战老师求解的
给定对称矩阵A\boldsymbol {A}A：
A=(5−3−35) \boldsymbol {A}=\begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} A=(5−3−35)
一、求特征值
特征方程：∣λI−A∣=0|\lambda \boldsymbol {I} - \boldsymbol {A}| = 0∣λI−A∣=0
∣λI−A∣=∣λ−533λ−5∣=(λ−5)2−9=0 |\lambda \boldsymbol {I} - \boldsymbol {A}|= \begin{vmatrix} \lambda-5 & 3 \\ 3 & \lambda-5 \end{vmatrix} =(\lambda-5)^2 - 9 = 0 ∣λI−A∣= λ−533λ−5 =(λ−5)2−9=0
展开求解：
(λ−5)2=9 ⟹ λ−5=±3 (\lambda-5)^2 = 9 \implies \lambda-5 = \pm3 (λ−5)2=9⟹λ−5=±3
得特征值：
λ1=2,λ2=8 \lambda_1 = 2,\quad \lambda_2 = 8 λ1=2,λ2=8
二、求特征向量（单位化）
对应λ1=2\lambda_1=2λ1=2
(2I−A)x=0 ⟹ (−333−3)(x1x2)=0 (2\boldsymbol {I} - \boldsymbol {A})\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} \implies \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = \boldsymbol{0} (2I−A)x=0⟹(−333−3)(x1x2)=0
解得x1=x2x_1=x_2x1=x2，基础解系：ξ1=(11)\boldsymbol{\xi}_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}ξ1=(11)
单位化特征向量：
u1=12(11) \boldsymbol{u}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} u1=2 1(11)
对应λ2=8\lambda_2=8λ2=8
(8I−A)x=0 ⟹ (3333)(x1x2)=0 (8\boldsymbol {I} - \boldsymbol {A})\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} \implies \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = \boldsymbol{0} (8I−A)x=0⟹(3333)(x1x2)=0
解得x1=−x2x_1=-x_2x1=−x2，基础解系：ξ2=(−11)\boldsymbol{\xi}_2=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}ξ2=(−11)
单位化特征向量：
u2=12(−11) \boldsymbol{u}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} u2=2 1(−11)
三、正交对角化分解A=UΛU⊤\boldsymbol {A}=\boldsymbol {U}\boldsymbol {\varLambda} \boldsymbol {U}^{\top}A=UΛU⊤
实对称矩阵，它总是可以对角化的，并且其特征向量可以构成一个正交矩阵。
Λ=diag(λ1,λ2),U=u1,u2 \boldsymbol {\varLambda} = {\operatorname {diag}}(\lambda_1,\lambda_2), \boldsymbol {U}=\\boldsymbol {u}_1, \\boldsymbol {u}_2 Λ=diag(λ1,λ2),U=u1,u2
A=UΛU⊤ \boldsymbol {A}=\boldsymbol {U}\boldsymbol {\varLambda} \boldsymbol {U}^{\top} A=UΛU⊤
正交矩阵U\boldsymbol {U}U（列向量为单位特征向量）：
U=(12−121212) \boldsymbol {U} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} U= 2 12 1−2 12 1
对角矩阵Λ\boldsymbol {\varLambda}Λ（对角线为特征值）：
Λ=(2008) \boldsymbol {\varLambda} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} Λ=(2008)
A=14(5−3−35) \boldsymbol {A}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} A=41(5−3−35)