浅谈轮廓线DP
本文将粗略讲解轮廓线 DP 的基础原理、状态设计与实现模板，结合经典网格计数例题帮助读者掌握该算法。若文章存在错误或优化建议，欢迎在评论区留言指正。
前置说明
阅读本文需要掌握状压 DP 基础知识点。若无相关基础，可自行查阅前置资料，后续会更新状压 DP 基础讲解文章。
配套例题
建议结合两道经典网格 DP 例题实操学习，可快速吃透轮廓线 DP 核心逻辑：
P1879 USACO06NOV Corn Fields G：网格种草计数基础模板题
P1896 SCOI2005 互不侵犯：八方向限制拓展练习题
一、算法优势
轮廓线 DP 是面向网格、棋盘模型的状压 DP 进阶算法，能够解决普通逐行状压 DP 无法覆盖的网格计数问题，算法效率远高于朴素 DFS。
该算法采用逐格转移的方式，计算精度更高；仅存储局部轮廓线状态，时空复杂度更优，是 12 * 12 及以内小规模网格计数问题的最优解法。
二、核心解题思路
当题目网格中存在上下、左右相邻格子的放置限制、禁止相邻选取等约束条件时，可优先使用 轮廓线 DP 。本文将结合经典例题 P1879 USACO06NOV Corn Fields G 完整讲解算法原理与实现。
2.1 状态设计
定义记忆化 DP 数组 dpijs，其中 i,j 为当前遍历的网格坐标（下标从 0 开始），s 为轮廓线状态压缩值。
状态释义：s 的第 0 ~ j-1 位，记录当前第 i 行已遍历列的格子状态；s 的第 j 位及后续位数，记录上一行（i-1 行）对应列的格子状态。数组存储对应位置、对应轮廓线状态下的合法方案总数。
为方便理解状态转移逻辑，结合网格状态示例进行说明：
| 0 列 | 1 列 | 2 列 | 3 列 | 4 列 | 5 列 | 6 列 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 行 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 行 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
遍历至不同坐标时，轮廓线状态 s 的取值如下：
在 i=1,j=0 时，s=1010000。
在 i=1,j=1 时，s=1010000。
在 i=1,j=2 时，s=1010000。
在 i=1,j=3 时，s=1000000。
在 i=1,j=4 时，s=1001000。
在 i=1,j=5 时，s=1001000。
在 i=1,j=6 时，s=1001010。
在 i=1,j=7 时，s=1001011。
2.2 完整代码实现
为适配书写习惯，代码中将题目输入的行列数进行互换，最终代码可正常 AC 对应题目，全文下标从 0 开始。
cpp
// 全文使用 based-0
#include<iostream>
using namespace std;
#define mod 100000000
int dp[15][15][5000];
int k[15][15];
int n,m;
int set(int s,int i,int v) //设置状态
{
return v==0?s&(~(1<<i)):s|(1<<i);
}
int get(int s,int i) //获取状态
{
return (s>>i)&1;
}
int f(int i,int j,int s) //轮廓线DP
{
if(i==n)return 1; //全部dp完了，证明此方案有效，返回1
if(j==m)return f(i+1,0,s); //下一行
if(dp[i][j][s]!=-1)return dp[i][j][s]; //记忆化
int ans;
ans=f(i,j+1,set(s,j,0))%mod; //不种草一定可以，所以直接下一列
if(((j>0&&(!get(s,j-1))&&(!get(s,j)))||(j==0&&(!get(s,j))))&&k[i][j]) //当且仅当上一行和左边一列状态为0（没种菜），且这个地方可以种草
ans=(ans+f(i,j+1,set(s,j,1)))%mod;
return dp[i][j][s]=ans; //记忆化
}
int main()
{
cin>>n>>m; //n和m互换
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<m;j++)
cin>>k[i][j];
for(int i=0;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=m;j++)
for(int p=0;p<=(1<<12);p++)
dp[i][j][p]=-1; //标记为未访问
cout<<f(0,0,0);
return 0;
}看到这里可能你还不太理解，所以附上一个友情链接 。
三、学习总结
熟练掌握本文的状态设计思路与模板代码，并独立通过两道配套例题，即可掌握轮廓线 DP 的基础用法，能够独立解决基础网格限制类计数问题。
若对文章内容有补充建议、发现笔误或存在算法疑问，可在评论区留言或私信交流探讨。