对数函数求导

对数函数的求导是微积分中的一个基础且重要的部分。根据对数的底数不同，求导公式也有所区别。最核心的是自然对数（以 eee 为底） 的求导。

以下是完整的对数求导指南：

自然对数（以 eee 为底，ln⁡x\ln xlnx）：
(ln⁡x)′=1x (\ln x)' = \frac{1}{x} (lnx)′=x1
(前提是 x>0x > 0x>0)
一般对数（以 aaa 为底，log⁡ax\log_a xlogax，其中 a>0a>0a>0 且 a≠1a \neq 1a=1）：
(log⁡ax)′=1xln⁡a (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} (logax)′=xlna1
(这个公式可以通过换底公式 log⁡ax=ln⁡xln⁡a\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}logax=lnalnx 结合常数倍求导法则直接推导出来)

在实际题目中，我们很少遇到单纯的 ln⁡x\ln xlnx，通常是 ln⁡(f(x))\ln(f(x))ln(f(x)) 的形式。这时候需要用到复合函数求导法则（链式法则）：

自然对数复合函数：
$ln(f(x))$ ′=1f(x)⋅f′(x)=f′(x)f(x) $\\ln(f(x))$ ' = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} $ln(f(x))$ ′=f(x)1⋅f′(x)=f(x)f′(x)
(口诀：里面函数的导数，除以里面函数本身)
一般对数复合函数：
$loga(f(x))$ ′=f′(x)f(x)ln⁡a $\\log_a(f(x))$ ' = \frac{f'(x)}{f(x) \ln a} $loga(f(x))$ ′=f(x)lnaf′(x)

示例 1：求 y=ln⁡(3x)y = \ln(3x)y=ln(3x) 的导数

设内层函数 u=3xu = 3xu=3x，则 u′=3u' = 3u′=3。
根据公式：y′=13x⋅3=33x=1xy' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x}y′=3x1⋅3=3x3=x1。
(注意：虽然 3x3x3x 在对数内必须有 3x>03x>03x>0 即 x>0x>0x>0，但求导结果依然是 1x\frac{1}{x}x1)
示例 2：求 y=ln⁡(x2+1)y = \ln(x^2 + 1)y=ln(x2+1) 的导数
内层函数 u=x2+1u = x^2 + 1u=x2+1，则 u′=2xu' = 2xu′=2x。
根据公式：y′=1x2+1⋅(2x)=2xx2+1y' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = \frac{2x}{x^2 + 1}y′=x2+11⋅(2x)=x2+12x。
示例 3：求 y=log⁡2(sin⁡x)y = \log_2(\sin x)y=log2(sinx) 的导数
内层函数 u=sin⁡xu = \sin xu=sinx，则 u′=cos⁡xu' = \cos xu′=cosx。
根据一般对数复合公式：y′=cos⁡xsin⁡x⋅ln⁡2=cot⁡xln⁡2y' = \frac{\cos x}{\sin x \cdot \ln 2} = \frac{\cot x}{\ln 2}y′=sinx⋅ln2cosx=ln2cotx。

当遇到底数和指数都含有变量 的函数（如 y=xxy = x^xy=xx），或者多个因式连乘除/开方 的复杂函数时，通常采用"对数求导法"。

步骤：

等式两边同时取自然对数 ln⁡\lnln。
利用对数性质展开（ln⁡(AB)=ln⁡A+ln⁡B\ln(AB) = \ln A + \ln Bln(AB)=lnA+lnB，ln⁡(A/B)=ln⁡A−ln⁡B\ln(A/B) = \ln A - \ln Bln(A/B)=lnA−lnB，ln⁡(An)=nln⁡A\ln(A^n) = n \ln Aln(An)=nlnA）。
等式两边同时对 xxx 求导（把 yyy 看作 xxx 的函数，需要乘以 y′y'y′）。
解出 y′y'y′，并将原函数代回。

示例 4：求 y=xx(x>0)y = x^x \quad (x>0)y=xx(x>0) 的导数

两边取对数：ln⁡y=ln⁡(xx)=xln⁡x\ln y = \ln(x^x) = x \ln xlny=ln(xx)=xlnx
两边对 xxx 求导（左边是复合函数，右边用乘法法则）：
1y⋅y′=1⋅ln⁡x+x⋅1x \frac{1}{y} \cdot y' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} y1⋅y′=1⋅lnx+x⋅x1
y′y=ln⁡x+1 \frac{y'}{y} = \ln x + 1 yy′=lnx+1
解出 y′y'y′ 并代入 y=xxy = x^xy=xx：
y′=y(ln⁡x+1)=xx(ln⁡x+1) y' = y(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1) y′=y(lnx+1)=xx(lnx+1)
总结： 对数求导的核心就是记住 (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}(lnx)′=x1，然后熟练运用链式法则 f′(x)f(x)\frac{f'(x)}{f(x)}f(x)f′(x) 去处理所有变形。