BM65 最长公共子序列（二）

题目描述

给定两个字符串 str1 和 str2，输出两个字符串的最长公共子序列。

如果最长公共子序列为空，则返回：

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"-1"

题目保证：

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目前给出的数据，仅存在一个最长公共子序列

数据范围

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0 ≤ |str1|, |str2| ≤ 2000

要求：

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时间复杂度：O(n²)
空间复杂度：O(n²)

示例

示例 1

输入：

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"1A2C3D4B56","B1D23A456A"

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"123456"

示例 2

输入：

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"abc","def"

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"-1"

示例 3

输入：

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"abc","abc"

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"abc"

示例 4

输入：

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"ab",""

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"-1"

解题思路

本题是经典的 最长公共子序列 LCS 问题。

注意：

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子序列：可以不连续，但相对顺序不能改变
子串：必须连续

例如：

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str1 = "abcde"
str2 = "ace"

"ace" 是公共子序列，但不是公共子串。

1. 定义 dp 数组

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dp[i][j]

表示：

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str1 前 i 个字符
和
str2 前 j 个字符
的最长公共子序列长度

例如：

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dp[3][2]

表示：

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str1 前 3 个字符
和
str2 前 2 个字符
的最长公共子序列长度

2. 为什么 dp 要多一行一列？

创建：

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dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]

原因是要表示空字符串：

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dp[0][j]：str1 是空串
dp[i][0]：str2 是空串

空串和任何字符串的最长公共子序列长度都是 0。

3. 状态转移

情况 1：当前字符相等

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if str1[i - 1] == str2[j - 1]:

说明这个字符可以加入公共子序列。

所以：

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dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1

原因：

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当前两个字符已经匹配成功
所以两个字符串都要往前退一位

情况 2：当前字符不相等

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else:

说明这两个字符不能同时作为公共子序列的一部分。

只能选择：

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不要 str1 当前字符
或者
不要 str2 当前字符

所以：

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dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

4. 为什么还要倒推？

前面的 dp 表只保存了：

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最长公共子序列的长度

但题目要求返回：

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具体的最长公共子序列字符串

所以需要从 dp[n][m] 开始倒推。

倒推规则：

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如果 str1[i - 1] == str2[j - 1]
说明这个字符属于答案，加入 res，然后 i--、j--

如果不相等
看 dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1] 谁更大
往更大的方向走

因为是从后往前找，所以最后需要反转：

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res[::-1]

Python 代码

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class Solution:
    def LCS(self, s1: str, s2: str) -> str:
        n: int = len(s1)
        m: int = len(s2)

        # dp[i][j] 表示：
        # s1 前 i 个字符 和 s2 前 j 个字符 的最长公共子序列长度
        dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]

        # 1. 填 dp 表
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, m + 1):
                if s1[i - 1] == s2[j - 1]:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

        # 没有公共子序列
        if dp[n][m] == 0:
            return "-1"

        # 2. 从右下角倒推出具体字符串
        res = []
        i = n
        j = m

        while i > 0 and j > 0:
            if s1[i - 1] == s2[j - 1]:
                res.append(s1[i - 1])
                i -= 1
                j -= 1
            else:
                if dp[i - 1][j] >= dp[i][j - 1]:
                    i -= 1
                else:
                    j -= 1

        # 因为倒推得到的是倒序，所以要反转
        return ''.join(res[::-1])

复杂度分析

设：

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n = len(s1)
m = len(s2)

时间复杂度

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O(n × m)

原因：

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需要遍历整个 dp 二维表

空间复杂度

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O(n × m)

原因：

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需要保存 dp 二维数组

核心

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if s1[i - 1] == s2[j - 1]:
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
else:
    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

最终：

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前面双重 for：求最长公共子序列长度
后面 while：倒推出最长公共子序列字符串