傅里叶神经算子：AI如何学会求解物理定律

引言

想象一下，你是一位气象学家，需要预测未来7天的全球天气。传统方法告诉你：用超算集群跑上几天，也许能给你结果。但现在，有一种AI方法能在几秒钟内给出同样精度的预报，而且精度直逼欧洲中心的超算集群！

这就是傅里叶神经算子（Fourier Neural Operator, FNO）带来的革命------AI不再只是拟合离散数据点，而是真正学会了从任意初始条件映射到最终解的通用规律。

让我们从最基础的问题开始聊起：传统数值方法到底有什么问题？

Scene 1：AI如何求解物理方程

小可（瞪大眼睛）：博士博士！AI现在能直接求解物理方程了？

博士（推了推眼镜）：没错！AI不再只拟合离散数据点，而是直接学习物理定律！

在过去，AI在科学计算领域的角色相当有限------它只能去拟合一些离散的观测数据点，比如根据几个温度测量值去猜测中间的温度分布。但这种方式有一个根本性的问题：它并没有真正理解背后的物理规律。

而现在，前沿的研究方向是让AI直接去逼近物理定律的解，而不再是像以前一样只是去拟合一些离散的数据点。这带来的是对科学计算，包括我们对偏微分方程理解上的一个巨大变革！

让我们直接开始今天的讨论吧！

Scene 2：传统方法的致命弱点

小可（歪着头）：传统方法有什么问题？听起来很强大啊...

博士（严肃）：它只能找特定解！每次换条件都要重算，永远学不会通用规律！

什么是传统数值方法？

传统数值方法（如有限差分法FDM、有限元法FEM、有限体积法FVM）是求解偏微分方程（PDE）的经典工具。它们的核心思路非常直接：

离散化：把连续的物理空间切成一个个小格子（网格）
组装方程：在每个格点上写出近似方程
求解线性系统：用迭代法或直接法解出每个格点的值

听起来很完美对吧？但问题出在"每次"这两个字上。

致命弱点：只能得到"特定解"

传统方法每次只能耗费巨量算力去寻找一个特定解 。哪怕只是几何形状发生了一点变化，或者初始条件稍有不同，所有的这些计算全部都要重新跑一遍！

这就像是你请了一位世界级的数学家来解决一个微分方程，但他每次只能给你一个具体数字答案。如果你问"那如果初始条件换一下呢？"------他只能从头再来一遍。

更严重的是，这种方法很难帮我们揭示普遍的物理规律。它就是投入大量的算力去得到一个解，然后就没有然后了。你得到了答案，但没有学到任何可以泛化的知识。

Scene 3：分辨率陷阱

小可（惊讶）：64网格训练，128就崩溃？这也太脆弱了吧！

博士（无奈地笑）：传统CNN的权重就是绑定网格的，换个分辨率它就完全不认识了！

传统CNN的分辨率绑定问题

这是深度学习在科学计算中遇到的一个经典困境。假设你有一个AI模型，是在64×64的网格上训练好的。这个模型学到了每个网格位置对应的权重------第(1,1)位置应该给多少权重，第(1,2)位置又该给多少权重......

但是！当你把这个模型拿去处理128×128的输入时，它会直接崩溃！

为什么会这样？因为网络的权重是强绑定网格分辨率的。它学到的是一套针对64个位置的规则，你突然给它128个位置，它根本不知道该怎么处理多出来的那些位置。

FNO的分辨率无关性

而FNO则完全不同。它在粗网格上训练，在极细网格上依然能完美评估！这就是所谓的**分辨率无关（Resolution-Invariant）**特性。

这背后有一个深刻的数学原因------我们稍后会详细解释。简单说就是：FNO学到的不是"每个网格位置应该给多少权重"，而是"整个连续空间的映射关系是什么样的"。

Scene 4：通用逼近定理

小可（半信半疑）：AI理论上可以完美复刻任何PDE的解？真的吗？

博士（坚定）：是的！这就是神经算子的通用逼近定理！

神经算子的通用逼近定理

这是一个极其重要的理论结果：

∀连续算子 G:A→U,∃神经网络参数化的算子 Gθ 以任意精度逼近 G\forall \text{连续算子 } G: \mathcal{A} \to \mathcal{U}, \exists \text{神经网络参数化的算子 } \mathcal{G}_\theta \text{ 以任意精度逼近 } G∀连续算子 G:A→U,∃神经网络参数化的算子 Gθ 以任意精度逼近 G

翻译成白话就是：只要网络足够深、设计得当，AI在理论上可以完美复刻任何复杂偏微分方程（PDE）的解映射。

从离散点到连续映射

传统方法只能去拟合一些离散的数据点------就像用几个散落的点来猜测一条曲线。而FNO学习的是整个映射关系------它学到的是一条完整的连续曲线。

无论输入多密集的坐标x，带入同一套系数即可得出结果。这就是分辨率无关性的铁证！

这个理论保证给了我们信心：FNO不是某种经验性的技巧，而是有坚实数学基础的通用方法。

Scene 5：傅里叶变换的魔法

小可（不可思议）：全局积分变成逐点乘法？这也太神奇了吧！

博士（兴奋地）：这就是傅里叶变换最核心的魔法！在物理空间中极其昂贵且复杂的全局积分计算，一旦转换到傅里叶频率空间，就变成了极其廉价的逐点乘法！

物理空间的困境

在物理空间（空域）中，计算两个函数之间的全局相互作用需要做什么？

卷积（Convolution）！对于每个点x，你需要把它和所有其他点的值进行加权求和：

(f∗g)(x)=∫f(x−y)g(y)dy (f * g)(x) = \int f(x-y)g(y)dy (f∗g)(x)=∫f(x−y)g(y)dy

这是一个**O(N²)**复杂度的操作------对于N个点，每两个点之间都要做一次乘法。当N很大时（比如高分辨率的气象模拟，N可以是数百万），这个计算量是天文数字。

傅里叶空间的解放

但是呢，如果我们通过**傅里叶变换（FFT）**把数据从物理空间转换到频率空间，奇迹就发生了！

卷积定理告诉我们：

F{f∗g}=F{f}⋅F{g} \mathcal{F}\{f * g\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\} F{f∗g}=F{f}⋅F{g}

频域中的卷积变成了逐点乘法！每个频率分量独立处理，完全不需要考虑其他频率分量！

计算复杂度从O(N²)降到了O(N log N)------对于N=10000的情况，这意味着从1亿次操作降到约13万次操作！这是一个巨大的加速！

所以在满足平移不变性时，空域中极其复杂的"全局揉捏"在频域中仅仅是"对应项相乘"。

Scene 6：傅里叶层怎么工作

小可（困惑）：FFT进去IFFT出来？中间到底发生了什么？

博士（画图解释）：让我来拆解傅里叶层的完整运作流程！

傅里叶层的六步操作

傅里叶层是FNO的核心组件，它的运作流程是这样的：

输入 V_t(x)：从上一个傅里叶层传来的空间域函数值
FFT：通过快速傅里叶变换把它转到频域上面
线性变换：在频域中做一个线性变换去提取高频的信息（乘以可学习的权重矩阵 R）
高频截断 ：做一个截断，把它的高频的部分丢掉，只保留前面 k_max 个傅里叶模式
IFFT：再通过逆傅里叶变换把它转回到空间域
非线性激活 σ(·)：经过一个非线性的激活函数（如ReLU或GeLU），就得到了 V_{t+1}(x)

数学表达式为：

vt+1(x)=σ(Wvt(x)+F−1{Rk⋅F{vt(x)}}+c)v_{t+1}(x) = \sigma\left( W v_t(x) + \mathcal{F}^{-1}\{R_k \cdot \mathcal{F}\{v_t(x)\}\} + c \right)vt+1(x)=σ(Wvt(x)+F−1{Rk⋅F{vt(x)}}+c)

其中 W 是空域线性变换，R_k 是频域中的前k个傅里叶模式的可学习权重，c 是偏置项。

频域+空域的互补

这里有个关键设计：傅里叶层同时做频域操作和空域操作。

频域操作（FFT → R_k → IFFT）：捕捉全局的、长程的依赖关系
空域操作（W · v_t）：捕捉局部的特征

两者互补，使得FNO既能高效地处理全局信息，又不失局部细节的捕捉能力。这就是为什么FNO既高效又强大的原因！

Scene 7：高频截断的妙用

小可（担心）：丢掉高频信息不会丢失重要细节吗？

博士（微笑）：这个高频截断其实是非常巧妙的设计！

高频截断的双重作用

这里面的截断操作确实很有意思，它具体对整个网络的性能有两大影响：

第一，消除噪声。

在数值计算中，高频分量通常对应的是数值噪声和数值振荡。这些高频信息往往不是物理现象本身固有的，而是离散化和数值误差引入的。通过截断高频，我们可以自动滤除这些噪声。

第二，实现分辨率无关。

这是FNO能够做到分辨率无关的关键！通过只保留前k_max个傅里叶模式，网络学到的是一个更平滑的、更本质的规律------它学习的是连续函数的傅里叶级数展开的低频系数，而不是每个网格位置的离散权重。

所以它可以在不同的网格上面都表现得很好！

k_max：重要的超参数

高频截断中的k_max是一个非常重要的超参数：

k_max太小：会丢失重要的高频细节，模型欠拟合
k_max太大：会引入过多噪声，模型过拟合，且计算量增加

选择合适的k_max需要在精度和效率之间做权衡。

Scene 8：分辨率无关性

小可（恍然大悟）：原来如此！FNO学的是连续函数的系数，跟网格没关系！

博士（点头）：对！无论输入多密集的坐标，带入同一套系数即可得出结果！

为什么CNN做不到分辨率无关？

传统卷积神经网络（CNN）学到的是每个网格位置上的权重。假设在64×64的网格上训练，网络学到了4096个位置的权重。当你给它128×128的输入时，有16384个位置，但网络只有4096个权重------完全不匹配！

这就好比一个厨师只学会了做64人份的菜，突然来了128个客人，他完全不知道该怎么调整配方。

为什么FNO可以做到？

FNO学到的是傅里叶系数 ------也就是波的振幅和相位。这些系数描述的是一个连续的函数曲线，与网格密度完全无关！

网络学习的是连续曲线的"大骨架"（低频傅里叶系数 C_k，也就是波的振幅和相位）。这些是与网格无关的规律本身------这条平滑的曲线，不管你是用64个坐标还是128个坐标来采样它，代入同一套公式就能给出答案。

这就是分辨率无关性的铁证！

Scene 9：卷积定理的威力

小可（赞叹）：空域的揉捏等于频域的乘法？这个定理太美了！

博士（激动）：数学之美！这就是为什么FNO可以比传统方法快上万倍！

卷积定理：数学中最优美的定理之一

卷积定理是信号处理和数学分析中的一个基本定理：

f∗g=F−1{F{f}⋅F{g}}f * g = \mathcal{F}^{-1}\{\mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\}\}f∗g=F−1{F{f}⋅F{g}}

在满足平移不变性时，空域中极其复杂的"全局揉捏"在频域中仅仅是"对应项相乘"。

直观理解

想象你有一块面团（函数f），你想把它和另一种材料（函数g）均匀混合。

在空域中：你需要把面团的每一部分和材料的每一部分都混合一遍------这就是O(N²)的复杂度
在频域中：你只需要把对应的频率分量相乘------这就是O(N)的逐点操作

通过FFT和IFFT的O(N log N)开销，我们获得了巨大的加速。当N很大时（比如高分辨率科学计算中的数百万个网格点），这个加速比是惊人的。

Scene 10：复杂度对比

小可（震惊）：O(N²)降到O(N log N)？当N很大时差距巨大！

博士（自豪）：N增大时FFT优势指数级扩大，这就是万倍加速的来源！

复杂度对比

让我们看一个具体的对比：

N（网格点数）	O(N²) 操作次数	O(N log N) 操作次数	加速比
64² = 4,096	1,677 万	5 万	~330x
128² = 16,384	2.68 亿	23 万	~1,160x
256² = 65,536	42.9 亿	105 万	~4,080x
512² = 262,144	687 亿	474 万	~14,500x

当网格分辨率从64×64提高到512×512时，传统方法的计算量增加了256倍（从4096到262144的平方），而FNO只增加了约95倍（N log N的增长）。

所以这个就是为什么FNO可以比传统的方法快上万倍！

计算复杂度的意义

对于科学计算来说，这意味着：

更高分辨率的模拟成为可能：以前因为计算量太大而无法进行的精细模拟现在可以做了
实时仿真成为可能：以前需要几小时的模拟现在只需几秒
参数空间探索成为可能：以前只能算一个场景，现在可以算几千个场景

Scene 11：恐怖加速比

小可（不敢相信）：1000到10000倍加速？这还是科学计算吗？！

博士（认真）：是的！在保持工程可用精度的前提下，FNO实现了高达1000至10000倍的恐怖加速比！

具体数据

让我们看一个实际的例子------纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes Equation）的求解。

纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的核心方程，对于雷诺数500的这种复杂的流体：

传统方法 ：超算集群运行，可能需要几个小时
FNO推理 ：GPU单次前向传播，几秒内完成推理
加速比：1000到10000倍！

而且这是在保证工程上的精度的同时实现的。这不是牺牲精度换速度，而是在保持工程可用精度的前提下，实现了惊人的加速。

为什么能这么快？

原因有三：

FFT的高效性：从O(N²)降到O(N log N)
全局感受野：傅里叶层天然具有无限大的感受野，覆盖整个空间的全局信息
并行计算：神经网络的前向传播在GPU上可以高度并行化

Scene 12：PINN vs FNO

小可（好奇）：物理驱动和数据驱动到底有什么不同？

博士（耐心解释）：这是两种完全不同的AI求解PDE的范式，在基本思路和对数据的需求上非常不一样！

PINN：物理驱动的方法

**PINN（Physics-Informed Neural Networks）**的核心思路是：

把物理方程本身作为一个正则项直接放到损失函数里面。也就是说，网络不仅要拟合观测数据，还要满足物理方程的约束。

这使得PINN可以是无监督或半监督的------它更多是依赖于方程本身，对数据的需求量不是很大。只要有少量的观测点，PINN就可以通过物理方程的约束来推断出整个场的分布。

FNO：完全数据驱动的方法

FNO（Fourier Neural Operator）则是一个完全数据驱动的方法。它需要有大量的成对的输入输出数据------也就是很多很多组（初始条件 → 解）的数据对。

然后它去训练一个算子，学习从初始条件到解的映射关系。

两种方法的核心对比

维度	PINN	FNO
驱动方式	物理方程（PDE）驱动	数据驱动
数据需求	少量观测点即可	大量输入-输出对
训练方式	无监督/半监督	完全监督
Loss设计	数据损失 + PDE残差	预测-真实误差
泛化能力	物理约束保证合理性	数据量大时泛化强
适用场景	复杂几何、反问题	大量正向推演、实时预报

两种方法各有优势，选择取决于具体问题的特点。

Scene 13：训练一次，无限使用

小可（怀疑）：前期投入大但推理极快？这不是亏本买卖吧？

博士（笑）：恰恰相反！一旦训练好了，跨分辨率的零样本预测，推理速度极快，这才是真正的长期投资！

传统方法的困境

对于坐标拟合方法（如PINN），它如果遇到初始条件变了，是需要重新训练的。每次换一个初始条件，就要从头开始优化网络的权重。

这就像你每次去餐厅都要重新教厨师做菜------虽然厨师最后能做出来，但效率太低了。

FNO的长期价值

但是FNO虽然说一开始训练的成本很高，但是一旦训练好了之后，它支持跨分辨率的零样本预测！

所以它的推理速度是极快的------毫秒级！而且这个模型可以无限次使用，不需要重新训练。

投资回报分析

阶段	传统/PINN	FNO
单次训练/求解	分钟~小时	秒~分钟
训练/求解成本	每次都要	一次性投入
1000次推理	1000 × 小时	一次性训练 + 1000 × 秒
适用场景	少量求解	大量重复推演

如果你的应用场景需要做大量的正向推演（比如参数空间探索、实时预报、数字孪生），FNO的前期投入会在推理阶段迅速收回。

Scene 14：应用场景对比

小可（思考）：两种方法各有擅长？什么时候用哪个呢？

博士（清晰）：PINN适合复杂几何和反问题，FNO适合大量正向推演和实时预报！

PINN擅长的场景

复杂不规则几何：PINN不需要网格划分，直接处理任意几何形状
反问题：通过少量观测点反推未知的流体参数（如粘度、扩散系数等）
数据稀缺的场景：只有少量观测数据时，PINN可以利用物理方程约束来补充信息
需要严格物理约束：PINN将PDE残差直接作为损失项，保证解严格满足物理定律

FNO擅长的场景

大量正向推演：比如实时气象预报，需要频繁地用不同初始条件做预测
参数空间探索：在优化设计中，需要评估大量参数组合的效果
数字孪生仿真：需要实时或近实时地模拟物理系统的行为
多场景快速评估：在工程设计中，需要快速评估多个设计方案

那这个时候FNO就会有非常大的优势！

Scene 15：FNO家族生态

小可（兴奋）：U-FNO、Geo-FNO、PNO？FNO已经发展出家族了！

博士（自豪）：是的！这个领域这几年发展非常快！

FNO的衍生模型

从2020年FNO首次提出以来，研究者们已经发展出了一个丰富的模型家族：

U-FNO（U-Net FNO）

把U-Net的多尺度思想和FNO结合了。U-Net通过多尺度特征提取和跳跃连接，能够更好地捕捉不同尺度的物理现象。所以U-FNO在处理有很多不同尺度的物理现象时会特别强------比如湍流中同时存在大尺度涡旋和小尺度涡旋的情况。

Geo-FNO（Geometric FNO）

可以直接处理不规则的几何体！它是通过学习一个空间变形，把这个复杂的几何域映射到一个规则的域上面，然后再去做FNO。这解决了原始FNO只能处理规则网格的局限。

PNO（Physics-informed Neural Operator）

把物理方程的残差直接加到了损失函数里面。所以它可以用更少的数据就训练出一个比较靠谱的模型。这是物理驱动和数据驱动的巧妙结合。

Foundation Models

现在也有一些像基础大模型这样的思路------通过大量的不同的PDE做预训练，然后让模型能够有更好的泛化能力，能够去适应各种各样的问题。

这个领域的发展速度令人惊叹！

Scene 16：Rollout挑战

小可（担忧）：误差会指数级放大？这不是要崩溃吗！

博士（冷静）：连续滚动推演确实有严峻挑战，但研究者们在积极解决！

什么是Rollout？

Rollout指的是用训练好的FNO模型进行连续的时间步推演------用t时刻的预测结果作为t+1时刻的输入，依次类推，模拟整个时间演化过程。

挑战：误差放大

在面对分布外的数据时，相变极其微小的误差会不可逆地急剧放大。

当前的算子多擅长高维空间的"智能插值"，但在超大规模复杂流体模拟中，FNO的连续滚动推演（Rollout）时，单步极微小的误差会不可避免地急剧放大，易导致预测崩溃。

目前的局限

分布内插值能力强，分布外推弱：FNO在训练数据分布内表现优秀，但面对未见过的极端条件时可能失效
长期Rollout误差累积：每一步都有小误差，累积起来会越来越大
相变等极端场景：在流体从层流到湍流的相变等极端情况下，模型容易崩溃
超大规模模拟仍有性能瓶颈

未来方向

混合方法：FNO + 传统数值方法，用FNO做粗网格快速预估，用传统方法做精细修正
物理约束FNO：在FNO的损失中加入PDE残差，保证预测满足物理约束
自适应Rollout：当检测到误差累积到一定程度时，切换回传统方法

Scene 17：真实世界应用

小可（惊叹）：气象预报秒级完成？这改变了游戏规则！

博士（自豪）：是的！FNO正在重构新药研发与新材料发现的底层计算基座！

气象预报

实现了惊人的0.25°分辨率全球预报 ！将原本需要庞大超算资源的7天天气推演压缩至秒级，精度直逼欧洲中心超算集群！

这不仅仅是速度快的问题------它使得实时天气更新、多场景快速评估成为可能，彻底改变了气象预报的工作方式。

碳中战略

将需要数天运行的复杂地下多相流模拟降至秒级 。支撑海量参数空间探索，为碳中战略提供极速决策大脑。

在碳捕获和储存（CCS）等场景中，需要模拟大量地下流体行为，FNO使得快速评估不同注入方案成为可能。

新药研发

直接学习从原子构型到能量与作用力的映射！算子思想正在重构新药研发与新材料发现的底层计算基座。

在分子动力学模拟中，FNO可以学习原子间相互作用的势能面，大幅加速新材料和药物的筛选过程。

数字孪生

利用训练好的算子进行极速、无限次的Zero-shot毫秒级正向推演！为工业数字孪生提供了实时仿真的可能。

Scene 18：范式变革

小可（感慨）：从数值计算到学习规律？这是思维方式的革命！

博士（深思）：从"耗费算力找特定解"到"学会通用规律"------这是根本性的范式转变！

旧范式：数值求解

复制代码

离散化 → 网格生成 → 组装矩阵 → 线性系统 → 迭代求解 → 特定解 → 换条件 → 重新来过

传统范式下，每次求解都是独立的、孤立的计算。你得到了一个答案，但没有学到任何可以迁移的知识。

新范式：学习规律

复制代码

收集数据对 → 训练算子 → 学习全局映射关系 → 一次训练 → 无限推理 → 分辨率无关 + 零样本

新范式下，我们通过大量的数据对来训练一个通用的算子------这个算子学会了从任意初始条件到解的映射规律。

一旦训练完成，它可以用于：

任意新的初始条件
任意分辨率的网格
无限次的推理

这是从"计算"到"学习"的根本性转变------AI不再只是计算工具，而是学会了物理规律本身。

Scene 19：未来展望

小可（憧憬）：FNO+物理约束+大模型？未来科学计算什么样？

博士（展望）：混合方法、预训练FNO大模型、数字孪生，未来已来！

近期方向

混合方法：FNO与传统数值方法的深度融合，各取所长
物理约束增强：将更多物理先验知识（守恒律、对称性）融入FNO架构
自适应分辨率：在不同区域使用不同分辨率，提高计算效率

中期方向

预训练FNO大模型：类似NLP中的大语言模型，在大量PDE数据上预训练，然后针对特定问题微调
多物理场耦合：同时处理多种物理现象的耦合问题（如流-固耦合、热-流耦合）
不确定性量化：不仅给出预测结果，还给出预测的不确定性范围

长期愿景

通用科学AI：一个能够处理各种科学计算问题的通用AI平台
实时数字孪生：物理世界和数字世界的实时同步仿真
科学发现加速：AI辅助发现新的物理规律和数学理论

Scene 20：傅里叶神经算子全景总结

小可（满足）：从FFT到FNO全搞懂了！AI求解PDE太美了！

博士（微笑总结）：五大要点，掌握了FNO的核心精髓！

FNO全景总结

维度	传统方法	FNO核心	优势	应用	挑战
速度	小时~天	毫秒级	10000x加速	实时预报	训练成本高
泛化	无	零样本	跨分辨率	多场景推演	分布外弱
方法	离散数值	傅里叶+NN	全局+局部	流体力学	长期rollout
精度	高（但慢）	工程可用	可接受误差	气象/材料	极端场景

五大要点回顾

频域加速：傅里叶变换将O(N²)的全局积分降为O(N log N)的逐点乘法
分辨率无关：学习连续函数的傅里叶系数，与网格密度无关
万倍提速：在保持工程可用精度的前提下，实现1000~10000倍的加速比
学习通用规律：从"找特定解"到"学会通用映射"的范式变革
生态繁荣：U-FNO、Geo-FNO、PNO、预训练大模型等衍生模型快速发展

FNO不是替代，而是互补

重要提醒：FNO不是要替代传统数值方法！

FNO不是要替代传统方法，而是互补：传统方法做高精度基准，FNO做极速推理。两者各有优势，在不同场景下发挥不同作用。

未来最好的模式可能是：

离线阶段：用传统高精度方法生成训练数据
训练阶段：用这些数据训练FNO算子
在线阶段：用FNO进行快速推理，必要时用传统方法验证和修正

结语

傅里叶神经算子代表了科学计算领域的一次深刻变革。它告诉我们：AI不仅可以拟合数据，还可以学习物理规律本身。

从傅里叶变换的数学之美，到神经网络的表达能力，再到科学计算的严谨性------FNO将这三个领域巧妙地融合在一起，创造了一个既高效又强大的工具。

当然，FNO还有很多需要改进的地方------Rollout稳定性、分布外泛化、物理约束的融入等。但这些挑战也正是未来研究的机遇。

希望这篇科普文章能让你对FNO有一个全面的理解！如果你对这个方向感兴趣，不妨从基础的傅里叶变换和深度学习开始学习，然后深入到神经算子的理论和应用。

科学的未来，值得期待！ 🎓✨