《LeetCode 300 最长递增子序列记忆化搜索DFS解法》

一.题目

300. 最长递增子序列 - 力扣（LeetCode）

二.思路讲解

2.1 思路讲解

本题要求最长递增子序列的长度，可以采用递归 + 记忆化搜索的经典方式。

递归定义 ：设 dfs(pos) 表示从下标 pos 开始（必须包含 nums[pos]）的最长递增子序列的长度。那么它等于 1（自身）加上所有满足 nums[i] > nums[pos] 的位置 i 中 dfs(i) 的最大值。
递归基 ：对于最后一个元素，dfs(pos) = 1。
记忆化优化 ：直接递归会导致大量重复计算，因此引入一个备忘录数组 memo，在计算 dfs(pos) 前先查表，若已计算则直接返回，否则递归计算后存入备忘录。
最终答案 ：遍历所有位置作为起点，取 dfs(pos) 的最大值。

三.代码演示

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) 
    {
        vector<int> memo(nums.size());
        int ret = 0;
        for(int i = 0;i < nums.size();i++)
        {
            ret = max(ret,dfs(nums,i,memo));
        }
        return ret;
    }
    int dfs(vector<int>& nums,int pos,vector<int>& memo)
    {
        if(memo[pos] != 0)
            return memo[pos];
        int ret = 1;//算上自己
        for(int i = pos + 1;i < nums.size();i++)
        {
            //后者严格大于前者
            if(nums[i] > nums[pos])
            {
                ret = max(ret,dfs(nums,i,memo) + 1);
            }
        }
        memo[pos] = ret;//跑到尽头了
        return memo[pos];

    }
};

四.代码讲解

一、备忘录设计

为了消除重复计算，我们使用一个一维数组 memo，其长度与 nums 相同，memo[pos] 表示以 nums[pos] 作为子序列起点（必须包含该元素）的最长严格递增子序列的长度。初始值均为 0，表示尚未计算。

二、主函数 `lengthOfLIS`

创建一个大小为 nums.size() 的 memo 数组，并初始化为 0。
遍历所有可能的下标 i，计算以 nums[i] 开头的最长递增子序列长度 dfs(nums, i, memo)，并更新全局最大值 ret。
返回 ret。

三、递归函数 `dfs`

dfs(nums, pos, memo) 返回以 nums[pos] 开头的最长递增子序列的长度。执行流程如下：

1. 查备忘录

如果 memo[pos] != 0，说明该子问题已经计算过，直接返回存储的值。这是记忆化搜索的核心优化。

2. 初始化当前结果

将 ret 初始化为 1，因为子序列至少包含自身。

3. 向后枚举可能的后续元素

从 i = pos + 1 开始遍历到数组末尾，如果 nums[i] > nums[pos]，说明 i 可以接在 pos 之后构成更长的递增子序列。此时递归计算以 i 开头的子序列长度，即 dfs(nums, i, memo) + 1，并用 max 更新 ret。

4. 存入备忘录并返回

将计算得到的 ret 存入 memo[pos]，然后返回 ret。

四、关键细节

递归定义 ：dfs(pos) 必须包含 nums[pos]，因此递归基隐含在循环中：当 pos 为最后一个元素时，循环不执行，ret 保持为 1。
记忆化作用 ：每个下标 pos 只计算一次，之后直接查表返回，避免了大量重复递归。原本的暴力递归时间复杂度为 O(2^n) ，优化后降为 O(n²)。

《LeetCode 300 最长递增子序列 记忆化搜索DFS解法》