一、先理解问题：什么是背包问题？
想象一个场景：
你去露营，带了一个背包，背包最多能装 5公斤 的东西。
现在有 3 件物品：
帐篷：3公斤，价值 4 元（假设是租的价格）
睡袋：2公斤，价值 3 元
食物：4公斤，价值 5 元
问题：你该怎么选，让总价值最大，但不超过 5 公斤？
这就是01背包问题（0和1表示：要么拿，要么不拿，不能拿一半）。
最笨的方法（暴力枚举）：把所有组合都试一遍。
选法 总重量 总价值 可行？
什么都不拿 0 0 ✓
只拿帐篷 3 4 ✓
只拿睡袋 2 3 ✓
只拿食物 4 5 ✓
帐篷+睡袋 5 7 ✓
帐篷+食物 7 9 ✗（超重）
睡袋+食物 6 8 ✗（超重）
全拿 9 12 ✗（超重）
最好的选法：帐篷 + 睡袋 = 总价值 7
如果物品很多（比如 100 件），2¹⁰⁰ 种组合，电脑也算不出来。
所以需要动态规划来聪明地计算。
1、01背包：每个物品只能选一次
这是最基础的背包类型，其他背包都可以看作它的变体。
场景：有N个物品，每个物品只有一个，选或不选。背包容量为M，每个物品有体积vi和价值wi，求最大价值。
核心思想：用dpj表示容量为j的背包能装的最大价值。考虑第i个物品时，只有两种选择：
不选：dpj保持不变（继承前i-1个物品的结果）
选：dpj = dpj - v\[i] + wi（腾出空间装它）
状态转移方程：dpj = max(dpj, dpj - v\[i] + wi)
关键细节------为什么容量要逆序遍历？
因为每个物品只能取一次，逆序保证dpj - v\[i]还是"前i-1个物品"的状态，而不是已经拿过第i个物品的状态。如果正序，可能会出现一个物品被重复使用多次的情况。
// 01背包核心代码
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = M; j >= vi; j--) { // 逆序！
dpj = max(dpj, dpj - v\[i] + wi);
}
}
- 完全背包：每个物品无限供应
场景：每个物品有无限个，可以随便取。
核心变化：既然物品可以无限取，dpj - v\[i]应该允许"已经拿过第i个物品"，所以容量正序遍历。
// 完全背包核心代码
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = vi; j <= M; j++) { // 正序！
dpj = max(dpj, dpj - v\[i] + wi);
}
}
直观理解：01背包倒序是"怕自己拿自己"，完全背包正序是"允许反复拿自己"。