【知识讲解】二叉搜索树的相关知识与实现

前言

[Part1. 二叉搜索树核心定义](#Part1. 二叉搜索树核心定义)

[Part1.1. 查找效率特性](#Part1.1. 查找效率特性)

[Part1.2. 不同查找容器对比](#Part1.2. 不同查找容器对比)

[Part1.3. 重复键值两种处理策略](#Part1.3. 重复键值两种处理策略)

[Part2. 二叉搜索树四大核心操作](#Part2. 二叉搜索树四大核心操作)

[Part2.1. 节点插入](#Part2.1. 节点插入)

[Part2.1. 中序遍历特性](#Part2.1. 中序遍历特性)

[Part2.2. 节点删除](#Part2.2. 节点删除)

[Part3. key/value二叉搜索树](#Part3. key/value二叉搜索树)

[Part4. 结语](#Part4. 结语)

前言

二叉搜索树作为二叉树的特化升级版，在查找上有着很大的优势，但同时也有着不小的问题，接下来让我们来看看吧。

let's go!!!!!!!!!

Part1. 二叉搜索树核心定义

二叉搜索树（Binary Search Tree，简称 BST）是满足特殊排序规则的二叉树：

规则<1>：节点左子树所有节点值 ≤ 当前根节点值。

规则<2>：节点右子树所有节点值 ≥ 当前根节点值。

规则<3>：左右子树本身也必须是二叉搜索树。

Part1.1. 查找效率特性

=》理想平衡 BST：查找次数等于树的高度 h，时间复杂度 O(logN)

=》极端不平衡 BST（链式退化）：最坏退化成单链表，查找复杂度劣化为 O(N)。

优化方案：平衡二叉搜索树（AVL树、红黑树，（C++ STL 的 map/set 底层为红黑树）），多叉平衡树 B 树（企业级通常会有一千多个分支）。

Part1.2. 不同查找容器对比

除 BST 外，常用查找容器：

1. 哈希表：查询速度极快，O（1）级别。

2. 有序数组+二分查找：O（logN）查找，插入、删除操作效率极低，不适合频繁增删场景。

Part1.3. 重复键值两种处理策略

二叉搜索树对相同数值节点分两种实现方案，对应 STL 容器：

1. 去重模式：不允许插入重复值，对应 std::set / std::map

2. 允许重复：支持存储多个相同 key，对应 std::multiset / std::multimap

Part2. 二叉搜索树四大核心操作

完整实现需要封装四大接口：插入、查找、遍历、删除

Part2.1. 节点插入

节点的插入遵循二叉搜索树的规则来插入就好，接下来来看看代码吧：

cpp 复制代码

		bool Insert(const K& key)
		{
			if (_root == nullptr)//当根节点为空时 创建根节点
			{
				_root = new Node(key,value);
				return true;
			}
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else//去重操作
				{
					return false;
				}
			}
			cur = new Node(key);
			if (parent->_key > key)
			{
				parent->_left = cur;
			}
			else
			{
				parent->_right = cur;
			}
			return true;
		}

Part2.1. 中序遍历特性

二叉搜索树中序遍历（左→根→右），结果严格升序；
升序顺序完全取决于插入数据的大小关系，与插入先后顺序无关。
cpp 复制代码
void InOrder()const//由于递归需要根节点 但是由于封装又不能暴露 于是就搞一个中介函数来作为其访问根节点的媒介
{
	_InOrder(_root);
	std::cout << std::endl;
}

void _InOrder(Node* root)const
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}
	_InOrder(root->_left);
	std::cout << root->_key<<" ";
	_InOrder(root->_right);
}

Part2.2. 节点删除

删除是 BST 最难实现的接口，按待删除节点的子树存在情况分为 4 类，分别是：

<1>. 左右子树均为空。 <2>. 只有右子树，左子树为空。

<3>. 只有左子树，右子树为空。 <4>. 左右子树均不为空。

**p.s.**其中<1>可以归属与<2>或者<3>，就当成其有一个为nullptr的左或者右节点就好了。

对于<2>，我们使用parent指向待删除结点的父亲节点，cur则指向待删除结点，我们先判断cur是parent的左子还是右子，在让parent连接cur的右节点。（<3>同理）。

对于<4>,我们有两种方案(替换法)：

=》方案A：取左子树最大值（左树最右节点），替换待删节点的值，再删除该最大值节点

=》方案B：取右子树最小值（右树最左节点），替换待删节点的值，再删除该最小值节点
我们来看看代码，同时看看其中的细节吧：
cpp 复制代码
		bool erase(const K& key)
		{
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key > key)//查找
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else
				{
					if (cur->_left == nullptr)//无左节点场景
					{
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else
						{
							if (parent->_left == cur)
							{
								parent->_left = cur->_right;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_right;
							}
						}
						delete cur;
					}
					else if (cur->_right == nullptr)//无右节点场景
					{
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else
						{
							if (parent->_left == cur)
							{
								parent->_left = cur->_left;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_left;
							}
						}
						delete cur;
					}
					else
					{
						Node* repalce = cur->_right;
						Node* repalce_parent = cur;//将这个设为cur为根节点的场景
						while (repalce->_left != nullptr)
						{
							repalce_parent = repalce;
							repalce = repalce->_left;
						}
						cur->_key = repalce->_key;//替代
						if (repalce_parent->_left == repalce)//看看这个是左还是右 在连接
						{
							repalce_parent->_left = repalce->_right;
						}
						else
						{
							repalce_parent->_right = repalce->_right;
						}
						delete repalce;
					}
					return true;
				}
			}
			return false;
		}

Part3. key/value二叉搜索树

普通 BST 只存储单个数值，对应 set；而 map 采用 key-value 模型，适配业务中「唯一标识+附属数据」场景：

1. key：唯一排序标识
树的排序、查找、去重全部基于 key，key 不可修改，作为数据唯一区分依据。

2. value：附属业务数据
可自由修改，仅作为 key 附带的存储内容，不参与树的排序逻辑。

这个的实现与上述相似，只是多了一个value数值，我们来看看代码吧：