C++（二分答案）

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二分答案的原理
二分答案的应用场景
二分答案实例

常用操作系统简介(三)

Android:一种基于Linux内核的自由及开放源代码的移动操作系统。主要用于智能手机和平板

电脑等移动设备。

ios:由苹果公司开发的操作系统,用于iPhone和iPad等设备,具有流畅的用户体验和丰富的应用生态。

这些操作系统在功能上各有特色,Windows和Mac OS提供了丰富的用户界面和广泛的应用支持,UNIX、Linux以其强大的系统管理和可移植性著称,而Android和iOS则在移动设备市场中占据主导地位。

二分答案的概念

● 二分答案也是二分法的一种应用

● 二分答案的思路不是直接得到答案,而是反复的验证某个答案是

否符合要求,从而不断缩小答案可能的范围,直到把这个范围缩

小到1,即可得到答案

● 大多数情况下用于求解满足某种条件的最大(小)值

二分答案的应用场景

二分答案法适合解决满足以下特点的问题

问题的目标是:给定条件c(x),求满足条件c(x)的x的最小值(或最大值)
比较容易确定x的粗略的取值范围
在这个范围内存在一个临界点x=ans,把区域分成满足条件和不满足条件两个区间。

①<ans的x值都不满足条件c(x),>=ans的x值都满足条件

不满足条件 ---ans---满足条件----------->ans是"大值中的最小值"

② <= ans的x值都满足条件C(x),>ans的x值都不满足条件C(x)、

满足条件---ans---不满足条件-------->ans是"小值中的最大值"

ans 就是要找的答案!

二分答案的优势

● 如果一个问题有上面的特点,就适合用二分答案法

● 二分答案法因为其二分特性,比顺序查找(暴力枚举)法更高效

● 二分答案法更适合查找范围比较大,并且对运行时间有要求的竞赛题

● 如果只求正确性,不要求效率,同类问题一般也可以用暴力枚举、模拟法求解

卡车装货

现在有n组货物需要通过卡车运送,每组货物的量可以用一个整数ai表示。我们用数组a= $a1,a2,...,an$ 表示n组货物的量。每辆卡车的运载量为一个固定的整数k。运送货物时,一组货可以被分到多量卡车上进行运送,但是,不同组的货不能混装到同一辆卡车上。问题为:如果想要同时运送所有的n组货物,至少需要多少辆卡车?

有两组货物,货物量为7和5。卡车的运送量k为3。

用一段黑色线段表示一辆卡车。

那么,两组货物一共需要3+2=5辆卡车。

· 货物量为ai的组至少需要ceil(ai/k)辆卡车来运输

· 所以需要卡车总数是sum(ceil(ai/k))

卡车装货-进阶

现在有n组货物需要通过卡车运送,每组货物的量可以用一个整数ai表示。我们用数组a= $a1,a2,...,an$ 表示n组货物的量。一组货可以被分到多辆卡车上进行运送,但是,不同组的货不能混装到同一辆卡车上。现在我们希望所有的货物可以用至多m辆卡车来运送。问:当卡车的运载量最少为多少时可以满足这一要求?(输入数据保证问题一定有解)。

专

暴力枚举也可以解这个问题,但是效率不高,优先考虑用二分答案法!

问题从"已知卡车运载量求卡车数量"变为"已知n组货物和卡车数量m,求满足条件的最小的卡车运载量?"

要满足的条件是:m辆卡车能按题目的规则装下指定的n组货物

假设在运载量为ans的时候,刚好用m辆车完成运送,那么

· 当运载量变为更大时,我们依旧可以采用上述方案来运输,相

当于把每辆车多出来的运载量闲置不用。

· 反之运载量变为更小时,一定是不能完成任务的。

条件验证函数c(x)代码示例:卡车载货量x的情况下,m辆卡车如果能装完a\[\]指定的货,则返回true,否则返回false。

cpp 复制代码

bool C(int x) {//假设数组a[]和变量n、m都是全局变量
	int cnt = 0;
	// 计算装完n组货至少需要多少量卡车
	for(int i=1;i <= n; i++)
		cnt +=(a[i]+x-1)/x;//正整数相除的向上取整的技巧
	if(cnt>m)//需要的卡车数量>m,即m辆车装不下
		return false;//ceil((a[i]*1.0)/x)或者先转浮点
	else
		return true;
}
	c(x)的时间复杂度为O(n)

二分查找函数的代码示例:在min~max中二分查找使C(x)成立的最小值

cpp 复制代码

int find(int min, int max) {
	int left = min, right =max;// 初始查找范围
	int ans;
	while (left <= right) {
	int mid =(left + right)/2;// 中间数的位置
	if(C(mid)){ //条件成立,答案在左半区间
		right = mid - 1;
		ans = mid;// 记录可能的答案
	}
	else	// 条件不成立,答案在右边区间
		left = mid + 1;
	
	// 最终答案在ans中----找到的是满足条件的最小值
	return ans;
	
	find函数的时间复杂度为O(nlogM)M是初始范围[min,max]的大小

用暴力枚举法也可以求出这个最小值但是时间复杂度是O(nM)

二分答案的解题步骤(求最小值)

使用二分答案法来求解最小值的具体过程为:

定义条件验证函数c(x)
粗略的确定x的取值范围,保证答案一定落在这个范围内。
进行二分查找:假设范围 $L,R$ 的中间值是mid
①我们验证mid是否满足条件,即c(mid)的真假,更新答案和边界:
如果c(mid)=true,说明mid>=答案,这种情况先记录mid作为备选答案ans,同时更新边界:R=mid-1。
如果c(mid)=false,说明m<答案,这种情况只要更新边界:L=mid+1。
② 不断重复第1步来缩小范围,直到L>R。
此时,ans就是我们需要寻找的最小值。

如果用二分答案法求最大值,要以相反的方式更新边界

二分答案模版代码

● 我们经常判断不好边界条件,导致实现二分算法耗时太长

● 分情况来模板化代码,有利于我们长期记忆和加深理解

● 记住模板、熟练套用模块后,find()函数背模板代码就可以,只需要写出正确

的Check函数

◆二分查找函数的模板代码有多种正确的写法,本课程提供的是其中之一

◆ Check函数则需要根据题目的描述具体实现,基本没有模式可循

二分查拌 v5 二分答案

二分查找和二分答案都利用了二分的思想,但它们在应用场景和实现方式上有所不同

● 应用范围:

二分查找:主要用于在有序数组中查找目标值。

二分答案:用于找到一个满足特定条件的最优值,如"最小的最大值"或"最大的最小值"问题。

实现细节:

二分查找:通过比较数组中的中间元素和目标值来确定搜索范围的缩小方向。

二分答案:通过设计一个验证函数,来检查当前的中点值是否满足问题的条件,然后根据验证结果来调整搜索范围。

伐木问题

n棵树(n≤10^{6)高度分别为a1...an(树高不超过10}9),对于一个砍树高度h,可以锯下并收集到每棵树上比h高的部分的木材。求最大的整数砍树高度h,使得能够收集到木材总长度至少为m米。所有木材长度之和大于m,因此必有解。

【输入】

第1行:2个整数n和m,n表示树木的数量,m表示需要的木材总长度。

第2行:n个整数表示每棵树的高度。

【输出】1个整数,表示砍树的最高高度。

【输入样例】

5 20

4 42 40 26 46

【输出样例】

理解

题目中的条件:"最大的整数砍树高度h,使得能够收集到木材总长度至少为m米"可定义c(h):砍树高度为h时,从n棵数砍下的总木材长度=sum(ai-h),如果>=m,返回true,否则false。

· 最小的高度--------h=0------------sum(ai)-----------所有木材长度之和大于m(满足条件)

·最大的高度--------h=max(ai)------------0-----------一定不满足条件

可见,h越小越容易满足总木材长度>=m。且存在某一个临界点ans,把区间二分成满足和不满足左右两部分。

这是一个"求小值中的最大值"的问题

使得C(h)=True的最大值就是答案,适合用二分答案法解题!

使用二分答案法来求解最大值的具体过程为:

定义条件验证函数c(x)
粗略的确定x的取值范围,保证答案ans一定落在这个范围内。
进行二分查找:假设范围 $L,R$ 的中间值是mid
①我们验证mid是否满足条件,即c(mid)的真假,更新答案和边界:
如果C(mid)=true,说明mid>=答案,这种情况先记录mid作为备选答案ans,同时更
新边界:L=mid+1。
如果c(mid)=false,说明m<答案,这种情况只要更新边界:R=mid-1。
② 不断重复第1步来缩小范围,直到L>R。
此时,ans就是我们需要寻找的最大值。

条件函数Check(h)代码示例:

· 树的高度在数组a\[\]中,且a\[\]和变量n、m都是全局变量

cpp 复制代码

bool Check (int h) {
	long long tot = 0;
	for (int i= 1; i <= n; i++)
		if (a[i] > h)
			tot +=a[i] -h;//按照题意模拟。
	return tot >= m;
}

Check(h)的时间复杂度为O(n)

二分查找函数代码示例:在 $min,max$ 间二分查找使Check(h)成立的最大值

cpp 复制代码

int find(int min, int max) {
	int left = min, right = max;// 初始查找范围
	int ans;
	while (left <= right) {
		int mid = (left + right) / 2;
		if(Check(mid)){ // 条件成立,答案在右半区间
			left = mid + 1;
			ans = mid;// 记录可能的答案
		}
		else// 条件不成立,答案在左半区间
			right = mid - 1;
	}
	// 最终答案在ans中
	return ans;
}
find函数的时间复杂度为O(nlogM)
M是初始范围[min,max]的大小

完整代码

cpp 复制代码

#include <iostream>
using namespace std;
int a[100010];//树的高度数组
int n,m;

// 条件函数Check(h)当砍树高度为h时能否得到大于m的木材
bool Check (int h) {
	long long tot = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (a[i] > h)
			tot += a[i]-h;//按照题意模拟。
	return tot >= m;
}
//在[min,max]之间二分查找使 Check()成立的答案(最大值)
int find(int min, int max) {
	int left = min, right = max; // MATt1U21
	int ans;
	while (left <= right) {
		int mid = (left + right) / 2;
		if (Check(mid)){ //条件成立,答案在右半区间
			left = mid + 1;
			ans=mid;//记录可能的答案
		}
		else{// 条件不成立,答案在左半区间
			right = mid - 1;
		}
	}	
	// 最终答案在ans中
	return ans;
}	
int main() {
	int max = 0;
	cin >> n >> m;
	for(int i=1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i] ;
		if (a[i] > max)
			max= a[i];//找到最高的树的高度
	}
	cout << find(0,max);
	return 0;
}

愤怒的奶牛

Farmer John建造了一个有N(2 <= N <= 100,000)个隔间的牛棚,这些隔间分布在一条直

线上,坐标是x1,...,xN(0 <= xi <= 1,000,000,000)。

他的C(2 <= C <= N)头牛不满于隔间的位置分布,它们为牛棚里其他的牛的存在而愤怒。

为了防止牛之间的互相打斗,Farmer John想把这些牛安置在指定的隔间,所有牛中相

邻两头的最近距离越大越好。那么,这个最大的最近距离是多少呢?

【输入】第1行:两个用空格隔开的数字N和C。

第2行:N个整数,表示每个隔间的坐标。

【输出】输出只有一行,即相邻两头牛最大的最近距离。

【输入样例】

5 3

1 2 8 4 9

【输出样例】3

cpp 复制代码

二分查找函数代码示例:在[min,max]间二分查找使Check(x)成立的最大值

int find(int min, int max) {
	int left = min, right =max;// 初始查找范围
	int ans;
	while (left <= right) {
		int mid =(left + right)/2;//中间数的位置
		if(Check(mid)){ // 条件成立,答案在右半区间
			left = mid + 1;
			ans = mid;// 记录可能的答案
		}
	else// 条件不成立,答案在左半区间
		right = mid - 1;
	}
	//最终答案在ans中
	return ans;
}	
find函数的时间复杂度为O(nlogM)
M是初始范围[min,max]的大小

条件是:"把c头牛全部安置进N个隔间,而且相邻两头牛距离>=x"

如何定义和实现条件判断函数Check()?

可以大致感受到一种贪心算法:从最左端开始遍历所有安置点,能安置就安置。

容易证明,在本题中,安置一定比不安置更优,贪心正确。

定义Check(x):

如果能在n个隔间放下c头牛,并且相邻牛的距离总是>=x,则返回true,否则返回false。

具体实现步骤:

遍历所有隔间:如果当前隔间与上一头牛所在隔间距离>=x,则安置一头牛,已安置计数+1。
判断已安置计数>=C,返回true,否则返回false。

【注意】这个算法的前提是所有隔间已经按位置排序

cpp 复制代码

条件函数Check(x)代码示例:
· 假设a[]和变量n、c都是全局变量,且a[]数组数据已经按升序排序

bool Check (int x) {
	// k:已安置数量;last:记录上一头牛的安置坐标
	int k=1, last =a[1];//第1头牛总是可以安置的
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		if (a[i]- last >= x){// 与上一头牛间隔>=x,能安置
			last = a[i];//安置一头,更新last
			k++;// 安置数量+1
		}
	return k >= c;
}
时间复杂度O(n)

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[100010];// 隔间坐标数组
int n,c;

// 条件函数Check(x)最近距离是x时能否在n个隔间放下c头牛
bool Check (int x) {
	//k:已安置数量;last:记录上一头牛的安置坐标
	int k=1, last=a[1];//第1头牛总是可以安置的
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		if (a[i] - last >= x){//与上一头牛间隔>=x,能安置
			last =a[i];//安置一头,更新last
			k++:// 安置数量+1
		}
	return k >= c;
}
//在[min,max]之间二分查找使Check()成立的最大值
int find(int min, int max) {
	int left = min, right =max;// 初始查找范围
	int ans;
	while (left <= right) {
		int mid = (left + right) / 2;
		if (Check(mid)){//条件成立,答案在右半区间
			left = mid + 1;
			ans = mid;// 记录可能的答案
		}
		else{// 条件不成立,答案在左半区问
			right = mid -1;
		}
	}
	// 最终答案在ans中
	return ans;
}
int main() {
	cin >> n >> c;
	for(int i=1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i] ;
	}
	// 先排序(升序)
	sort (a+1,a+n+1) ;
	cout << find(0,a[n]) ;
	return 0;
}

【注意】

· 由于输入的隔间位置不保证有序,所有在进行二分查找前需要先对数组进行排序

· 使用sort函数需要包含头文件

· 排序后最大的a元素排最后,可以作为查找的右边界

本次课程的知识点

二分答案的原理、应用场景
卡车装货演示如何用二分答案求解最小值
二分答案的两种场景的模板:找最小值、最大值
二分答案编程练习:伐木问题(找最大值)、愤怒的奶牛

1、下列软件中是操作系统的是(c )?

A、高德地图

B、腾讯会议

C、纯血鸿蒙

D、金山永中

2、下面C++代码执行后输出是()?

cpp 复制代码

int N=0,i;
for (i = 1; i < 10; i++)
	N += 1;
cout << (N + i);

A, 54

B. 20

C.19

D. 18

礼盒的最大甜蜜度

商店有n种糖果,每种糖果的价格分别为ai(其中i=1,2,...,n),(2 <= n <= 100,000)。

商店需要组合k类不同糖果打包成礼盒出售。礼盒的甜蜜度是礼盒中任意两种糖果价格绝

对差的最小值。问题:求满足打包要求的礼盒的最大甜蜜度。

【输入】第1行:两个用空格隔开的数字n和k。

第2行:n个整数,表示每种糖果的价格。

【输出】输出只有一行,即满足打包要求的礼盒的最大甜蜜度。

【输入样例】

6 3

13 5 1 8 21 2

【输出样例】

思路:这是二分答案找最大值的问题!

· 定义check()函数检查在最大甜蜜度为x的情况下,是否可以找到k类不同糖果,使得两两价格绝对差的最小值大于等于x;

· 为了方便计算价格差,需要先对糖果按价格排序;

· 最大甜蜜度x的范围:最小0,最大可以取最贵的糖果的价格。

cpp 复制代码

#include <iostream>
finclude <algorithm>
using namespace std;
int a [100010] ;
int n,k;

// check()函数检查在最大甜宝度为x的情况下,是否可以找到k类不同糖果,
// 使得两两价格绝对差最小值大于等于x
// 需要先对价格排序
bool Check(int x) {
	int first = a[1]; //4)-FPRF
	int cnt = 1;
	for (int i=2; i <= n; i++)
	//价格差满足>=x,可以作为第二种糖打包
		if (a[i] >= first + x) {
			cnt += 1;
			first = a[i] ;
		}
	return cnt > k;
}
//在[min,max]之间二分查找使 Check()成立的答案(最大值)
int find(int min,int max) {
	int left = min, right = max; // MAT
	int ans;
	while (left <= right) {
		int mid = (left + right) / 2;
		if (Check(mid)){ //条件成立,答案在右半区问
			left = mid + 1;
			ans=mid;//记录可能的答案
		}
		else{// 条件不成立,答案在左半区问
			right = mid -1;
		}
	}
		// 最终答案在ans中
	return ans;
}		
int main() {
	cin >> n >> k;
	for(int i=l; i <= n; i++) {
		cin >> a[i] ;
	}
	// 先排序(升序)
	sort (a+1,a+n+1) ;
	// 二分查找 0~max(a)
	cout << find (0,a[n]) ;
	return 0;
}

【注意】二分查找前需要先对价格排序

C++（二分答案）

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常用操作系统简介(三)

二分答案的概念

二分答案法适合解决满足以下特点的问题

二分答案的优势

卡车装货

卡车装货-进阶

二分答案的解题步骤(求最小值)

二分答案模版代码

二分查拌 v5 二分答案

伐木问题

理解

条件函数Check(h)代码示例:

二分查找函数代码示例:在min,max间二分查找使Check(h)成立的最大值

完整代码

愤怒的奶牛

本次课程的知识点

礼盒的最大甜蜜度

思路:这是二分答案找最大值的问题!

二分查找函数代码示例:在 $min,max$ 间二分查找使Check(h)成立的最大值