C++图论基础多源最短路-Floyd 算法流食般

多源最短路：即图中每对顶点间的最短路径。

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📌这里多源最短路算法我们只介绍 Floyd（弗洛伊德） 算法。

📌它适用于任何图，不管是有向无向，边权正负，但是最短路必须存在（也就是不存在负环），但其实 Floyd 算法是可以判断负环的。

📌Floyd 算法本质是动态规划，用来求任意两个结点之间的最短路，也称插点法。通过不断在两点之间加入新的点当作桥梁，来更新最短路；也就是在起点、终点之间，不断建桥梁，看看在总路线中走不走这个新建桥梁会不会缩短驾驶路程。

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💡这里给出动态规划的六板斧（加上空间优化）：

1、状态表示：fkij 表示：仅仅经过 1, k 这些点建起的桥梁，结点 i 走到结点 j 的最短路径的长度。

2、状态转移方程：

📌第一种情况：不选新来的点（不走刚刚建起的桥梁，从起点 i 走到 终点 j ，只走编号为 1 ~ k - 1 的桥梁）：fkij = fk - 1ij；

📌第二种情况：选新来的点（走刚刚新建起的桥梁，从起点 i 走到终点 j ，以编号为 k 的桥梁为中转，划分成 i 到 k 、k 到 j 两段，这两段行程可走的桥梁范围都是：1 ~ k - 1）：fkij = fk - 1ik + fk - 1kj；

📌最终是求两种情况的 min 。

3、空间优化：

dp 表 f 数组本身是三维的，让桥梁 k 那一维作 z 轴，我们可以发现，k = 0 的那一层是初始化的时候，k = n 的那一层是最终结果的时候，当前层的结果是根据上一层的结果递推的，所以可以空间优化、删掉第一维，而且，根据 k 值的不同，每一层更新出来的结果根据状态表示含义都有着自己的意义，比如：k = 4 的时候，f4ij 表示的是：从起点 i 到 终点 j 只经过 编号为1 ~ 4的桥梁 的最短路径长度。

4、初始化：

和邻接矩阵的初始化几乎一摸一样。

📌fii = 0；自己到自己的最短路径是 0.

📌fij 为初始状态下 i 到 j 的距离，如果 i、j 之间没有边，距离则是无穷。

5、填表顺序

一定先枚举 k ，再枚举 i 和 j ，因为当前第 k 层的更新，靠的都是 k - 1 层的状态来的。

6、最终结果：

dp 表里面存着。

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OJ题来源：洛谷

OJ题名：【模板】Floyd

OJ题归属：图论基础【多源最短路】

解题算法：Floyd 算法。

#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
	cin >> n >> m;
	// 初始化
	memset(f, 0x3f, sizeof f);
	for (int i = 1; i <= n; i++) f[i][i] = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int u, v, w; cin >> u >> v >> w;
		// 重边
		f[u][v] = f[v][u] = min(f[u][v], w);
	}

	// Floyd
	for (int k = 1; k <= n; k++)
	{
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			for (int j = 1; j <= n; j++)
			{
				f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);
			}
		}
	}

	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{
			cout << f[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}

	return 0;
}