第【48期】-- 通信问题的cvx教程之基础篇【一】-- MU-MIMO下行功率分配问题

1、最近有大量小伙伴在问关于通信领域里面CVX的代码编写问题，因此计划新开系列文章，讲解无线通信优化问题中关于MATLAB CVX工具的使用。

2、计划前期先写经典的简单通信问题的CVX求解以打实基础，后期再针对目前热门的通信方向，如RIS，NOMA，UAV，ISAC等方向的复杂非凸问题的近似迭代后的CVX求解。

3、本文为第一期，讲解MU-MIMO系统简单的功率分配问题的CVX代码，感兴趣的朋友后续可以点个关注后续追更。

博主往期所写热门文章：
cvx安装
 无线通信中的优化问题+matlab中cvx的使用心得

文章目录

- [1 引言：为什么需要凸优化工具箱（CVX）？](#1 引言：为什么需要凸优化工具箱（CVX）？)
- [2 系统建模与问题表述](#2 系统建模与问题表述)
- - [2.1 系统建模](#2.1 系统建模)
  - [2.2 优化问题](#2.2 优化问题)
  - [2.3 非凸转凸](#2.3 非凸转凸)
- [3 CVX代码分析](#3 CVX代码分析)
- - [3.1 CVX基础语法](#3.1 CVX基础语法)
  - [3.2 CVX关键规则](#3.2 CVX关键规则)
  - [3.3 第2.3小节的凸问题CVX求解](#3.3 第2.3小节的凸问题CVX求解)
- [4 总结](#4 总结)

1 引言：为什么需要凸优化工具箱（CVX）？

在无线通信系统设计中，我们经常遇到资源分配、波束成形、功率控制等核心问题。这些问题通常可以建模为带有约束的优化问题，而其中的许多都可以转化为凸优化问题（如线性规划、二次规划、二阶锥规划等）。
CVX 是一个专为凸优化设计的建模系统，它允许我们用接近数学公式的自然语法描述优化问题，并自动调用底层求解器（如 SeDuMi、SDPT3、MOSEK）进行求解。对于通信领域的研究生和工程师，CVX 是快速验证算法性能的首选工具。
本文将通过一个具体的多用户多输入多输出（MU‑MIMO）下行链路功率最小化例子，教学 CVX 的基本用法。从问题建模开始，一步步编写、调试并解读代码，最终绘制出结果曲线。

2 系统建模与问题表述

2.1 系统建模

2.2 优化问题

2.3 非凸转凸

两边同时开平方，得到:

因此得到标准的二阶锥约束（左侧是 2-范数，右侧是仿射函数）

再通过引入辅助变量tao，则等价凸问题形式为：

3 CVX代码分析

3.1 CVX基础语法

本小节讲解CVX语法基础，会的可以直接跳到3.3节。

CVX核心用法是构建一个"规范"，通过几个关键部分来定义优化问题。

框架：cvx_begin + 声明变量 + 目标 + 约束 + cvx_end

命令	作用
`cvx_begin` / `cvx_end`	必须成对出现，包裹所有优化代码
`quiet`	不显示求解过程信息，优化速度（加在 `cvx_begin` 后面）
`sdp`	启用半正定规划模式（处理矩阵半正定约束时使用）

变量：用 variable 声明，用法如下表

代码	含义
`variable x`	声明实数标量
`variable x(n)`	声明 n 维实数向量
`variable X(m, n)`	声明 m×n 实数矩阵
`variable x(n) complex`	声明 n 维复数向量
`variable X(m, n) complex`	声明 m×n 复数矩阵
`variable x(n) nonnegative`	声明非负向量（x ≥ 0）
`variable X(n, n) symmetric`	声明实对称矩阵
`variable X(n, n) hermitian`	声明复 Hermitian 矩阵（即 X = X^H）
`variable X(n, n) semidefinite`	声明半正定矩阵（X ⪰ 0）

核心约束规则：整体约束必需为凸约束

3.2 CVX关键规则

CVX 不是任何数学表达式都能接受的。它要求整个问题必须是凸的。

规则1：目标函数必须符合凸性

minimize 后面的表达式必须是凸函数（如 norm、sum、quad_form）
maximize 后面的表达式必须是凹函数（如 log、geo_mean）

规则2：约束的左右结构有限制

（boyd的凸优化里面关于上镜图和下镜图有讲原因，感兴趣可搜）

约束类型	左侧要求	右侧要求	合法示例	非法示例
`<=`	凸	凹	`norm(x) <= 1`	`1 <= norm(x)`
`>=`	凹	凸	`1 >= norm(x)`	`norm(x) >= 1`
`==`	仿射	仿射	`A * x == b`	`norm(x) == 1`

常用函数的凹凸性：

类型	常见函数	说明
仿射	`+`, `-`, `*`, `/`（常数除法）, `real`, `imag`, `conj`, `trace`, `diag`, `sum`, `vec`, `reshape`	线性运算，既是凸也是凹
凸	`norm`, `norm(x, p)`, `quad_form`, `sum_square`, `max`，`abs`（实数），`square`, `inv_pos`, `log_sum_exp`	可用于 `<=` 的左侧或 `minimize`
凹	`log`, `log_det`, `geo_mean`, `sqrt`,	可用于 `>=` 的左侧或 `maximize`

3.3 第2.3小节的凸问题CVX求解

先上代码：

c 复制代码

clear; clc;
K = 4;                % 用户数
M = 4;                % 基站天线数
sigma = 1;            % 噪声标准差（噪声功率 = 1）
num_realizations = 10; % 每个 gamma 值下的随机信道次数（可调，大一点更平滑）

% 定义要扫描的 gamma 范围（线性值）
gamma_vec = 0.5:0.5:4;  % 从 0.5 到 8，步长 0.5
avg_power = zeros(size(gamma_vec)); % 存储每个 gamma 对应的平均功率

fprintf('开始扫描不同 gamma 值...\n');
for g_idx = 1:length(gamma_vec)
    gamma = gamma_vec(g_idx);
    power_sum = 0;
    valid_count = 0;
    
    for z = 1:num_realizations
        H = randn(K, M); % 随机信道
        
        cvx_begin quiet
            variable tau nonnegative
            variable W(M, K) complex
            minimize(tau)
            subject to
                for i = 1:K
                    % SINR 约束（含噪声）
                    norm([H(i,:) * W, sigma]) <= sqrt(1 + 1/gamma) * real(H(i,:) * W(:,i));
                    % 强制接收信号为实数且非负
                    imag(H(i,:) * W(:,i)) == 0;
                    real(H(i,:) * W(:,i)) >= 0;
                end
                norm(vec(W)) <= sqrt(tau);
        cvx_end
        
        % 检查求解状态，只累加成功求解的结果
        if strcmp(cvx_status, 'Solved')
            power_sum = power_sum + tau;
            valid_count = valid_count + 1;
        else
            % 若不可行，忽略该次实现（或可记录失败次数）
            % fprintf('gamma = %.2f, 第 %d 次不可行\n', gamma, z);
        end
    end
    
    if valid_count > 0
        avg_power(g_idx) = power_sum / valid_count;
        fprintf('gamma = %.2f, 有效次数 = %d, 平均功率 = %.4f\n', gamma, valid_count, avg_power(g_idx));
    else
        avg_power(g_idx) = NaN; % 若全部不可行，置 NaN
        fprintf('gamma = %.2f, 无可行的信道实现！\n', gamma);
    end
end

% 绘图：gamma vs 平均最小发射功率
figure;
plot(gamma_vec, avg_power, 'b-o', 'LineWidth', 2);
xlabel('SINR 门限 \gamma (线性值)');
ylabel('平均最小发射功率 (||W||_F^2)');
title(['M=', num2str(M), ', K=', num2str(K), ', 噪声功率 \sigma^2=', num2str(sigma^2), ...
       ', 每个\gamma下随机信道次数=', num2str(num_realizations)]);
grid on;

解释如下：

这里信道，噪声并没完全按照通信的要求来，随便给了一个数值，只为体现cvx的用法；
约束和目标函数的写法和第二章的理论完全一致；
为了克服信道随机性的影响，对同一个横坐标，多次进行随机信道，取结果的平均值以克服随机性的影响。（通信论文里面常用，也叫蒙特卡洛仿真）；
CVX代码讲解其实蕴含在理论解释部分以及代码注释部分，这里不再赘述了。

仿真如图：模拟不同SINR要求下的最小功率的变化，SINR要求越高，系统的总发射功率就越大，且增长率也越大，符合物理意义。

4 总结

写了很多年的CVX了，其实感觉不太好用，很多时候理论本身没问题，但是受限于数据的精度或者CVX要求的DCP规则，导致代码仿真出现异常，特别是涉及到迭代的的收敛性很难控制。奈何通信领域用传统凸优化主流还是得用matlab的CVX工具，所以没办法得学。
最近发现了一个叫AMPL的编程，也能够用来求解凸优化问题，我用了一段时间，感觉比CVX好用点，感兴趣也可留言后续会写学习笔记出来。
通信优化问题路漫漫其修远兮~