树形DP进阶：让动态规划在树上“生根发芽”

引言

动态规划（DP）是算法竞赛中最灵活也最强大的工具之一。当DP遇到树这种数据结构时，就诞生了树形DP------在树上做动态规划。

树形DP的基础模型很简单：从叶子节点向上递推，用子节点的信息更新父节点。但实际题目往往不会这么直接------"求树上距离每个节点最远的节点""在树上做背包选课""每个节点都可以作为根，求全局最优"......这些进阶问题需要更精巧的DP设计。

本文将从树形DP的基础出发，重点讲解两个进阶方向：树上背包 （在树上做分组背包）和换根DP（让每个节点都成为根，求全局最优）。

如果把基础树形DP比作"从树叶到树根收集信息"，那么树上背包就是 "在收集信息时还要做选择" ，而换根DP则是 "不仅要从下往上收集，还要从上往下传递" 。三种能力合在一起，才能应对树上DP的全部挑战。

前置知识

在学习树形DP进阶之前，你需要掌握以下基础：

树的基本概念：节点、边、根、子树、叶子节点。
深度优先搜索（DFS） ：树形DP的核心遍历方式。
基础树形DP：如"没有上司的舞会"------每个节点选或不选，用子节点更新父节点。
背包DP：0/1背包、分组背包的基本概念。
递归与记忆化：树形DP通常用递归实现。

第一章：树上背包------在树上"选课"

1.1 问题引入：有依赖的背包

普通的背包问题是：有若干个物品，每个物品有重量和价值，在容量限制下选择物品使总价值最大。

树上背包 在此基础上增加了一个约束：物品之间存在依赖关系------要选择某个物品，必须先选择它的父节点。

最经典的例子是"选课"：每门课可能有先修课，要选"数据结构"必须先选"程序设计基础"。如果把课程之间的依赖关系画成一棵树，问题就变成了"在树上选择若干节点，必须选父节点才能选子节点"。

1.2 状态设计

设 dp[u][j] 表示：在以节点u为根的子树中，选择j个节点（且必须选择u本身）所能获得的最大价值。

关键约束 ：因为必须选u才能选子树中的其他节点，所以 dp[u][j] 中 j 至少为1（至少选u自己）。

1.3 转移方程

对于节点u，我们逐个处理它的每个子节点v，像做分组背包一样，把子树的"选课方案"当作一组物品：

text

复制代码

初始化 dp[u][1] = val[u]（只选u自己）
对于每个子节点 v：
    对于 j 从 m 到 1（当前已选的课程数，倒序）：
        对于 k 从 1 到 size[v]（在v的子树中选k门课）：
            dp[u][j+k] = max(dp[u][j+k], dp[u][j] + dp[v][k])

代码框架：

cpp

复制代码

void dfs(int u, int fa) {
    sz[u] = 1;
    dp[u][1] = val[u];  // 只选自己
    for (int v : children[u]) {
        if (v == fa) continue;
        dfs(v, u);
        // 背包合并：倒序枚举容量
        for (int j = min(m, sz[u]); j >= 1; j--) {
            for (int k = 1; k <= sz[v] && j + k <= m; k++) {
                dp[u][j+k] = max(dp[u][j+k], dp[u][j] + dp[v][k]);
            }
        }
        sz[u] += sz[v];
    }
}

1.4 复杂度分析

树上背包的时间复杂度是 O(n·m²) 在最坏情况下，但实际运行中，由于每次合并两个子树，总复杂度通常为 O(n·m) （每个节点对在容量维度上被考虑一次）。

1.5 经典例题：洛谷 P2014 选课

题目描述：有n门课，每门课有学分，有些课有先修课（最多一门）。在最多选m门课的条件下，如何选课使总学分最大？

解题思路：

构建树：每门课是一个节点，先修课是父节点。
如果有多棵树（森林），添加一个虚拟根节点0，学分0，将森林变成一棵树。
运行树上背包，答案就是 dp[0][m+1]（因为虚拟根节点也占了一门课）。

核心代码（来自）：

cpp

复制代码

// dp[x][j]：在以x为根的子树中选j门课的最大学分
// 转移：将子节点y的子树作为一个分组，做分组背包
for (int j = m; j >= 0; j--) {
    for (int k = 1; k <= sz[y]; k++) {
        if (j + k <= m) {
            dp[x][j+k] = max(dp[x][j+k], dp[x][j] + dp[y][k]);
        }
    }
}

第二章：换根DP------让每个节点都成为"根"

2.1 问题引入：不定根的最优解

很多树形DP问题会问："对于树上的每个节点，求以该节点为根时的某个答案"。

最朴素的做法是：枚举每个节点作为根，分别做一次树形DP，时间复杂度 O(n²) 。当n达到10⁵时，这显然不可行。

换根DP（也称二次扫描法） 通过两次DFS 将复杂度优化到 O(n) ：

第一次DFS：任选一个根（如节点1），计算以它为根的答案。
第二次DFS：利用父节点的答案推导出子节点作为根时的答案。

如果把基础树形DP比作"从下往上递推"，换根DP就是 "先从上往下推一次，再从下往上推一次，两次信息合在一起才是完整答案"。

2.2 换根DP的核心思想

换根DP的关键是理解：当根从父节点u转移到子节点v时，答案会发生什么变化？

对于大多数问题，变化只涉及两部分：

v的子树：所有节点的深度都减少1（因为根下移了一层）。
v的子树之外：所有节点的深度都增加1（因为离根远了一层）。

如果能快速计算出这两个部分的贡献，就能在O(1)时间内从 ans[u] 推导出 ans[v]。

2.3 经典例题：洛谷 P3478 STA-Station

题目描述 ：给定一棵n个节点的树，求一个节点，使得以该节点为根时，所有节点的深度之和最大。

解题思路：

第一次DFS（计算基础信息） ：

任选1为根。
计算每个节点的子树大小 sz[u]。
计算以1为根时的深度之和 sum[1]。

第二次DFS（换根转移） ：

假设已知以u为根的深度之和 sum[u]。
当根从u转移到子节点v时：
- v的子树（大小 sz[v]）中所有节点的深度都减少1。
- 其他节点（数量 n - sz[v]）的深度都增加1。
因此转移公式为：

sum $v$ =sum $u$ −sz $v$ +(n−sz $v$ )sum $v$ =sum $u$ −sz $v$ +(n−sz $v$ )

化简得：

sum $v$ =sum $u$ +n−2×sz $v$ sum $v$ =sum $u$ +n−2×sz $v$

代码框架：

cpp

复制代码

void dfs1(int u, int fa) {
    sz[u] = 1;
    for (int v : children[u]) {
        if (v == fa) continue;
        dfs1(v, u);
        sz[u] += sz[v];
        sum[1] += sz[v];  // 以1为根时，每条边对深度的贡献
    }
}

void dfs2(int u, int fa) {
    for (int v : children[u]) {
        if (v == fa) continue;
        sum[v] = sum[u] + n - 2 * sz[v];  // 换根转移
        dfs2(v, u);
    }
}

最终，sum[i] 就是以i为根时的深度之和，取最大值对应的节点就是答案。

2.4 换根DP的通用模板

换根DP的通用思路可以总结为：

第一次DFS：计算每个节点的子树信息（大小、贡献等）。
第二次DFS ：从父节点向子节点转移，用 ans[fa] 推导 ans[child]。

思考换根DP时，问自己两个问题：

根节点的答案如何计算？（第一次DFS）
怎么将答案从父亲传向儿子？（第二次DFS）

第三章：树形DP进阶的综合应用

3.1 树上背包 + 换根DP

有些题目会同时用到树上背包和换根DP。例如："对于每个节点，求以该节点为根时，在树上做背包的最优值"。

思路是：

先任选一个根，做树上背包，得到 dp[root]。
用换根DP的思想，将 dp 信息从父节点传递到子节点。
对每个节点，合并"来自父节点方向"和"来自子树方向"的信息。

3.2 常见题型速查

题型	核心方法	典型例题
树上选点（选/不选）	基础树形DP	P1352 没有上司的舞会
树上背包（选课）	树上背包	P2014 选课
每个节点作为根的最优值	换根DP	P3478 STA-Station
树上距离最远点	换根DP（维护最长/次长链）	P10962 Computer
树上染色 / 边权贡献	树上背包 + 特殊贡献计算	$HAOI2015$ 树上染色

总结

树形DP的进阶之路，可以概括为三个层次：

层次	能力	代表技术
第一层	从叶子向根递推	基础树形DP（选/不选）
第二层	在递推时做选择	树上背包（分组背包合并）
第三层	让每个节点都能成为根	换根DP（两次扫描）

学习树形DP进阶的三个关键点：

理解树上背包的"分组"本质：每个子树是一组物品，在父节点做分组背包合并。
掌握换根DP的"两次扫描"套路：第一次从下往上，第二次从上往下。
学会分析"换根时的变化量"：根从父节点转移到子节点时，哪些部分的贡献变了？变化量是多少？