二分查找算法例题（一）

x的平方根

题目要求：

题目要求：给定一个整数x ，找到x的平方根（若x的算数平方根不为整数，则舍去小数部分，只保留整数部分作为x的平方根）

题目解析以及核心思路：

题目解析：

本题可以使用暴力解法完成即：从1开始枚举平方值，查找到第一个数i的平方>x时，i-1就是所求的平方根（若i的平方==x，则i为所求的平方根）

时间优化：

本题暴力解法的本质仍然是："查找一个数"，只不过是求其平方值来比较

因此对于查找算法，我们可以使用二分查找算法来解决这个问题。

解题准备：

二段性：

**i*i>x：**全是i*i大于x的，要缩小值，找到最接近x的平方

i*i<=x: 可能直接找到平方根，也可能找到i*i最接近x的最大数
核心思路：

通过使用二分查找算法在1-x之间找到符合的平方根（1-x的范围一定能找到这个数）

mid*mid<=x：不确定是否是最接近x的平方根/直接就是平方根，因此更新left但不能越过mid

mid*mid>x：一定不是结果，因此要缩小范围去寻找最接近小于x的平方根/等于x的平方根

细节补充：

这里出现了mid*mid 可能会出现溢出现象 ，因此我们要使用long类型来处理

left不能越过mid更新，因此选取点要选取靠右的点，防止"死循环"

代码实例：

java 复制代码

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
    long left=1;
    long right=x;
    if(x==0){
        return 0;
    }
    while(left<right){
        long mid=left+(right-left+1)/2;
        if(mid*mid>x){
            //尽量去找最小贴近于x的平方根
            right=mid-1;
        }
        if(mid*mid<=x){
            left=mid;
        }
    }
    return (int)left;
    }
}

总结：

本题因为要寻找第一个比x大的平方，因此使用查找左端点的二分查找模板

要注意取值范围溢出的现象！！！

搜索插入位置

题目要求：

题目要求：给定一个目标值， 在有序递增数组中去寻找其位置下标。如果没有搜索到该目标值，则寻找目标值按照顺序，应当插入到的下标返回。

题目解析以及核心思路：

题目解析：

题目存在两种结果情况：

能找到目标值==>直接返回下标

找不到目标值==>寻找插入位置==>第一次出现比"目标值"大的位置/数组末尾

二段性：小于target/大于等于target（因为插入要找到第一个比目标值大的数）
核心思路：

目标：寻找到>=目标值的第一个数/在末尾插入

第一种情况：因为x<目标值，因此要去右侧更大数的区间去寻找

第二种情况：因为不确认当前数是否是第一个大于数，因此要去左侧更小数去寻找，但是不能越过当前的数

细节补充：

1. 如果整个数组中元素都比它小，则在数组末尾插入 ，要在循环结束后判断left是否等于数组长度-1

2. 如果整个数组中元素都比它大，则在数组首位插入 ，就是简单的第二种情况，直接返回left即可

代码实例：

java 复制代码

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        int left=0;
        int right=nums.length-1;
        while(left<right){
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]<target){
                left=mid+1;
            }
            else{
                right=mid;
            }
        }
        //在末尾添加的情况
        if(nums[left]<target){
            return left+1;
        }
        return left;
    }
}

总结：

本题因为是寻找第一个比目标数大于/等于的数，则使用寻找左端点的二分查找模板套用即可

要在末尾进行判断解决，末尾添加元素的下标问题

山脉数组峰顶索引

题目要求：

题目要求：给定一个形似山脉的数组（先上升，再下降），寻找并且返回这个"山脉数组"的最大值

题目解析以及核心思路：

题目解析：

**二段性：**山脉数组的特点："一段上升，一段下降"

在上升段时，选定一个数，一定大于后一个数

在下降段时，选定一个数，一定小于后一个数
核心思路：

目标：找到山峰的索引（即数组最大值的下标）

在上升段时，不确定当前数是否是最大的， 因此left不越过当前数，向右去寻找更大的

在下降段时，当前数一定不是最大的，因此right向左侧去寻找更大的数

代码实例：

java 复制代码

class Solution {
    public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
        int left=0;
        int right=arr.length-1;
        while(left<right){
            int mid=left+(right-left+1)/2;
            if(arr[mid]>arr[mid-1]){
                left=mid;
            }
            else{
                right=mid-1;
            }
        }
        return left;
    }
}

总结：

分析出本题独特的二段性：一段上升，一段下降。再套用模板即可。