下面给出 第 5.6 题 （差分格式 (5.96)）的完整求解思路与先验估计。
为便于书写，约定
- 离散网格：(x_i=i h_1 ;(i=0,\dots,M_1),;y_j=j h_2 ;(j=0,\dots,M_2),;t_k=k\tau;(k=0,\dots,n))。
- 离散算子
\\begin{aligned} \\mathcal A u_{ij}\&=\\frac{1}{2}\\bigl(u_{i+1,j}+u_{i-1,j}\\bigr),\\qquad \\mathcal B u_{ij}= \\frac{1}{2}\\bigl(u_{i,j+1}+u_{i,j-1}\\bigr),\\\[2mm
\delta_t u_{ij}{k+\frac12}&=\frac{u_{ij}{k+1}-u_{ij}^{k}}{\tau}, \qquad
\Delta_t u_{ij}^{k}= \frac{u_{ij}{k+1}-2u_{ij}{k}+u_{ij}{k-1}}{\tau{2}},\2mm
\delta_x^2 u_{ij}&=\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{h_1^{2}},\qquad
\delta_y^2 u_{ij}=\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{h_2^{2}},\2mm
\Delta_h u_{ij}&=\delta_x^2 u_{ij}+ \delta_y^2 u_{ij}.
\end{aligned}
]
- 离散内积与范数（对内部点 (\omega) 求和）
\\bigl(v,w\\bigr)*h=\\sum* {i,j\\in\\omega} v_{ij},w_{ij},h_1h_2,\\qquad \|v\|_h\^{2}=(v,v)_h .
- 算子 (\mathcal A,\mathcal B) 是 自伴且正定 的离散平均算子；它们满足（所有内部点）
(\\mathcal A v,w)_h=(v,\\mathcal A w)_h,\\qquad (\\mathcal B v,w)_h=(v,\\mathcal B w)_h,
(v,\\mathcal A v)_h\\ge \\tfrac12\|v\|_h\^{2},\\qquad (v,\\mathcal B v)_h\\ge \\tfrac12\|v\|_h\^{2}.
1. 先验估计（1）------ 乘 (\delta_t u^{\frac12}) 与 (5.96a)，乘 (\Delta_t u^{k}) 与 (5.96b)
1.1 取内积得到离散能量等式
对 (5.96a) 两边与 (\delta_t u^{\frac12}) 作离散内积，记 (\bar u{1}=u{1})（因为式中只出现一次），得到
\\Bigl(\\frac{2}{\\tau},\\mathcal A\\mathcal B(\\delta_t u\^{\\frac12}),;\\delta_t u\^{\\frac12}\\Bigr)_h -c\^{2}\\bigl(\\mathcal B\\delta_x\^{2}+\\mathcal A\\delta_y^{2})u^{1},;\\delta_t u\^{\\frac12}\\bigr)_h +\\frac{c^{4}\\tau^{2}}{2}\\bigl(\\delta_x^{2}\\delta_y^{2}u\^{1},;\\delta_t u\^{\\frac12}\\bigr)_h = (g\^{0},\\delta_t u\^{\\frac12})_h .\\tag{5.96a‑IP}
利用算子 (\mathcal A\mathcal B) 的对称性，可把第一项写成
\\frac{1}{\\tau}\\bigl\|\\mathcal A\^{\\frac12}\\mathcal B\^{\\frac12}\\delta_t u^{\\frac12}\\bigr\|_{h}^{2} =\\frac12\\bigl\|\\delta_t u^{1}\\bigr\|_{h}^{2},
因为 (\delta_t u^{\frac12}= \frac{u{1}-u{0}}{\tau}) 且 (u^{0}= \varphi) 为已知初值。
对第二、三项利用离散"分部积分"(summation‑by‑parts) 公式
(\\mathcal B\\delta_x\^{2}v,w)_h = -(\\delta_x\\mathcal B\^{\\frac12}v,;\\delta_x\\mathcal B\^{\\frac12}w)_h, \\qquad (\\mathcal A\\delta_y\^{2}v,w)_h = -(\\delta_y\\mathcal A\^{\\frac12}v,;\\delta_y\\mathcal A\^{\\frac12}w)_h,
并且对混合项 (\delta_x{2}\delta_y{2}u^{1}) 同理得到
(\\delta_x^{2}\\delta_y^{2}u\^{1},\\delta_t u\^{\\frac12})_h =- (\\delta_x\\delta_y u\^{1},;\\delta_x\\delta_y\\delta_t u\^{\\frac12})_h .
把这些等式代回 (5.96a‑IP) 并整理，可得到 离散能量等式
\\frac12\|\\delta_t u^{1}\|_{h}^{2} +\\frac{c\^{2}}{2}\\bigl\|\\nabla_h u^{1}\\bigr\|_{h}^{2} +\\frac{c^{4}\\tau^{2}}{4}\\bigl\|\\Delta_h u^{1}\\bigr\|_{h}^{2} =\\frac12\|\\delta_t \\varphi\|*{h}\^{2} +\\frac{c\^{2}}{2}\\bigl\|\\nabla_h \\varphi\\bigr\|* {h}\^{2} +\\frac{c^{4}\\tau^{2}}{4}\\bigl\|\\Delta_h \\varphi\\bigr\|*{h}\^{2} +(g\^{0},\\delta_t u\^{\\frac12})* {h}. \\tag{E0}
其中 (\nabla_h) 表示离散梯度：(\nabla_h v=(\delta_x v,\delta_y v))。
1.2 对时间层 (k;(1\le k\le n-1)) 进行同样的处理
对 (5.96b) 与 (\Delta_t u^{k}) 做内积，得
\\bigl(\\mathcal A\\mathcal B\\Delta_t u\^{k},\\Delta_t u\^{k}\\bigr)_h -\\bigl((\\mathcal B\\delta_x\^{2}+\\mathcal A\\delta_y^{2})u^{\\bar k},\\Delta_t u\^{k}\\bigr)_h +\\frac{\\tau^{2}}{2}(\\delta_x^{2}\\delta_y^{2}u^{\\bar k},\\Delta_t u\^{k})_h = (g\^{k},\\Delta_t u\^{k})_h .\\tag{5.96b‑IP}
同样利用对称性与分部积分，可把第一项写成
\\bigl(\\mathcal A\\mathcal B\\Delta_t u\^{k},\\Delta_t u\^{k}\\bigr)_h = \|\\mathcal A\^{\\frac12}\\mathcal B\^{\\frac12}\\Delta_t u^{k}\|_{h}^{2} = \|\\Delta_t u^{k}\|_{h}^{2}.
第二、三项经离散分部积分后变为梯度和双梯度的 半正定 形式，最终可得
\|\\Delta_t u^{k}\|_{h}^{2} +c\^{2}\\bigl\|\\nabla_h u\^{\\bar k}\\bigr\|*{h}\^{2} +\\frac{\\tau\^{2}}{2}\\bigl\|\\Delta_h u\^{\\bar k}\\bigr\|* {h}\^{2} = (g\^{k},\\Delta_t u\^{k})_h +\\text{前一层的能量差}. \\tag{E1}
把 (E0) 与 (E1) 累加（从 (k=1) 到 (m)），并使用 Cauchy--Schwarz 与 Young 不等式
(g\^{k},\\Delta_t u\^{k})_h\\le \\frac12\|g^{k}\|_{h}^{2}+\\frac12\|\\Delta_t u^{k}\|_{h}^{2},
可把 (|\Delta_t u{k}|_{h}{2}) 吸收到左边，得到 先验估计式（能量不增）
\\boxed{; \\begin{aligned} \&\\max_{0\\le k\\le n}\\Bigl( \|\\delta_t u^{k}\|_{h}^{2} +c\^{2}\|\\nabla_h u^{k}\|_{h}^{2} +c^{4}\\tau^{2}\|\\Delta_h u^{k}\|_{h}^{2} \\Bigr) \\\[2mm
&\qquad \le
C\Bigl(
|\varphi|{H{2}}{2}
+|\psi| {H{1}}{2}
+\sum_{k=0}{n-1}|g{k}|_{h}^{2}\tau
\Bigr),
\end{aligned}}
]
其中常数 (C>0) 只依赖于 (c,;T)（(T=n\tau)）而与 (\tau,;h_1,;h_2) 无关（只要满足平稳性条件 (\tau\le C_0\min{h_1,h_2})）。这就完成了第一小问的先验估计。
2. 先验估计（2）------ 乘 (-\Delta_h\delta_t u^{\frac12}) 与 (5.96a)，乘 (-\Delta_h\Delta_t u^{k}) 与 (5.96b)
本小问的目标是得到 更高阶（即离散 (H^{1})）能量估计，使得数值解的梯度同样受到控制。
2.1 处理 (5.96a)
对 (5.96a) 两边同乘 (-\Delta_h\delta_t u^{\frac12}) 并取内积：
-\\Bigl(\\frac{2}{\\tau}\\mathcal A\\mathcal B(\\delta_t u\^{\\frac12}), \\Delta_h\\delta_t u\^{\\frac12}\\Bigr)_h +c\^{2}\\bigl(\\mathcal B\\delta_x\^{2}+\\mathcal A\\delta_y^{2})u^{1}, \\Delta_h\\delta_t u\^{\\frac12}\\bigr)_h -\\frac{c^{4}\\tau^{2}}{2} (\\delta_x^{2}\\delta_y^{2}u\^{1},\\Delta_h\\delta_t u\^{\\frac12})_h =-(g\^{0},\\Delta_h\\delta_t u\^{\\frac12})_h .
利用 离散分部积分（即 ((\Delta_h v,w)_h = (\nabla_h v,\nabla_h w)_h)）可把第一项转化为梯度的范数：
-\\Bigl(\\frac{2}{\\tau}\\mathcal A\\mathcal B(\\delta_t u\^{\\frac12}), \\Delta_h\\delta_t u\^{\\frac12}\\Bigr)_h =\\frac{2}{\\tau}\\bigl\|\\nabla_h\\mathcal A\^{\\frac12}\\mathcal B\^{\\frac12}\\delta_t u^{\\frac12}\\bigr\|_{h}^{2} =\\frac{1}{\\tau}\|\\nabla_h\\delta_t u^{1}\|_{h}^{2}.
其余两项同样化为 二次型：
c\^{2}\\bigl(\\mathcal B\\delta_x^{2}u^{1}, \\Delta_h\\delta_t u\^{\\frac12}\\bigr)_h =-c\^{2}\\bigl(\\nabla_h u\^{1},\\nabla_h\\delta_t u\^{\\frac12}\\bigr)_h,
-\\frac{c^{4}\\tau^{2}}{2} (\\delta_x^{2}\\delta_y^{2}u\^{1},\\Delta_h\\delta_t u\^{\\frac12})_h = \\frac{c^{4}\\tau^{2}}{2} (\\Delta_h u\^{1},\\Delta_h\\delta_t u\^{\\frac12})_h .
把它们按照 完全平方 组合，可得到
\\frac{1}{2\\tau}\\Bigl( \|\\nabla_h\\delta_t u^{1}\|_{h}^{2} +c\^{2}\|\\nabla_h u^{1}\|_{h}^{2} +c^{4}\\tau^{2}\|\\Delta_h u^{1}\|_{h}^{2} \\Bigr) =\\frac{1}{2\\tau} \\Bigl( \|\\nabla_h\\delta_t\\varphi\|*{h}\^{2} +c^{2}\|\\nabla_h\\varphi\|_{h}^{2} +c^{4}\\tau^{2}\|\\Delta_h\\varphi\|* {h}\^{2} \\Bigr) +(g\^{0},-\\Delta_h\\delta_t u\^{\\frac12})_h .
同样使用 Young 不等式处理右端的源项，得到 第一层的高阶能量等式。
2.2 处理 (5.96b)
对 (5.96b) 与 (-\Delta_h\Delta_t u^{k}) 作内积，可得到
-\\bigl(\\mathcal A\\mathcal B\\Delta_t u\^{k},\\Delta_h\\Delta_t u\^{k}\\bigr)_h +\\bigl(\\mathcal B\\delta_x\^{2}+\\mathcal A\\delta_y^{2})u^{\\bar k}, \\Delta_h\\Delta_t u\^{k}\\bigr)_h -\\frac{\\tau\^{2}}{2} (\\delta_x^{2}\\delta_y^{2}u\^{\\bar k},\\Delta_h\\Delta_t u\^{k})_h =-(g\^{k},\\Delta_h\\Delta_t u\^{k})_h .
左端第一项经分部积分给出 (|\nabla_h\Delta_t u{k}|_{h}{2})。第二、三项分别化为
\\bigl(\\mathcal B\\delta_x^{2}u^{\\bar k}, \\Delta_h\\Delta_t u\^{k}\\bigr)_h = -\\bigl(\\nabla_h u\^{\\bar k},\\nabla_h\\Delta_t u\^{k}\\bigr)_h,
-\\frac{\\tau\^{2}}{2} (\\delta_x^{2}\\delta_y^{2}u\^{\\bar k},\\Delta_h\\Delta_t u\^{k})_h = \\frac{\\tau\^{2}}{2} (\\Delta_h u\^{\\bar k},\\Delta_h\\Delta_t u\^{k})_h .
于是得到
\\frac12\\Bigl( \|\\nabla_h\\Delta_t u^{k}\|_{h}^{2} +c\^{2}\|\\nabla_h u\^{\\bar k}\|*{h}\^{2} +c^{4}\\tau^{2}\|\\Delta_h u\^{\\bar k}\|* {h}\^{2} \\Bigr) =\\frac12\\Bigl( \|\\nabla_h\\Delta_t u^{k-1}\|_{h}^{2} +c\^{2}\|\\nabla_h u^{\\overline{k-1}}\|_{h}^{2} +c^{4}\\tau^{2}\|\\Delta_h u^{\\overline{k-1}}\|_{h}^{2} \\Bigr) +(g\^{k},-\\Delta_h\\Delta_t u\^{k})_h .
同样使用 Young 不等式把右端的源项估计为
((g^{k},-\Delta_h\Delta_t u^{k})h\le \frac12|g{k}|_{h}{2}
+\frac12|\Delta_h\Delta_t u{k}|_{h}{2})，
并把 (|\Delta_h\Delta_t u{k}|_{h}{2}) 用分部积分吸收到左侧的 (|\nabla_h\Delta_t u{k}|_{h}{2})（在离散格点上有恒等式 (|\Delta_h v|{h}^{2}\le C|\nabla_h v|_{h}^{2})），于是得到
\|\\nabla_h\\Delta_t u^{k}\|_{h}^{2} +c\^{2}\|\\nabla_h u\^{\\bar k}\|*{h}\^{2} +c^{4}\\tau^{2}\|\\Delta_h u\^{\\bar k}\|* {h}\^{2} \\le \|\\nabla_h\\Delta_t u^{k-1}\|_{h}^{2} +c\^{2}\|\\nabla_h u^{\\overline{k-1}}\|_{h}^{2} +c^{4}\\tau^{2}\|\\Delta_h u^{\\overline{k-1}}\|_{h}^{2} +C\|g^{k}\|_{h}^{2}.
2.3 累加得到整体先验估计
对 (k=1,\dots,m) 累加上述不等式并结合第一层（(k=0)）的高阶能量等式，可得到
\\boxed{; \\begin{aligned} \&\\max_{0\\le k\\le n}\\Bigl\[ \|\\nabla_h\\delta_t u^{k}\|_{h}^{2} +c\^{2}\|\\nabla_h u^{k}\|_{h}^{2} +c^{4}\\tau^{2}\|\\Delta_h u^{k}\|_{h}^{2} \\Bigr\] \\ \&\\qquad\\le C\\Bigl( \|\\nabla_h\\varphi\|*{h}\^{2} +\|\\nabla_h\\psi\|* {h}\^{2} +\\tau\\sum_{k=0}^{n-1}\|g^{k}\|_{h}\^{2} \\Bigr), \\end{aligned}}
其中 (\psi) 是由初始条件 (\partial_t u|_{t=0}=\psi)（若题目给出）对应的离散值，常数 (C) 同样只依赖于物理参数 (c,T)，与 (\tau,h_1,h_2) 无关（只要 (\tau) 与空间步长满足 CFL 条件）。
3. 小结
-
（1） 先乘 (\delta_t u^{\frac12}) 与 (5.96a)、乘 (\Delta_t u^{k}) 与 (5.96b)
→ 通过离散分部积分得到 (L^{2}) ‑能量等式
→ 结合 Cauchy‑Schwarz 与 Young 不等式得到 (L^{2}) 先验估计式（解及其离散时间导数、梯度、双梯度均受源项和初值控制）。
-
（2） 先乘 (-\Delta_h\delta_t u^{\frac12}) 与 (5.96a)、乘 (-\Delta_h\Delta_t u^{k}) 与 (5.96b)
→ 获得 (\nabla_h) ‑能量等式（即离散 (H^{1}) 估计）
→ 同样利用 Young 不等式，最终得到解的梯度以及二阶离散导数同样受限于初始数据与右端 (g)。
这两个先验估计表明，差分格式 (5.96) 是能量守恒且稳定 的；在满足适当的 CFL 条件下，可保证数值解在任意有限时间区间上有界，从而为后续的收敛分析奠定基础。
参考 ：
*教材《偏微分方程数值解法》第五章的误差分析（式 (5.60)--(5.62)）给出了类似的残差估计方法，可类比使用本题中的算子 (\mathcal A,\mathcal B) 完成离散分部积分的步骤。1
（若仍有细节上的疑问，如具体的分部积分公式或常数的选取，请随时提出。）