本文涉及知识点
一，矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换。
一，对调两行。
二，以数k ≠ \neq = 0 乘以某一行中的所有元素。
三，把某一行所有元素乘以k倍加到另一行对应的元素上去。
把定义中的行变成列，即得矩阵的初等列变换。初等行变换、初等列变换统称初等变换。
初等变换都是可逆的。
如果A经过有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作 A ≅ r B A \overset r\cong B A≅rB。同理，列等价 A ≅ c B A \overset c\cong B A≅cB。如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作 A ≅ B A \cong B A≅B。有的书，等价记作 ∼ \sim ∼。
矩阵等价的性质：
一，反身性： A ≅ A A \cong A A≅A。
二，对称性 若 A ≅ B ，则 B ≅ A A \cong B，则B \cong A A≅B，则B≅A。
三，传递性， A ≅ B , B ≅ C ，则 A ≅ C A \cong B,B \cong C，则A \cong C A≅B,B≅C，则A≅C。
行阶梯矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。
行最简型矩阵：行阶梯矩阵，非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列其它元素全为0。
标准型矩阵：左上角是一个单位矩阵，其它元素全为0。
对于任意矩阵 A m × n A_{m\times n} Am×n，总可经过有限次初等行变换将它变成行阶梯型矩阵和行最简型矩阵。
对行最简型矩阵施以初等列变换，可以变成标准型。
定理1 ： 设A与B为 m × n m\times n m×n矩阵，那么：
一， A ≅ r B A \overset r \cong B A≅rB的充分必要条件存在m阶可逆矩阵P；使得PA=B。
二， A ≅ c B A \overset c \cong B A≅cB的充分必要条件存在m阶可逆矩阵Q；使得AQ=B。
三， A ≅ B A \cong B A≅B的充分必要条件存在m阶可逆矩阵P和Q；使得PAQ=B。
定义2 ： 由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
三种初等变换定义三种初等矩阵。
一，把单位阵种的第i行（列）第j行（列）互换。初等矩阵
E = ( 1 ⋱ 1 0 ⋯ 1 → 第 i 行 1 ⋮ ⋱ ⋮ 1 ⋯ 0 → 第 j 行 1 ⋱ 1 ) E=\begin{pmatrix} 1\\ &\ddots\\ &&1\\ &&&0&&\cdots&1&&&&\rightarrow 第i行\\ &&&&1\\ &&&\vdots&&\ddots&\vdots\\ &&&1&&\cdots&0&&&&\rightarrow 第j行\\ &&&&&&&1\\ &&&&&&&&\ddots\\ &&&&&&&&&1\\ \end{pmatrix} E= 1⋱10⋮11⋯⋱⋯1⋮01⋱1→第i行→第j行
。
二，以数k ≠ 0 \neq0 =0乘以单位阵第i行（列）。
三，以k乘以单位阵的j行（列）加到第i行（列）。
性质1 ：设A是一个 m × n m \times n m×n矩阵，对A实行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以对应的n阶初等矩阵。
性质2 方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P 1 , P 2 , ⋯ P i P_1,P_2,\cdots P_i P1,P2,⋯Pi,使得A= P 1 P 2 ⋯ P i P_1P_2\cdots P_i P1P2⋯Pi。
充分性 ： ( P 1 P 2 ⋯ P i ) ( P i − 1 P i − 1 − 1 ⋯ P 1 − 1 ) = E (P_1P_2\cdots P_i)(P_i^{-1}P_{i-1}^{-1}\cdots P_1^{-1})=E (P1P2⋯Pi)(Pi−1Pi−1−1⋯P1−1)=E
必要性 ：将A变成标准型，由于可逆，故没有0行，即单位矩阵。令将A变成单位阵，行变换依次对应 P 1 , P 2 , ⋯ P i ，则 ( P i P i − 1 ⋯ P 1 ) A = E , 即 A = ( P i P i − 1 ⋯ P 1 ) − 1 P_1,P_2,\cdots P_i，则(P_iP_{i-1}\cdots P_1)A=E,即A=(P_iP_{i-1}\cdots P_1)^{-1} P1,P2,⋯Pi，则(PiPi−1⋯P1)A=E,即A=(PiPi−1⋯P1)−1
推论 ： 方阵A可逆的充分必要条件是 A ≅ r E A \overset r \cong E A≅rE
矩阵的秩
m × n m \times n m×n矩阵A，它的标准型
F = ( E r 0 0 0 ) F=\begin{pmatrix}E_r &0\\ 0&0\\ \end{pmatrix} F=(Er000)
r便是矩阵的秩。
定义3 ： 在 m × n m \times n m×n矩阵A中，任取k行列( k ≤ m , k ≤ n k \le m,k \le n k≤m,k≤n）,这些行列交叉处的 k 2 k^2 k2个元素，不改变他们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的可阶子式。
定义4 ：设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且不存在r+1阶子式，或r+1阶子式全为0。那么D称为矩阵A的最高解非0子式，数r称为矩阵A的秩。记作R(A)，并规定零矩阵的秩等于0。
进行初等变换，矩阵的秩不变。
如果r阶子式全为0，则r+1阶子式一定为0。变成标准型后，1的数量小于r，故至少2行全0。
显然： 0 ≤ R ( A ) ≤ m i n ( 矩阵行 , 矩阵列 ) 0 \le R(A) \le min(矩阵行,矩阵列) 0≤R(A)≤min(矩阵行,矩阵列)
R ( A ) = R ( A T ) R(A)=R(A^T) R(A)=R(AT)
可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵。
定理2 ： 若 A ≅ B A \cong B A≅B，则 R ( A ) = R ( B ) R(A)=R(B) R(A)=R(B)。
推论 ：若可逆矩阵P,Q，使得 P A Q = B PAQ=B PAQ=B，则R(A)=R(B)。
根据定理2，为求矩阵的秩，只需把矩阵用初等行变换变成行阶梯型矩阵，行阶梯矩形中非零行的行数即该矩阵的秩。
m a x ( R ( A ) , R ( B ) ) ≤ R ( A , B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) R ( A + B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) max(R(A),R(B))\le R(A,B) \le R(A)+R(B)\\ R(A+B)\le R(A)+R(B)\\ max(R(A),R(B))≤R(A,B)≤R(A)+R(B)R(A+B)≤R(A)+R(B)
( A + B , B ) ≅ c ( A , B ) → R ( A + B ) ≤ R ( A , B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) (A+B,B)\overset c\cong (A,B) \to R(A+B) \le R(A,B) \le R(A)+R(B) (A+B,B)≅c(A,B)→R(A+B)≤R(A,B)≤R(A)+R(B)
R ( A B ) ≤ m i n ( R ( A ) , R ( B ) R(AB) \le min(R(A),R(B) R(AB)≤min(R(A),R(B) 下节证明
若 A m × n B n × t = 0 ，则 R ( A ) + R ( B ) ≤ n 若A_{m\times n}B_{n\times t}=0，则R(A)+R(B) \le n 若Am×nBn×t=0，则R(A)+R(B)≤n。下章证明。
例9 ：若 A m × n B n × l = C 且 R ( A ) = n ，则 R ( B ) = R ( C ) A_{m\times n}B_{n \times l}=C且R(A)=n，则R(B)=R(C) Am×nBn×l=C且R(A)=n，则R(B)=R(C)。
特殊的：C=0 ，则B=0 。
矩阵A的秩等于它的列数，这样的矩阵称为列满秩。
设 A B = 0 ，若 A 为列满秩矩阵 , 则 B = 0 AB=0，若A为列满秩矩阵,则B=0 AB=0，若A为列满秩矩阵,则B=0。矩阵乘法的消去律。
R(AB)=R(BA) 相同的n阶子式，只有列的顺序不同，交换列号乘以-1，不影响是否为0。
3 线性方程组的解
n个未知数m个方程的线性方程组，Ax=b。A是系数矩阵，b是常数向量。
线性方程组和向量方程往往不加区分。
线型方程组如果有解，就称为它是相容的，如果无解，就称为它不相容。利用系数矩阵A和增广矩阵B=(A,b)的秩。
定理3 n元线性方程组Ax=b
一,无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)。
二,有唯一解的充分必要是R(A)=R(a,b)=n。
三，有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n。
求线性方程组的一般步骤：
一，对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵B化成行阶梯形，从B的行阶梯形可同时看出R(A)和R(B)。如果R(A)<R(B)，则方程无解。
二，若R(A)=R(B)，则进一步化简为行最简形。对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A化成行最简型。
三，设R(A)=R(B)=r，把行最简形中r个非零行的非零元所对应的未知数取做非自由未知数，其余n-r个未知数取做自由未知数，并令自由未知数分别等于 c 1 , c 2 , ⋯ c n − r c_1,c_2,\cdots c_{n-r} c1,c2,⋯cn−r,由A(或B)的行最简形，即可写出n-r个参数的通解。
例11 求解非齐次线性方程组
{ x 1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x 4 = 1 , 3 x 1 − x 2 + 5 x 3 − 3 x 4 = 2 , 2 x 1 + x 2 + 2 x 3 − 2 x 4 = 3 \begin{cases} x_1-2x_2+3x_3-x_4=1,\\ 3x_1-x_2+5x_3-3x_4=2,\\ 2x_1+x_2+2x_3-2x_4=3\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1−2x2+3x3−x4=1,3x1−x2+5x3−3x4=2,2x1+x2+2x3−2x4=3
解 ：对增广矩阵B施行初等行变换。
B = { 1 , − 2 , 3 , − 1 , 1 3 , − 1 , 5 , − 3 , 2 2 , 1 , 2 , − 2 , 3 ⋯ → = { 1 , − 2 , 3 , − 1 , 1 0 , 5 , − 4 , 0 , − 1 0 , 0 , 0 , 0 , 2 B=\begin{cases} 1,-2,3,-1,1\\ 3,-1,5,-3,2\\ 2,1,2,-2,3\\ \end{cases}\cdots \to =\begin{cases} 1,-2,3,-1,1\\ 0,5,-4,0,-1\\ 0,0,0,0,2\\ \end{cases} B=⎩ ⎨ ⎧1,−2,3,−1,13,−1,5,−3,22,1,2,−2,3⋯→=⎩ ⎨ ⎧1,−2,3,−1,10,5,−4,0,−10,0,0,0,2
R(A)<R(B)故无解。
例12 求解非齐次线性方程组。
增广矩阵的行最简形为：
{ 1 , 0 , − 3 2 , 3 4 , 5 4 0 , 1 , − 3 2 , − 7 4 , − 1 4 0 , 0 , 0 , 0 , 0 \begin{cases} 1,0,-\frac 3 2,\frac 3 4,\frac 5 4\\ 0,1,-\frac 3 2,-\frac 7 4,- \frac 1 4\\ 0,0,0,0,0\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧1,0,−23,43,450,1,−23,−47,−410,0,0,0,0
即得
{ x 1 = 3 2 x 3 − 3 4 x 4 + 5 4 , x 2 = 3 2 x 3 + 7 4 x 4 − 1 4 , x 3 = x 3 , x 4 = x 4 , \begin{cases} x_1=\frac 3 2 x_3&-\frac 3 4 x_4&+\frac 5 4,\\ x_2=\frac 3 2 x_3&+\frac 74 x_4&-\frac 1 4,\\ x_3=x_3,\\ x_4=&x_4,\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1=23x3x2=23x3x3=x3,x4=−43x4+47x4x4,+45,−41,
亦即
( x 1 x 2 x 3 x 4 ) = c 1 ( 3 2 3 2 1 0 ) + c 2 ( − 3 4 7 4 0 1 ) + ( 5 4 − 1 4 0 0 ) ( c 1 , c 2 ∈ R ) \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3\\x4 \end{pmatrix} =c_1\begin{pmatrix} \frac 3 2\\\frac 3 2\\1\\0 \end{pmatrix} +c_2\begin{pmatrix} -\frac 3 4\\\frac 7 4\\0\\1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} \frac 5 4\\-\frac 1 4\\0\\0 \end{pmatrix}(c_1,c_2\in \R) x1x2x3x4 =c1 232310 +c2 −434701 + 45−4100 (c1,c2∈R)
定理4 n元齐次线性方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n。
定理5 线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)。
定理6 矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)。
证明 ：A的所有元素都会影响B的第i列，X的第i列会影响B的第i列,X其它列不影响B。整个B有解等于各列都有解。
定理7 ：设AB=C，则 R ( C ) ≤ m i n ( R ( A ) , R ( B ) R(C)\le min(R(A),R(B) R(C)≤min(R(A),R(B)
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或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
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