本文涉及知识点
1 矩阵
定义1 ： m行n列矩阵，简称 m × n m \times n m×n矩阵：
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m m ) A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots& a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots& a_{2n}\\ \vdots & \vdots& & \vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots& a_{mm}\\ \end{pmatrix} A= a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amm
a i j 位于矩阵 A 的第 i 行第 i 列，称为矩阵 A 的 ( i , j ) 元，以数 a i j 为 ( i , j ) 元的矩阵可简记作 ( a i j ) 或 ( a i j ) m × n , m × n 矩阵 A 也记作 A m × n a_{ij}位于矩阵A的第i行第i列，称为矩阵A的(i,j)元，以数a_{ij}为(i,j)元的矩阵可简记作(a_{ij})或(a_{ij}){m\times n},m \times n 矩阵A 也记作A{m\times n} aij位于矩阵A的第i行第i列，称为矩阵A的(i,j)元，以数aij为(i,j)元的矩阵可简记作(aij)或(aij)m×n,m×n矩阵A也记作Am×n
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。除非特殊说明，都是实矩阵。
m=n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵,记作 A n A_n An。
只有一行的矩阵 A = ( a 1 , a 2 ⋯ a n ) A=(a_1,a_2\cdots a_n) A=(a1,a2⋯an)称为行矩阵，行向量。
B = ( b 1 b 2 ⋯ b m ) B=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ \cdots\\ b_m\\ \end{pmatrix} B= b1b2⋯bm
称为列矩阵，列向量。
两个矩阵的行列数相等，就称为同型矩阵 。如果矩阵A和矩阵B同型且对应的元素相等，则称矩阵A和矩阵B相等，记作 A = B A=B A=B
0矩阵：所有元素都为0的矩阵。
对角矩阵（对角阵）：n阶方阵 除主对角线外，全部为0。 Λ = d i a g ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) \Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) Λ=diag(λ1,λ2,⋯,λn)
2 矩阵的运算
一，矩阵的加法
定义2 矩阵加法，同型矩阵，对应元素相加。矩阵加法的性质：
A + B = B + A 交换律 ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 结合律 A+B=B+A 交换律\\ (A+B)+C=A+(B+C) 结合律 A+B=B+A交换律(A+B)+C=A+(B+C)结合律
设矩阵 A = ( a i j ) ，记 − A = ( − a i j ) A=(a_{ij})，记 -A=(-a_{ij}) A=(aij)，记−A=(−aij)
-A 称为矩阵A的负矩阵。
二，数与矩阵相乘
定义3 数 λ 与矩阵 A 的乘积记作 λ A 或 A λ \lambda与矩阵A的乘积记作\lambda A或A \lambda λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为：
λ A = A λ = ( λ a 11 λ a 12 ⋯ λ a 1 n λ a 21 λ a 22 ⋯ λ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ λ a m 1 λ a m 2 ⋯ λ a m n ) \lambda A=A \lambda=\begin{pmatrix} \lambda a_{11}& \lambda a_{12}& \cdots & \lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}& \lambda a_{22}& \cdots & \lambda a_{2n}\\ \vdots & \vdots& & \vdots\\ \lambda a_{m1}& \lambda a_{m2}& \cdots & \lambda a_{mn}\\ \end{pmatrix} λA=Aλ= λa11λa21⋮λam1λa12λa22⋮λam2⋯⋯⋯λa1nλa2n⋮λamn
矩阵的数乘满足下列运算规律：
( λ μ ) A = λ ( μ A ) 结合律 （ λ + μ ） A = λ A + μ A 左分配率 λ ( A + B ) = λ A + μ B 右分配率 (\lambda \mu)A=\lambda (\mu A) 结合律\\ （\lambda+\mu）A=\lambda A + \mu A 左分配率 \\ \lambda(A+B)=\lambda A+ \mu B 右分配率\\ (λμ)A=λ(μA)结合律（λ+μ）A=λA+μA左分配率λ(A+B)=λA+μB右分配率
矩阵相加与数乘结合起来，称为矩阵的线性运算。
三、矩阵与矩阵相乘
设有两个线性变换
{ x 1 = b 11 t 1 + b 12 t 2 x 2 = b 21 t 1 + b 22 t 2 x 3 = b 31 t 1 + b 32 t 2 \begin{cases} x_1=b_{11}t_1+b_{12}t2\\ x_2=b_{21}t_1+b_{22}t2\\ x_3=b_{31}t_1+b_{32}t2\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1=b11t1+b12t2x2=b21t1+b22t2x3=b31t1+b32t2
{ y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 y 2 = a 11 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 \begin{cases} y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3\\ y_2=a_{11}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3\\ \end{cases} {y1=a11x1+a12x2+a13x3y2=a11x1+a22x2+a23x3
则t1,t2到y1,y2的线性变换为：
{ y 1 = ( a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 ) t 1 + ( a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 ) t 12 y 2 = ( a 21 b 21 + a 22 b 21 + a 23 b 31 ) t 1 + ( a 21 b 22 + a 22 b 22 + a 23 b 32 ) t 12 \begin{cases} y_1=(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31})t1+(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32})t12\\ y_2=(a_{21}b_{21}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31})t1+(a_{21}b_{22}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32})t12\\ \end{cases} {y1=(a11b11+a12b21+a13b31)t1+(a11b12+a12b22+a13b32)t12y2=(a21b21+a22b21+a23b31)t1+(a21b22+a22b22+a23b32)t12
定义4 ：设A=( a i j a_{ij} aij)是一个 m × s m \times s m×s矩阵，B=( b i j b_{ij} bij)是一个 s × n s \times n s×n矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是 m × n m \times n m×n矩阵C=( c i j c_{ij} cij),其中
c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ⋯ + a i j b j j = ∑ k = 1 s a i k b k j ( i = 1 , 2 , ⋯ , m , j = 1 , 2 , ⋯ n ) , c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots + a_{ij}b_{jj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}(i=1,2,\cdots ,m,j=1,2,\cdots n), cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aijbjj=k=1∑saikbkj(i=1,2,⋯,m,j=1,2,⋯n),
记作 ：C=AB
注意 ：AB=0，不能推出A或B=0。
反例 ( 1 − 1 ) ( 1 ) = ( 0 ) 反例\begin{pmatrix}1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\end{pmatrix} 反例(1−1)(1)=(0)
矩阵的乘法不满足交换律，但仍然满足下列结合律和分配率（假定运算都是可行的）。
(AB)C=(AB)C。
λ ( A B ) = ( λ A ) B = A ( λ B ) 其中 λ 为数 \lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)其中\lambda为数 λ(AB)=(λA)B=A(λB)其中λ为数
A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+BC。
EA=AE=A，其中E是单位矩阵。
A是方阵， A 0 = E , A 1 = A , A 2 = A A ⋯ A k + 1 = A k A A^0=E,A^1=A,A^2=AA\cdots A^{k+1}=A^kA A0=E,A1=A,A2=AA⋯Ak+1=AkA其中k为正整数。
( A k ) l = A k l (A^k)^l=A^{kl} (Ak)l=Akl
4阶方阵A, a i j a_{ij} aij表示城市i到城市j的道路数，则AA的(i,j)元是i经过任意一个城市中转的道路数。
例6 证明
( cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ ) n = ( cos n ϕ − sin n ϕ sin n ϕ cos n ϕ ) ，左式旋转 ϕ n 次，右式旋转 n ϕ \begin{pmatrix}\cos\phi &-\sin \phi\\ \sin \phi & \cos \phi\\ \end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}\cos n\phi &-\sin n\phi\\ \sin n\phi & \cos n\phi\\ \end{pmatrix}，左式旋转\phi n次，右式旋转n\phi (cosϕsinϕ−sinϕcosϕ)n=(cosnϕsinnϕ−sinnϕcosnϕ)，左式旋转ϕn次，右式旋转nϕ
用数学归纳法证明，n=1 时显然成立，如果n=k时成立。
( cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ ) k + 1 \begin{pmatrix}\cos\phi &-\sin \phi\\ \sin \phi & \cos \phi\\ \end{pmatrix}^{k+1} (cosϕsinϕ−sinϕcosϕ)k+1
= ( cos k ϕ − sin k ϕ sin k ϕ cos k ϕ ) ( cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ ) =\begin{pmatrix}\cos k\phi &-\sin k\phi\\ \sin k\phi & \cos k\phi\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi\\ \sin \phi & \cos \phi\\ \end{pmatrix} =(coskϕsinkϕ−sinkϕcoskϕ)(cosϕsinϕ−sinϕcosϕ)
( cos k ϕ cos ϕ − sin k ϕ sin ϕ − cos k ϕ sin ϕ − sin k ϕ cos ϕ sin k ϕ cos ϕ + cos k ϕ sin ϕ − sin k ϕ sin ϕ + cos k ϕ cos ϕ ) \begin{pmatrix}\cos k \phi \cos \phi-\sin k\phi\sin \phi &-\cos k \phi \sin \phi-\sin k\phi\cos \phi \\ \sin k \phi \cos \phi + \cos k \phi\sin \phi &- \sin k \phi \sin \phi +\cos k \phi\cos \phi\\ \end{pmatrix} (coskϕcosϕ−sinkϕsinϕsinkϕcosϕ+coskϕsinϕ−coskϕsinϕ−sinkϕcosϕ−sinkϕsinϕ+coskϕcosϕ)
根据三角形和差公式，得证。
四、矩阵的转置
定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作 A T A^T AT。
矩阵的转置也是一种运算，满足下述运算规律（假设运算都是可行的）：
一， ( A T ) T = A 一，(A^T)^T=A 一，(AT)T=A
二， ( A + B ) T = A T + B T 二，(A+B)^T=A^T+B^T 二，(A+B)T=AT+BT
三， ( λ A ) T = λ A T 三，(\lambda A)^T=\lambda A^T 三，(λA)T=λAT
四， ( A B ) T = B T A T 四，(AB)^T=B^TA^T 四，(AB)T=BTAT
令左式四的左式是C，右式是D。则:
c i j = ∑ k = 1 s a j k b k i , d i j = ∑ k = 1 s b k i a j k c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^s a_{jk}b_{ki},d_{ij}=\sum\limits_{k=1}^sb_{ki}a_{jk} cij=k=1∑sajkbki,dij=k=1∑sbkiajk,两者相等。
A是n阶方阵,如果 A T = A A^T=A AT=A，则称A是对称矩阵。
五、方阵的行列式
定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作|A|或detA。
设AB是方阵，则：
一， ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T|=|A| ∣AT∣=∣A∣
二， ∣ λ A ∣ = λ n ∣ A ∣ |\lambda A|=\lambda^n |A| ∣λA∣=λn∣A∣
三， ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |AB|=|A||B| ∣AB∣=∣A∣∣B∣
三的证明：
D = ∣ a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ 0 a n 1 ⋯ a n n − 1 b 11 ⋯ b 1 n ⋱ ⋮ ⋮ − 1 b n 1 ⋯ b n n ∣ = ∣ A O − E B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ D=\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}& & &\\ \vdots & &\vdots& &0& &\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\ -1& & &b_{11}&\cdots&b_{1n}\\ &\ddots& &\vdots& &\vdots\\ &&-1&b_{n1}\cdots&&b_{nn}\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A&O\\ -E&B\\ \end{vmatrix}=|A||B| D= a11⋮an1−1⋯⋯⋱a1n⋮ann−1b11⋮bn1⋯0⋯b1n⋮bnn = A−EOB =∣A∣∣B∣
下面进行的行列变换不影响D的值,令C=AB。
将第 1 列乘以 b 11 , 第二列乘以 b 12 ⋯ 第 n 列乘以 b 1 n 加到第 1 + n 列 将第1列乘以b_{11},第二列乘以b_{12}\cdots 第n列乘以b_{1n}加到第1+n列 将第1列乘以b11,第二列乘以b12⋯第n列乘以b1n加到第1+n列。
则：
d i ( n + 1 ) = { ∑ k = 1 n a i k b 1 k = c i 1 i ≤ n 0 o t h e r d_{i(n+1)}=\begin{cases} \sum\limits_{k=1}^n a_{ik}b_{1k}=c_{i1} & i \le n\\ 0 & other \end{cases} di(n+1)=⎩ ⎨ ⎧k=1∑naikb1k=ci10i≤nother
类似方法处理第 n+1到2n列，此时D= ∣ A C − E 0 ∣ \begin{vmatrix}A&C\\-E&0\end{vmatrix} A−EC0
交换第i行和第i+n行， 1 ≤ n , 则 D = ( − 1 ) n ∣ − E 0 A C ∣ 1 \le n,则D=(-1)^n\begin{vmatrix}-E&0\\A&C\\ \end{vmatrix} 1≤n,则D=(−1)n −EA0C
提取-E的-1， D = ∣ E 0 A C ∣ = ∣ A B ∣ ∣ E ∣ = ∣ A B ∣ D=\begin{vmatrix}E&0\\A&C\\ \end{vmatrix}=|AB||E|=|AB| D= EA0C =∣AB∣∣E∣=∣AB∣得证。
伴随矩阵（伴随阵） 行列式|A|的各个元素的代数余子式 A i j A_{ij} Aij构成的如下矩阵
A ∗ = ( A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ) A^*=\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\\ \end{pmatrix} A∗= A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋯An1An2⋮Ann
注意 ：要行列互换。
A ∗ A = A A ∗ = ∣ A ∣ E A^*A=AA^*=|A|E A∗A=AA∗=∣A∣E
3 逆矩阵
定义7 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使：AB=BA=E。则称A矩阵是可逆的，并把B称为A的逆矩阵（逆阵）。
如果存在逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。用反证法证明：令B和C都是A的逆矩阵，则B=B(AC)=(BA)C=C。
定理1 ：若矩阵A可逆，则|A| ≠ 0 \neq 0 =0。
定理2 ：若|A| ≠ 0 \neq 0 =0，则矩阵A可逆，且 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ , A ∗ 是伴随矩阵 A^{-1}=\frac 1 {|A|}A^*,A^*是伴随矩阵 A−1=∣A∣1A∗,A∗是伴随矩阵
补充 ：|A|=0，则不可逆。假定你矩阵是B，则|AB|=|A||B|=0 ≠ \neq = |E|。
可逆矩阵是非奇异矩阵。
推论 ：AB=E（或BA=E），则B= A − 1 A^{-1} A−1
B = E B = ( A − 1 A ) B = A − 1 B=EB=(A^{-1}A)B=A^{-1} B=EB=(A−1A)B=A−1
若AB同阶且可逆，则
( A − 1 ) − 1 = A (A^{-1})^{-1}=A (A−1)−1=A
λ ≠ 0 ，则 ( λ A ) − 1 = 1 λ A − 1 \lambda \neq 0，则(\lambda A)^{-1}=\frac 1 {\lambda}A^{-1} λ=0，则(λA)−1=λ1A−1
( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1
证明 ： A B B − 1 A − 1 = A E A − 1 = E ABB^{-1}A^{-1}=AEA^{-1}=E ABB−1A−1=AEA−1=E
当A可逆时， A − k = ( A − 1 ) k A^{-k}=(A^{-1})^k A−k=(A−1)k k为正整数。
ϕ ( A ) = a 0 E + a 1 A + ⋯ + a m A m , ϕ ( A ) 称为矩阵 A 的 m 次多项式。因为矩阵 A k ， A t 和 E 是可交换的。故 ϕ ( A ) f ( A ) = f ( A ) ϕ ( A ) \phi(A)=a_0E+a_1A+\cdots+a_mA^m,\phi(A)称为矩阵A的m次多项式。因为矩阵A^k，A^t和E是可交换的。故\phi(A)f(A)=f(A)\phi(A) ϕ(A)=a0E+a1A+⋯+amAm,ϕ(A)称为矩阵A的m次多项式。因为矩阵Ak，At和E是可交换的。故ϕ(A)f(A)=f(A)ϕ(A)
4 矩阵分快法
将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
一，AB矩阵同型，分块法相同。
A = ( A 11 ⋯ A 1 r ⋮ ⋮ A s 1 ⋯ A s r ) , B = ( B 11 ⋯ B 1 r ⋮ ⋮ B s 1 ⋯ B s r ) , A + B = ( A 11 + B 11 ⋯ A 1 r + B 1 r ⋮ ⋮ A s 1 + B s 1 ⋯ A s r + B s r ) A=\begin{pmatrix} A_{11} &\cdots& A_{1r}\\ \vdots & & \vdots\\ A_{s1}&\cdots&A_{sr}\\ \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} B_{11} &\cdots& B_{1r}\\ \vdots & & \vdots\\ B_{s1}&\cdots&B_{sr}\\ \end{pmatrix}, A+B=\begin{pmatrix} A_{11}+B_{11} &\cdots&A_{1r}+ B_{1r}\\ \vdots & & \vdots\\ A_{s1}+B_{s1}&\cdots&A_{sr}+B_{sr}\\ \end{pmatrix} A= A11⋮As1⋯⋯A1r⋮Asr ,B= B11⋮Bs1⋯⋯B1r⋮Bsr ,A+B= A11+B11⋮As1+Bs1⋯⋯A1r+B1r⋮Asr+Bsr
二，
A = ( A 11 ⋯ A 1 r ⋮ ⋮ A s 1 ⋯ A s r ) , λ 为数，那么 λ A = ( λ A 11 ⋯ λ A 1 r ⋮ ⋮ λ A s 1 ⋯ λ A s r ) A=\begin{pmatrix} A_{11} &\cdots& A_{1r}\\ \vdots & & \vdots\\ A_{s1}&\cdots&A_{sr}\\ \end{pmatrix},\lambda为数，那么\lambda A=\begin{pmatrix} \lambda A_{11} &\cdots& \lambda A_{1r}\\ \vdots & & \vdots\\ \lambda A_{s1}&\cdots&\lambda A_{sr}\\ \end{pmatrix} A= A11⋮As1⋯⋯A1r⋮Asr ,λ为数，那么λA= λA11⋮λAs1⋯⋯λA1r⋮λAsr
三， 设 A 为 m × l 矩阵， B 为 l × n 矩阵 , A 分块成 s × t , B 分快成 t × r 设A为m \times l矩阵，B为l \times n矩阵,A分块成s \times t,B分快成t \times r 设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵,A分块成s×t,B分快成t×r。则AB是 s × r s\times r s×r的分快矩阵，其(i,j)元是：
C i j = ∑ k = 1 n A i k B k j ( i = 1 , ⋯ , s ; j = 1 , ⋯ , r ) C_{ij}=\sum\limits_{k=1}^nA_{ik}B_{kj}(i=1,\cdots,s;j=1,\cdots,r) Cij=k=1∑nAikBkj(i=1,⋯,s;j=1,⋯,r)
四， A = ( A 11 ⋯ A 1 r ⋮ ⋮ A s 1 ⋯ A s r ) ， A T = ( A 11 T ⋯ A s 1 T ⋮ ⋮ A 1 r T ⋯ A s r T ) A=\begin{pmatrix} A_{11} &\cdots& A_{1r}\\ \vdots & & \vdots\\ A_{s1}&\cdots&A_{sr}\\ \end{pmatrix}， A^T=\begin{pmatrix} A_{11}^T &\cdots& A_{s1}^T\\ \vdots & & \vdots\\ A_{1r}^T&\cdots&A_{sr}^T\\ \end{pmatrix} A= A11⋮As1⋯⋯A1r⋮Asr ，AT= A11T⋮A1rT⋯⋯As1T⋮AsrT
五，设A为n阶矩阵,若A的分快矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且对角线上的子块都是方阵，即：
A = ( A 1 ⋯ ⋯ 0 A 2 ⋱ 0 A s ) A=\begin{pmatrix} A_1&\cdots&\cdots&0\\ &A_2&\\ &&\ddots\\ 0&&&A_s\\ \end{pmatrix} A= A10⋯A2⋯⋱0As
那么A称为分快对角矩阵。
∣ A ∣ = ∣ A 1 ∣ ∣ A 2 ∣ ⋯ ∣ A s ∣ |A|=|A_1||A_2|\cdots|A_s| ∣A∣=∣A1∣∣A2∣⋯∣As∣
证明 ：将 A i A_i Ai通过行变换转成下三角行列式，除了 A i A_i Ai所在的列外，其它列都是0，变换后仍然是0。
若 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq 0 ∣A∣=0，则：
A − 1 = ( A 1 − 1 ⋯ ⋯ 0 A 2 − 1 ⋱ 0 A s − 1 ) A^{-1}=\begin{pmatrix} A_1^{-1}&\cdots&\cdots&0\\ &A_2^{-1}&\\ &&\ddots\\ 0&&&A_s^{-1}\\ \end{pmatrix} A−1= A1−10⋯A2−1⋯⋱0As−1
证明 ：除对角线外的块都为0，故只需要对角的块相乘。
例17 ：证明矩阵 A = 0 的充分必要条件是方阵 A T A = 0 A=0的充分必要条件是方阵A^TA=0 A=0的充分必要条件是方阵ATA=0。
证明 ：必要性无需证明。证明充分性：
a i 是列向量，是 A 的第 i 列。 D = A T A = ( a 1 T a 2 T ⋯ a n T ) ( a 1 a 2 ⋯ a n ) a_i是列向量，是A的第i列。D=A^TA=\begin{pmatrix} a_1^T\\ a_2^T\\ \cdots\\ a_n^T\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1& a_2& \cdots& a_n \end{pmatrix} ai是列向量，是A的第i列。D=ATA= a1Ta2T⋯anT (a1a2⋯an)
D的(i,i)元是 a i ∗ a i = ∑ k = 1 n a k i 2 a_i*a_i=\sum\limits_{k=1}^n a_{ki}^2 ai∗ai=k=1∑naki2，由于D是0矩阵，故D的(i,j)元是0，故 任意 a k i = 0 任意a_ki=0 任意aki=0
对于线性方程组
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ a 2 n x n = b 2 , ⋯ ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ a m n x n = b m , \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots a_{2n}x_n=b_2,\\ \cdots\cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots a_{mn}x_n=b_m, \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯a1nxn=b1,a21x1+a22x2+⋯a2nxn=b2,⋯⋯am1x1+am2x2+⋯amnxn=bm,
记作 A = ( a i j ) ， x = ( x 1 x 2 ⋮ x m ) ， b = ( b 1 b 2 ⋮ b m ) , B = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 n b 2 ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b m ) A=(a_{ij})，x=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ \vdots\\x_m \end{pmatrix} ，b=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\ \vdots\\b_m \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}& b1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}& b2\\ \cdots\cdots\cdots a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}& bm\\ \end{pmatrix} A=(aij)，x= x1x2⋮xm ，b= b1b2⋮bm ,B= a11a21⋯⋯⋯am1a12a22am2⋯⋯⋯a1na2namnb1b2bm
其中A是系数矩阵，x称为未知数向量，b称为常数项向量，B称为增广矩阵。B可以记为：(A ⋮ b \vdots b ⋮b) 或(A,b)或( a 1 , a 2 , ⋯ , a n , b a_1,a_2,\cdots ,a_n,b a1,a2,⋯,an,b)
利用矩阵乘法，此方程可以记作： A x = b Ax=b Ax=b
方程以向量x为未知元，它的解称为方程组的解向量。
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| 算法为骨，CAD为魂 |
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| 子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。 |
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
