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还记得上次，我用"P3374 【模板】树状数组 1 题解"作为题目，而这次，我将用"树状数组总结"作为题目。不废话了，本文就是一个总结。
首先，我将对这几个题目进行总结：这个&这个
第一个这个：
第二个这个：
（排名不分先后）
那么首先，就是最典型的一个例题：P3374
因为上次讲过了，所以就不讲了，具体就看这个。
这次，先讲第二题：P3368
P3368
假设你看不见上面这行字（也看不见这行字）（看到的就点个赞）
那么，首先，题目就不发了，总结一下题意：
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
将某区间每一个数加上 x；
求出某一个数的值。
因此，我们可以先写出第一个操作：
cpp
if(op==1){
int x,y;
long long k;
cin>>x>>y>>k;
add(x,k);
add(y+1,-k);
}当然，很符合题意：
操作 1： 格式：
1 x y k含义：将区间 x,y 内每个数加上 k；
然后，我们再写第二个操作：（上一个操作貌似包含容斥原理的成分🤭）
cpp
else{
int x;
cin>>x;
cout<<query(x)<<"\n";
}当然，很符合题意：
操作 2： 格式：
2 x含义：输出第 x 个数的值。
其实输入也不能缺：
cpp
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>b;
add(i,b-a);
a=b;
}ok,就剩函数了：
cpp
void add(int x,int y){for(;x<=n;x+=(x&-x))c[x]+=y;}
int query(int x){int sum=0;for(;x;x-=(x&-x))sum+=c[x];return sum;}接下来，就没什么可讲的了。
全篇完（那是不可能的）
AC code：
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
long long c[500005];
void add(int x,int y){for(;x<=n;x+=(x&-x))c[x]+=y;}
int query(int x){int sum=0;for(;x;x-=(x&-x))sum+=c[x];return sum;}
int main(){
cin>>n>>m;
long long a=0,b;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>b;
add(i,b-a);
a=b;
}
while(m--){
int op;
cin>>op;
if(op==1){
int x,y;
long long k;
cin>>x>>y>>k;
add(x,k);
add(y+1,-k);
}
else{
int x;
cin>>x;
cout<<query(x)<<"\n";
}
}
return 0;
}接下来，我们来看一下：P1908
P1908
题意：
因此，依旧add和query：
cpp
void add(int x,int y){
for(;x<=n;x+=(x&-x))c[x]+=y;
}
int query(int x){
int sum=0;
for(;x;x-=(x&-x))sum+=c[x];
return sum;
}输入：
cpp
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
b[i]=a[i];
}离散化：
cpp
sort(b+1,b+n+1);
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i]=lower_bound(b+1,b+n+1,a[i])-b;
}统计求答案：
cpp
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
int tmp=0;
tmp=query(a[i]);
add(a[i],1);
ans+=i-1-tmp;
}
cout<<ans;然后，也没什么可讲的。
过：
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,a[500005],b[500005],c[500005];
void add(int x,int y){
for(;x<=n;x+=(x&-x))c[x]+=y;
}
int query(int x){
int sum=0;
for(;x;x-=(x&-x))sum+=c[x];
return sum;
}
signed main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
b[i]=a[i];
}
sort(b+1,b+n+1);
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i]=lower_bound(b+1,b+n+1,a[i])-b;
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
int tmp=0;
tmp=query(a[i]);
add(a[i],1);
ans+=i-1-tmp;
}
cout<<ans;
return 0;
}P1637
P1637:
首先：函数：
cpp
void add(int x,int y){for(;x<100005;x+=(x&-x))d[x]+=y;}
int query(int x){int sum=0;for(;x;x-=(x&-x))sum+=d[x];return sum;}主函数：
cpp
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
memset(d,0,sizeof(d));
for(int i=1;i<=n;i++){b[i]=query(a[i]-1);add(a[i],1);}// 计算 b [i]：a [i] 左边比它小的数字数量
memset(d,0,sizeof(d));
for(int i=n;i>=1;i--){c[i]=(n-i)-query(a[i]);add(a[i],1);}//计算 c [i]：a [i] 右边比它大的数字数量
long long ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)ans+=1LL*b[i]*c[i];//（累加答案）
cout<<ans;然后，没了。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[30005],b[30005],c[30005],d[100005];
int n;
void add(int x,int y){for(;x<100005;x+=(x&-x))d[x]+=y;}
int query(int x){int sum=0;for(;x;x-=(x&-x))sum+=d[x];return sum;}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
memset(d,0,sizeof(d));
for(int i=1;i<=n;i++){b[i]=query(a[i]-1);add(a[i],1);}
memset(d,0,sizeof(d));
for(int i=n;i>=1;i--){c[i]=(n-i)-query(a[i]);add(a[i],1);}
long long ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)ans+=1LL*b[i]*c[i];
cout<<ans;
return 0;
}P1531
P1531：
build：
void build(int o,int l,int r){
if(l==r){
tree[o]=a[l];
return;
}
int mid=(l+r)/2;
build(o*2,l,mid);
build(o*2+1,mid+1,r);
tree[o]=max(tree[o*2],tree[o*2+1]);
}功能
线段树建树，维护区间最大值。
逻辑
l==r叶子节点：存原数组a[l]；- 分左右子树递归建；
- 当前节点值 = 左、右子树最大值。
update：
void update(int o,int l,int r,int p,int k){
if(l==r){
tree[o]=max(tree[o],k);
return;
}
int mid=(l+r)/2;
if(p<=mid)update(o*2,l,mid,p,k);
else update(o*2+1,mid+1,r,p,k);
tree[o]=max(tree[o*2],tree[o*2+1]);
}作用
线段树单点更新，只有新值 k 比原成绩大时才修改（匹配题目 U 操作规则）
逻辑
l==r到达叶子节点，节点值取自身和 k 的较大值；- 算 mid，判断要修改的位置 p 在左 / 右子树，递归更新；
- 回溯后用左右子树最大值更新当前节点。
query：
int query(int o,int l,int r,int x,int y){
if(x<=l&&r<=y){
return tree[o];
}
int mid=(l+r)/2;
int ans=0;
if(x<=mid)ans=max(ans,query(o*2,l,mid,x,y));
if(y>mid)ans=max(ans,query(o*2+1,mid+1,r,x,y));
return ans;
}作用
线段树区间查询，求 \(x,y\) 区间最大值。
流程
- 当前区间 l,r 完全在查询范围 x,y 内，直接返回该节点最大值；
- 取中点 mid，分别递归查左、右子树；
- 把左右查到的结果取最大返回。
主函数：
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;++i){
cin>>a[i];
}
build(1,1,n);
char op;
int x,y;
while(m--){
cin>>op>>x>>y;
if(op=='U'){
update(1,1,n,x,y);
}else{
cout<<query(1,1,n,x,y)<<'\n';
}
}
return 0;
}- 读入学生数 n、操作数 m；
- 读入数组 a 1\~n，调用线段树建树 build；
- 循环 m 次处理操作：
U x y：单点更新 x 位置，只变大不缩小；Q x y：查询区间 x,y 最大值并输出；
然后，真的无了。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[200005];
int tree[20005*10*4];
void build(int o,int l,int r){
if(l==r){
tree[o]=a[l];
return;
}
int mid=(l+r)/2;
build(o*2,l,mid);
build(o*2+1,mid+1,r);
tree[o]=max(tree[o*2],tree[o*2+1]);
}
void update(int o,int l,int r,int p,int k){
if(l==r){
tree[o]=max(tree[o],k);
return;
}
int mid=(l+r)/2;
if(p<=mid)update(o*2,l,mid,p,k);
else update(o*2+1,mid+1,r,p,k);
tree[o]=max(tree[o*2],tree[o*2+1]);
}
int query(int o,int l,int r,int x,int y){
if(x<=l&&r<=y){
return tree[o];
}
int mid=(l+r)/2;
int ans=0;
if(x<=mid)ans=max(ans,query(o*2,l,mid,x,y));
if(y>mid)ans=max(ans,query(o*2+1,mid+1,r,x,y));
return ans;
}
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;++i){
cin>>a[i];
}
build(1,1,n);
char op;
int x,y;
while(m--){
cin>>op>>x>>y;
if(op=='U'){
update(1,1,n,x,y);
}else{
cout<<query(1,1,n,x,y)<<'\n';
}
}
return 0;
}这个博客，讲解了
- P3368
- P1908
- P1637
- P1531
最后，为了凑字数：