引言
- 数值计算中误差的来源与分类（截断误差、舍入误差）
- 算法稳定性与误差传播的关系
- 研究意义与应用场景（科学计算、工程仿真等）
理论基础
- 误差传播的数学模型
- 绝对误差与相对误差的定义
- 误差传递公式（如一阶泰勒展开近似）
- 条件数与数值稳定性
- 问题的条件数对误差放大的影响
- 向后误差分析与向前误差分析
常见算法的误差传播分析
- 线性代数运算
- 矩阵乘法中的误差累积
- 线性方程组求解（如高斯消元法的误差分析）
- 迭代算法
- 不动点迭代的误差传播
- 牛顿法中的数值稳定性问题
- 微分方程数值解
- 显式与隐式方法的误差传播对比
- 步长选择对稳定性的影响
误差控制与稳定性优化方法
- 高精度算术的使用（如双精度、多精度浮点数）
- 算法改进策略
- 数值稳定的算法设计（如避免大数相减）
- 预处理技术的应用（如矩阵条件数优化）
- 动态误差估计与自适应调整
- 基于残差的误差控制方法
- 自适应步长策略