔对纯音构成音程的判断实验35。实验向约380名被试呈现44个不同音程，频率比从1:1到超过2:3，要求被试分别判断音程是否协和、是否悦耳。图1呈现了平均结果。两条曲线高度相似，这与前文结论一致：对未受过训练的被试而言，协和性与悦耳度概念几乎等同。

图1 以两个纯音的频率差为横坐标，被试判定音程为协和（实线）与悦耳（虚线）的百分比为纵坐标。所有音程的低音频率均为395赫兹。引自格思里与莫里尔

与此相关的另一项研究仅考察悦耳度，由凯斯特纳开展36。实验向观察者依次呈现成对音程，要求指出更悦耳的一个。实验分别使用纯音与复合音构成的音程，两种条件下均测试八度内约30个音程的所有两两组合。图2呈现了最重要结果的平均值。纯音曲线与图1曲线一致，复合音曲线则在简单频率比对应的音程处出现明显峰值。

图2 以两个音的频率差为横坐标，音程被判定为比其他音程更悦耳的百分比为纵坐标。实线代表纯音数据，虚线代表复合音数据。所有音程的低音频率均为320赫兹。引自凯斯特纳

这些实验对评价协和性的不同解释极具价值。可见，纯音构成的音程中，简单频率比并未使曲线出现特殊拐点。相反，曲线表明频率间距而非频率比是决定性参数。随着频率差增大，曲线先出现明显谷值，随后出现宽幅峰值。

唯一得到两项实验结果支持的解释是亥姆霍兹提出的理论：音程的不协和性主要源于组成音的快速拍频。两项研究中，曲线谷值均对应30--40赫兹的频率差，与亥姆霍兹提出的最大不协和频率差一致。图2中复合音曲线在简单频率比音程处出现明显峰值，也与该解释相符。

这些实验结果不支持第一节（一）中提到的其他解释，针对这些观点可提出以下反驳：

1. 任何主张人耳能感知频率比的假说，均与图1、图2纯音曲线在简单比例处无峰值的发现矛盾。所有支持该观点的证据，均源于音乐训练带来的音程识别，其重要性已由莫兰与普拉特的实验证实。

2. 若基于谐波关系的协和性解释认为，每个复合音中的谐波使人对简单频率比产生"条件反射"，则同样适用上述反驳（1）。另一种谐波影响观点认为，协和性与两个复合音同时发声时重合谐波的数量相关。但除消除拍频或差音外，这种重合如何影响协和性尚不明确，因为公共分音可归属于任意一个复合音。

3. 结合图1、图2数据，差音对协和性感知的影响可能性极低。此外，本文一位作者关于结合音可听度的实验21表明，听觉器官的非线性失真极小，不足以作为协和性的构成基础。

4. 协和音程的排序与融合度相关，这一事实无法作为圆满解释，施图姆普夫本人也承认这一点25。但这并不意味着该关系毫无意义，只是本文暂不讨论。

综上，深入研究以下假说具有重要意义：音调协和性（复合音以简单频率比构成的音程所具有的独特属性）源于组成音谐波之间无快速拍频。

二、实验

格思里与莫里尔的研究仅使用低音为395赫兹的音程，凯斯特纳使用256赫兹与320赫兹。因此，这些研究未提供纯音音程的评价随频率变化的信息。为更深入理解协和性与拍频的关系，探究该问题至关重要，因此作者设计了以下实验。

（一）方法与步骤

实验中，被试需根据两个参数判断音程：音程在频率范围中的位置、组成音的频率差。第一个参数的度量采用两个音频率的几何平均值。为尽可能分离两个参数的影响，使用几何平均值优于早期研究采用的音程低音频率。基于相同原因，每个平均频率均使用独立的被试组。

被试在7点量表上评价每个音程，"协和--不协和"，1代表最不协和，7代表最协和。部分被试询问协和的含义，实验人员将其描述为优美、悦耳。该操作合理，因为此前研究已证实34，对未受过训练的被试而言，协和、优美、悦耳高度相关，三者在语义空间中代表同一维度------评价维度。

实验装置简单：两个正弦波振荡器产生声音，经扬声器播放至被试前方。被试耳旁声压级保持在约65分贝（参考声压2.10−42.10^{-4}2.10−4达因/平方厘米）。被试在吸声墙面的隔音室内单独测试，实验人员在另一房间操控，每个音程播放约4秒。每次播放后，实验人员重新调整振荡器频率，间隔10--20秒。使用电子计数器精准调节频率。

实验设置5个音程平均频率：125、250、500、1000、2000赫兹。每名被试仅参与一个平均频率的测试，需评价围绕该平均频率的12--14个不同音程宽度。为避免音程识别的影响，音程宽度基于频率差而非频率比选取。

实验步骤如下：首先，被试阅读书面指导语，了解实验目的与记录方式（答题纸为横线，每条横线有7个短竖线标记）。随后，随机呈现10个不同音程作为预实验，帮助被试熟悉刺激差异并合理使用7点量表。接着，呈现5组12--14个音程（125赫兹为12个，其余为14个）。每组包含相同音程宽度，但顺序随机调整，且每组首个音程与前一组最后一个音程不同。

被试为约20岁、接受过中等教育的男性青年。平均频率125、250、500、1000、2000赫兹对应的被试数量分别为19、22、18、11、18名。

（二）结果

为剔除无法给出稳定反应的被试数据，计算每名被试前5组与最后5组音程宽度评价得分的重测信度（相关系数）。仅保留相关系数大于0.5的被试数据，取5组评价的平均分用于后续分析。经筛选，125--2000赫兹各平均频率组的有效被试数分别为11、10、11、10、8名。

图3--图7呈现不同平均频率下的实验结果（以音程宽度为横坐标）。每张图中，实线连接中位数点，其余线条为得分的下四分位数与上四分位数。

图3 平均频率125赫兹的纯音音程协和性评分，以两个音的频率差为横坐标。实线为中位数，虚线为得分的下、上四分位数（11名被试）。

图4 同图3，平均频率250赫兹（10名被试）。

图5 同图3，平均频率500赫兹（11名被试）。

图6 同图3，平均频率1000赫兹（10名被试）。

图7 同图3，平均频率2000赫兹（8名被试）。

（三）讨论

图3--图7的曲线整体趋势与图1、图2（实线）一致：频率差较小时出现谷值，频率差增大后出现宽幅峰值。可用两个特征点描述曲线：谷值 与达到峰值的频率差，下文分别分析。

图8以平均频率为横坐标，绘制图3--图7曲线谷值对应的音程宽度；同时标注格思里--莫里尔、凯斯特纳研究的曲线谷值。

文献中唯一可对比的数据来自克罗斯与古德温37，他们发表了关于"两个共鸣器发声产生的不协和粗糙感达到最大值的点"的相关数据。该数据仅来自一名被试，也标注于图8。

对比与评价这些数据时需注意：协和性曲线的谷值较宽，因此特征点精度有限。尽管如此，实验结果显然不支持 亥姆霍兹"最大粗糙感对应的频率差与频率无关"的观点。他提出的30--40赫兹数值，仅与500--1000赫兹频率范围的数据点吻合；数据整体趋势表明，最大粗糙感/不协和感对应的音程宽度随频率升高而增大。图中实线为临界带宽的25% ，数据来自茨维克尔、弗洛托普与史蒂文斯的研究38，该曲线基于多项掩蔽、响度及人耳相位敏感性实验结果。图表表明，相较于亥姆霍兹的恒定频率差假说，与临界带宽成比例的频率差更符合实验数据。

协和音程的最小频率差也呈现类似规律。图9中，竖线代表图1--图7曲线达到峰值的音程宽度；由于部分曲线的峰值无法精准确定，故用竖线而非点标注。图中同时呈现其他相关研究数据：空心点为克罗斯与古德温测得的可听拍频上限37；十字为梅耶研究得出的最小协和音程39。数据间存在清晰关联，证实协和性与无快速拍频密切相关，与亥姆霍兹理论一致。但同样，协和峰值并非与音程平均频率无关，临界带宽曲线拟合效果更佳，尤其符合本文实验数据。

图8 两个纯音最大不协和对应的频率差，以音的平均频率为横坐标。实线为茨维克尔、弗洛托普与史蒂文斯提出的0.25倍临界带宽38。

图9 两个纯音最小协和音程的频率差，以音的平均频率为横坐标。实线代表临界带宽。

综上，亥姆霍兹"不协和程度由快速拍频的粗糙感决定"的理论可保留，但需修正：音程的最小/最大粗糙感并非与音程平均频率无关。更合理的假说为：二者与临界带宽 相关，经验法则为：最大音调不协和 对应音程宽度为临界带宽的25%，最大音调协和对应音程宽度为临界带宽的100%。所有临界带宽实验均表明，临界带宽是纯音发生协同作用的频率差上限。因此，仅当音的频率间距不超过临界带宽时才出现粗糙感，这一现象并不意外。

三、复合音音程的协和性

本节利用前一节的实验数据，不仅解释复合音条件下协和性为何与简单频率比相关，还阐释协和音程的其他若干已知特性。

如图3--图7所示，以对数频率为横坐标的曲线形状大致相同，意味着所有曲线均可替换为同一条标准曲线：协和性评分以临界带宽为单位，随音程宽度变化。该标准曲线如图10所示，通过将所有平均频率的数据点以临界带宽为单位绘制于同一图中，并拟合最优曲线得到。频率差较小时，曲线基于图1、图2延伸。经线性转换，评价量表替换为"协和性"量表，1代表最高评价，0代表最低评价。

图10 两个纯音的协和性标准曲线，以临界带宽为单位的频率差为横坐标。曲线基于图1--图7数据点绘制。协和性与不协和性量表为任意设定。

利用图10曲线，可初步判断复合音协和性随基频频率差的变化规律。此时，协和性不仅取决于基音间距，还取决于谐波间距。

本文假设：此类音程的总不协和度等于每对相邻分音的不协和度之和，使用图10右侧刻度计算总不协和度。该假设意味着不协和度可叠加，尽管这一预设具有一定推测性，但作为初步近似合理，可用于阐释复合音音程的协和性如何随频率与频率比变化。

据此，计算出包含6个谐波的复合音对应的图11、图12曲线。图11展示协和性随音程宽度的变化规律，图12展示若干简单频率比音程的协和性随频率的变化规律。

图11、图12曲线可阐释音程的以下特性：

1. 组成音为简单频率比时，对应图11曲线的特殊拐点。本文仅纳入6个谐波，因此仅出现包含1--6整数的频率比峰值。若加入7、8次谐波，曲线将在4:7、5:7、6:7、5:8、7:8处出现额外峰值。由此可见，乐器发出的复合音，其协和性与简单频率比相关。

2. 更简单的频率比对应更尖锐的峰值，意味着八度、五度音程对准确频率比的偏差，比其他协和音程更敏感。这解释了十二平均律中（图11竖线），不纯三度比不纯八度、五度更易被接受。

3. 马尔姆伯格给出的协和音程排序32（见第一节（二））与图11峰值相对高度、图12曲线高度吻合。此外，图12表明四度与三度的协和程度差异极小。

4. 如图12所示，较大频率范围内，协和程度几乎与频率无关。但低于某一临界频率时，音程变得越来越不协和，原因是临界带宽曲线在约500赫兹处出现弯曲。更协和的音程对应的临界频率更低。这一规律反映了音乐实践：低频区避免使用三度，多采用八度或更宽音程。

5. 除100赫兹以下范围外，八度音程的不协和值为0（图12），意味着对于6个以内谐波，相邻谐波的所有频率差均超过临界带宽。但包含更高次谐波的复合音并不满足这一条件，这解释了为何含强高次谐波的复合音比仅含6个谐波的音更尖锐。亥姆霍兹早已强调这一事实40。

图11 低音为250赫兹的复合音、高音可变的复合音构成的音程，协和性随高音频率变化的示意图。两个复合音均包含6个谐波。竖线代表十二平均律音程宽度。

图12 若干简单频率比音程的协和性随低音频率变化的示意图。两个复合音均包含6个谐波。

四、音乐中和弦的统计分析

上一节表明，音程的若干特性可通过分音干涉解释。实验表明，这种干涉发生在频率差小于临界带宽的情况下。显然，临界带宽在同时发声的听觉感知中具有重要作用。

这一结论引出一个有趣问题：音乐中是否也存在与临界带宽相关的特性？作者对音乐作品和弦的初步分析5结果极具前景，因此开展更详细的研究。

分析的核心思路如下：作曲过程中，作曲家随时从可用音集中选择音。选择标准之一是创作符合其音乐意图的和弦序列，同时实现协和与不协和的交替变化。暂不考虑时间维度，仅关注垂直维度：和弦由同时发声的音构成。通过分析同时发声的音（含分音）的密度分布随频率的变化，可深入理解这一垂直维度。该方法为统计分析，不关注特定和弦的出现，仅关注不同音程的出现频率。

举例说明分析方法：假设研究以小字一组c（c2c^2c2=523.3赫兹）为低音的音程密度分布。首先仅考虑基音，从音乐作品中提取所有同时包含c2c^2c2与更高音的和弦，计算距离c2c^2c2最近的高音分别相差1半音（c2c^2c2或升c2c^2c2）、2半音（d2d^2d2）等的时长占这些和弦总时长的比例。图13为示例分布（实线），累积分布（由密度分布计算不超过1半音、2半音等音程的时长比例）也一并呈现（点虚线）。

可重复该过程，依次纳入2次谐波、2+3次谐波等。一般而言，纳入nnn次谐波时，需提取包含c2c^2c2（作为基音或更低音的前nnn次谐波）的所有和弦，再计算c2c^2c2与最近更高音（同样可为基音或更低音的前nnn次谐波）的间距密度分布。图13绘制了n=6n=6n=6时的分布。如预期，n=6n=6n=6时累积分布的50%分位点对应的音程值小于n=1n=1n=1时的对应值。

表1给出包含c2c^2c2为第1至10次谐波的基音频率，最后一列标注十二平均律下这些谐波频率与c2c^2c2的偏差。众所周知，部分情况下这些频率与c2c^2c2存在小幅偏差，本文暂不考虑这些偏差。

表1 分别以c2c^2c2为第1、2、3......10次谐波的基音。最后一列标注十二平均律下这些谐波频率与c2c^2c2的偏差。

为方便计算不同基频、不同谐波数量下的音程分布，研发了专用设备，包括：（1）将键盘依次弹奏的和弦音符与时长转换为8比特纸带穿孔代码的装置；（2）读取纸带并计算音程分布（基频与nnn可调）的装置。

据此分析两部音乐作品：J. S. 巴赫c小调第三管风琴三重奏鸣曲末乐章、A. 德沃夏克降E大调第51号弦乐四重奏第三乐章（浪漫曲）。两种情况下，均以C=65.4C=65.4C=65.4赫兹、G=98.0G=98.0G=98.0赫兹、c=130.8c=130.8c=130.8赫兹、g=196g=196g=196赫兹、c1=261.6c^1=261.6c1=261.6赫兹、g1=392g^1=392g1=392赫兹等为基频，纳入1至10次谐波（n=1,2,3,...,10n=1,2,3,\dots,10n=1,2,3,...,10）计算音程分布。对每个分布，计算25%、50%、75%时长内不超过的音程宽度（先以半音为单位，再转换为赫兹）。

图14、图15以频率为横坐标、nnn为参数（实线）呈现结果；n=10n=10n=10数据与n=9n=9n=9高度相似，故省略。虚线为茨维克尔、弗洛托普与史蒂文斯提出的临界带宽38（以低频截止频率为横坐标）及其四分之一（对应最大不协和，见图10）。每个频率下，所有和弦的总时长以作品中最短音符的时长为单位标注。

图13 c2c^2c2=523.3赫兹处，n=1n=1n=1（实线）与n=6n=6n=6（虚线）的音程分布示例。其余曲线为n=1n=1n=1（点虚线）与n=6n=6n=6（点）的累积分布。音程分布计算自J. S. 巴赫c小调第三管风琴三重奏鸣曲末乐章。

理解曲线意义的关键是观察其随谐波数量的变化趋势，以图14为例：仅纳入基音时，多数音程超过临界带宽，低频区尤为明显图14(a)。显然，组成音频率比相同的音程，随频率变化对应斜率为45°的直线。由于八度音程的频率差等于低音频率，可见图14(a)低频区几乎所有音程均超过八度。这意味着，纳入2次谐波后，这些音程缩减为八度，形成经过f=100f=100f=100赫兹、Δf=100\Delta f=100Δf=100赫兹点的45°直线图14(b)。但高于小字组c（130.8赫兹）时，多数音程小于八度。n=2n=2n=2意味着所有基音均伴随八度音，因此图14(b)曲线延伸至更高频率。纳入3次谐波的影响如下：（1）低频区数据点不偏移，因为新增音频率均高于该范围；（2）中频区音密度增加，曲线向更小频率差偏移；（3）曲线相比n=2n=2n=2向50%更高频率延伸；（4）高频区多数音程为五度，对应作品最高基音的2次与3次谐波间距，该音程决定高频区曲线走势。

每次增加谐波，上述过程重复，结果为：随nnn增大（1）无新增音的频率下限向高频移动；如n=2n=2n=2时下限约为130.8赫兹，n=9n=9n=9时约为523.5赫兹；（2）高于该下限的频率区，曲线向更小频率差偏移；（3）曲线进一步向高频延伸；（4）高频区曲线主要由(n−1):n(n-1):n(n−1):n音程决定。

图15曲线随谐波数量的趋势与图14一致，但本例中基音间的音程宽度远小于前者。仅C1=65.4C_1=65.4C1=65.4赫兹时音程超过八度，对比图(a)、(b)即可见。因此，n>1n>1n>1时图15曲线对应的音程宽度小于图14。

图14 J. S. 巴赫c小调第三管风琴三重奏鸣曲末乐章和弦的统计分析结果，以谐波数量nnn为参数。实线为相邻分音的音程宽度（赫兹）随频率变化，分别为25%、50%、75%时长内不超过的值，计算自图13类曲线。虚线为临界带宽及其四分之一。

图15 A. 德沃夏克降E大调第51号弦乐四重奏第三乐章（浪漫曲）和弦的统计分析结果。曲线含义同图14。

完成上述总体分析后，可对比曲线与临界带宽曲线的位置。可见，随nnn增大，音程曲线形状与虚线曲线愈发吻合。两图中，nnn约为8时吻合度最高。

结果有力表明，临界带宽在音乐中具有重要作用。这一事实的意义可解释如下：如第二节所述，频率差超过临界带宽的纯音音程被判定为协和，且协和程度无差异；而频率差更小时，协和性评价高度依赖音程宽度，约四分之一临界带宽处达到最小（最不协和）。因此，该区间被用于"调制"协和与不协和和弦，并不意外。但令人惊讶的是，当纳入的谐波数量符合乐器实际发声特征时，这种调制在宽频率范围内效果基本一致。

需认识到，这种在明显协和与明显不协和纯音音程边界区的均匀"切入"（图中上下虚线分别对应），是多重因素共同作用的结果，主要因素包括：

1. 西方音乐发展的音阶中，大量音程符合简单频率比，因此和弦中不同组成音的谐波可重合；否则，图14、图15实线曲线会因和弦更不协和而更平缓。

2. 音的分音频率为基频整数倍。偏离该规则会产生与（1）相同的效果，这可视为含非谐波分音的乐器不用于演奏和弦的原因之一（存在其他原因）。

3. 作曲家随频率选择音程的方式。前文已述，巴赫作品中低频区基音频率比大于高频区，对比图12可知，该方式避免了极不协和和弦。德沃夏克弦乐四重奏中该趋势较弱图15(a)中频率比相同的音程对应斜率45°直线。

4. 和弦中的音数量。通常，音数量增加，相邻分音的平均间距减小。图15实线曲线对应频率差小于图14，主要归因于该因素与因素3。

5. 基音选择的频率范围及范围内分布。所有频率乘以某一系数，曲线会同步水平、垂直移动，低频区对虚线曲线的影响远大于高频区。

6. 演奏乐器产生的谐波数量。本文仅研究该因素的影响，结果表明，典型谐波改变音程分布的频率范围随nnn增大向高频移动，意味着谐波数量并非关键因素。多数乐器的强谐波数量约为6至10个，10个谐波的音色尖锐，更适合独奏段落。

仅列举因素无法说明其相对重要性。因此，探究各因素对曲线水平与倾斜段位置的影响程度、曲线位置随音乐风格与演奏乐器的变化规律，具有重要意义。后续研究将解答这些问题。

五、结论

纯音音程评价实验与音乐作品和弦统计分析的结果，均支持亥姆霍兹的解释：频率比为小整数的音程具有独特性，源于相邻分音干涉产生的粗糙感。研究表明，纯音音程的协和--不协和过渡区间随频率变化，且与临界带宽相关。频率差超过临界带宽时音程协和，约四分之一临界带宽时音程最不协和。

致谢

作者感谢A. M. 明彭协助实验，感谢J. M. 席珀与E. 阿格休伊斯研发音程分布计算设备。

本研究由荷兰纯科学研究组织（ZWO）资助。

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参考文献

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3 Ref. 1, Chap. 8.

4 Ref.1, Chap. 10.

5 A preliminary report of it was read at the Fourth International Congress on Acoustics, Copenhagen, 1962: R. Plomp and W. J. M. Levelt, "Musical Consonance and Critical Bandwidth," Paper P55 in Proceedings of the Fourth International Congress on Acoustics, 1962, Copenhagen (Organization Committee of the 4th ICA and Harlang & Toksvig, Copenhagen, 1963).

6 In this survey, only explanations related to hearing theory are included.

7 A thoroughgoing study of this discovery is given by C. Truesdell, The Rational Mechanics of Flexible or Elastic Bodies, 1638--1788, Leonhardi Euleri Opera Omnia Ser. IX, 11, Ft. 2 (Verlag O. Fussli, Zürich, 1960), Pt. 1.

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23 C. Stumpf, "Konsonanz und Dissonanz," Beitr. Akust. Musikwiss. 1, 1-108 (1898).

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25 C. Stumpf, Die Sprachlaute (Verlag J. Springer, Berlin, 1926), p. 28.

26 This may be illustrated by S. S. Stevens and H. Davis, Hearing (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1938). Though E. G. Boring in his "Perspective" at the beginning of the book refers to the work of H. von Helmholtz and closes with the words, "Certainly we are ready now for a new Lehre von den Tonempfindungen to orient us among the complexities of the new physiological acoustics which is now so successfully answering questions which Helmholtz posed," this book spends only one paragraph to the phenomenon of consonance, merely mentioning von Helmholtz's explanation without comments.

27 N. Cazden, "Musical Consonance and Dissonance: A Cultural Criterion," J. Aesthet. 4, 3-11 (1945).

28 R. W. Lundin, "Toward a Cultural Theory of Consonance," J. Psychol. 23, 45-49 (1947).

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40 Ref. 1, Chap. 5.