题解：Atcoder Beginner Contest abc467 A~D

A - Obesity

题目描述

用下面的公式计算出的数值叫做 $\\mathrm{BMI}\[\\mathrm{kg}/\\mathrm{m}\^2\]$ 。

$\\text{Weight}\[\\mathrm{kg}\] \\div \\text{Height}\[\\mathrm{m}\] \\div \\text{Height}\[\\mathrm{m}\]$

在日本， $\\mathrm{BMI}$ 大于或等于 $25 \\; \\mathrm{kg}/\\mathrm{m}\^2$ 的人被视为肥胖。

请判断身高 $H\[\\mathrm{cm}\]$ 、体重 $W\[\\mathrm{kg}\]$ 的人在日本是否属于肥胖。

解题思路

A题不讲了。脑残题。

完整代码

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#include<bits/stdc++.h>
#define fr1(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define fr2(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)>=(b);(i)--)
#define fv(i,p) for(auto (i):(p))
#define ll long long
#define ull unsigned ll
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<ll,ll>
#define _1st first
#define _2nd second
#define elif else if
#define debug cout<<endl<<"-------------------------------------------------------------"<<endl
using namespace std;
int h,w; 
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL);cout.tie(NULL);
	cin>>h>>w;
	if(400*w>=h*h){
       	cout<<"Yes";
    }else{
        cout<<"No";
    }
	return 0;
}

B - Keep the Change

题目描述

高桥在 $N$ 家商店购物。最初，他有 $10000$ 日元。

在 $i$ th商店，他购买了价值 $A_i$ 日元的商品，支付了 $B_i$ 日元。这里， $A_i \\leq B_i$ 成立。如果 $S_i =$ keep ，他没有收到零钱；如果 $S_i =$ take ， $A_i \\leq B_i$ 成立，他收到了零钱。

求与他在每家店都收到零钱的情况相比，他损失了多少钱。准确地说：

设 $X$ 日元是高桥的最终金额，并且让 $Y$ 日元成为高桥在每家店都收到零钱的情况下的最终金额。

求出 $Y - X$ .

解题思路

最脑残的一次B题。

完整代码

复制代码

#include<bits/stdc++.h>
#define fr1(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define fr2(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)>=(b);(i)--)
#define fv(i,p) for(auto (i):(p))
#define ll long long
#define ull unsigned ll
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<ll,ll>
#define _1st first
#define _2nd second
#define elif else if
#define debug cout<<endl<<"-------------------------------------------------------------"<<endl
using namespace std;
int n,ans;
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL);cout.tie(NULL);
	cin>>n;
	fr1(i,1,n){
		int a,b;
		string s;
		cin>>a>>b>>s;
		if(s=="keep")ans+=b-a;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

C - Adjacent Sums(简单版)

题目描述

C 题的题目描述与E题相同。只有加粗的数据范围不同。

给你一个整数序列 $A=(A_1,A_2,\\dots,A_N),B=(B_1,B_2,\\dots,B_{N-1})$ ，它由介于 $0$ 与 $M-1$ 之间的整数组成。 $A$ 和 $B$ 的长度分别为 $N$ 和 $N-1$ 。

您可以对 $A$ 执行以下操作任意多次。

选择带有 $1 \\leq i \\leq N$ 的整数 $i$ ，将 $1$ 加到 $A_i$ 中。

求满足以下条件所需的最少运算次数。

可以证明，在本题的限制条件下，该条件总是可以满足的。

对于 $i=1,2,\\dots,N-1$ 来说， $A_i+A_{i+1}$ 除以 $M$ 的余数等于 $B_i$ 。

数据范围

$2 \\leq N \\leq 2 \\times 10\^5$
$M=2$
$0 \\leq A_i \\leq M-1$
$0 \\leq B_i \\leq M-1$
所有输入值均为整数。

解题思路

数学转化（核心，M=2，模 2 等价异或）

模 2 加法等价于按位异或：

$(P+Q) \bmod 2 = P \oplus Q$ 把约束拆开：

$(A_i+x_i) \oplus (A_{i+1}+x_{i+1}) = B_i$ 移项变形（异或等式两边同时异或同一个数等式不变）：

$x_{i+1} = B_i \oplus A_i \oplus x_i \oplus A_{i+1}$ .

关键结论：整个序列 $x_1,x_2,\dots,x_N$ 完全由 $x_1$ 决定

若确定 $x_1$，用上面公式能依次算出 $x_2,x_3,\dots,x_N$；
因为 $M=2$，$x_1$ 在模 2 下只有两种可能：0 或 1；
只需要枚举 $x_1=0$、$x_1=1$ 两种情况，分别算出全套 x 数组的总代价 $\sum x_i$，取最小值就是答案。

代价说明

为什么代价直接累加 $x_i$？ $x_i$ 是第 i 个元素一共加了多少次 1，每加 1 算一次操作，总操作次数就是所有 $x_i$ 相加，和题目定义完全一致。

完整代码

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#include<bits/stdc++.h>
#define fr1(i,a,b) for(int(i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define fr2(i,a,b) for(int(i)=(a);(i)>=(b);(i)--)
#define fv(i,p) for(auto (i):(p))
#define ll long long
#define ull unsigned ll
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<ll,ll>
#define _1st first
#define _2nd second
#define elif else if
#define debug cout<<endl<<"-------------------------------------------------------------"<<endl
using namespace std;
int n,m;
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);cout.tie(NULL);
    cin>>n>>m;
    vector<int>a(N+1),b(N);
    fr1(i,1,N)cin>>a[i];
    fr1(i,1,N-1)cin>>b[i];
    ll ans=LLONG_MAX;
    fr1(start,0,1){
        vector<int>x(n+1);
        x[1]=start;
        ll cost=x[1];
        fr1(i,1,n-1){
            x[i+1]=b[i]^a[i]^x[i]^a[i+1];
            cost+=x[i+1];
        }
        ans=min(ans,cost);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

D - Concentric Circles

题目描述

在 $xy$ \ 平面上是否存在满足以下所有条件的两个圆 $C_1$ 和 $C_2$ ？这里， $C_1$ 和 $C_2$ 可能重合。

两个不同的点 $(P_x, P_y)$ 和 $(Q_x, Q_y)$ 位于 $C_1$ 的圆周上。
两个不同的点 $(R_x, R_y)$ 和 $(S_x, S_y)$ 位于 $C_2$ 的圆周上。
$C_1$ 与 $C_2$ 具有相同的圆心。

给你 $T$ 个测试用例，请逐一求解。

数据范围

$1 \\leq T \\leq 5 \\times 10\^4$
$-10\^9 \\leq P_x,P_y,Q_x,Q_y,R_x,R_y,S_x,S_y \\leq 10\^9$
$(P_x, P_y) \\neq (Q_x, Q_y)$
$(R_x, R_y) \\neq (S_x, S_y)$
所有输入值均为整数。

解题思路

一、几何前置结论：两点确定圆心的约束

若一个圆同时过两个不同点 $A,B$，设圆心为 $O(x_0,y_0)$，则：

$|OA|^2 = |OB|^2$ 展开距离平方并化简：

$(x_0-A_x)^2+(y_0-A_y)^2 = (x_0-B_x)^2+(y_0-B_y)^2$ 消去 $x_0^2,y_0^2$，整理得到一条直线方程：

$2(B_x-A_x)x_0 + 2(B_y-A_y)y_0 = B_x^2+B_y^2 - A_x^2-A_y^2$ 这条直线就是线段 AB 的垂直平分线。

关键：所有能作为 "过 $A,B$ 的圆的圆心" 的点，全部落在 AB 的垂直平分线上。

设：

$L_1$：PQ 的垂直平分线（所有合法 $C_1$ 圆心集合）
$L_2$：RS 的垂直平分线（所有合法 $C_2$ 圆心集合）

题目等价转化为：直线 $L_1$ 和 $L_2$ 是否存在交点。

若存在交点 O：以 O 为圆心，分别取 $|OP|$、$|OR|$ 为半径作同心圆，满足全部条件，输出 Yes；
若不存在交点（两直线平行且不重合）：没有公共圆心，输出 No。

二、分两类讨论 $L_1$ 与 $L_2$ 的位置关系

两条直线只有两种位置：

不平行（相交）；
平行（要么完全重合，要么无交点）。

情况 1：$L_1$ 与 $L_2$ 不平行 → 一定有交点 → 答案 Yes

两条直线不平行等价于：线段 PQ、RS 本身不平行。线段平行判定：取向量 $\overrightarrow{PQ}=(Q_x-P_x,Q_y-P_y)$，$\overrightarrow{RS}=(S_x-R_x,S_y-R_y)$。二维向量平行充要条件：叉积为 0

$\text{cross} = v_{1x} \cdot v_{2y} - v_{1y} \cdot v_{2x}$

$\text{cross} \neq 0$：向量不平行 → $L_1,L_2$ 不平行，必有交点，直接 Yes。

ll v1x=Qx-Px,v1y=Qy-Py;
ll v2x=Sx-Rx,v2y=Sy-Ry;
ll cross=v1xv2y-v1yv2x;
if(cross!=0){cout<<"Yes\n";}

情况 2：$\text{cross}=0$，即 $PQ \parallel RS$，此时 $L_1 \parallel L_2$

平行线分两种：重合 / 分离。只有两条垂直平分线完全重合时，才存在无穷多公共圆心，输出 Yes；否则无公共圆心，输出 No。

那么，如何判断两条垂直平分线 $L_1,L_2$ 是否重合？

$L_1$ 是 PQ 中垂线，$L_2$ 是 RS 中垂线，且 $PQ \parallel RS$。取 RS 上任意一点（如 R），判断 R 是否在 $L_1$ 上；再取 S 判断是否在 $L_1$ 上。若 $R,S$ 都在 PQ 的中垂线上 → $L_1,L_2$ 完全重合。

R 在 PQ 中垂线的充要条件：$|RP|^2 = |RQ|^2$ 展开距离平方：

$(R_x-P_x)^2+(R_y-P_y)^2 = (R_x-Q_x)^2+(R_y-Q_y)^2$ 移项变形，等价于：

$(2R_x-P_x-Q_x)^2 + (2R_y-P_y-Q_y)^2 = 0$ 同理，S 在 PQ 中垂线等价于：

$(2S_x-P_x-Q_x)^2 + (2S_y-P_y-Q_y)^2 = 0$

比较平方和是否相等：

复制代码

ll lhs=(2*Rx-Px-Qx)*(2*Rx-Px-Qx)+(2*Ry-Py-Qy)*(2*Ry-Py-Qy);
ll rhs=(2*Sx-Px-Qx)*(2*Sx-Px-Qx)+(2*Sy-Py-Qy)*(2*Sy-Py-Qy);
if(lhs==rhs) cout<<"Yes\n";
else cout<<"No\n";

$lhs=rhs$：$R、S$ 都在 PQ 中垂线上 → $L_1=L_2$，无数公共圆心，Yes；
$lhs≠rhs$：$R、S$ 不在同一条中垂线，两平行线分离，无公共圆心，No。

整体流程概括

对每组测试用例：

求向量 $\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{RS}$，计算叉积；
叉积≠0 → 两中垂线相交 → Yes；
叉积 = 0（线段平行）：
- 计算 R 到 PQ 中点距离平方、S 到 PQ 中点距离平方；
- 两值相等 → 中垂线重合，存在公共圆心 → Yes；
- 两值不等 → 中垂线平行分离，无公共圆心 → No。

完整代码

复制代码

#include<bits/stdc++.h>
#define fr1(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define fr2(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)>=(b);(i)--)
#define fv(i,p) for(auto (i):(p))
#define ll long long
#define ull unsigned ll
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<ll,ll>
#define _1st first
#define _2nd second
#define elif else if
#define debug cout<<endl<<"-------------------------------------------------------------"<<endl
using namespace std;
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);cout.tie(NULL);
    int T;
    cin>>T;
    while(T--){
        ll Px,Py,Qx,Qy,Rx,Ry,Sx,Sy;
        cin>>Px>>Py>>Qx>>Qy>>Rx>>Ry>>Sx>>Sy;
        ll v1x=Qx-Px,v1y=Qy-Py;
        ll v2x=Sx-Rx,v2y=Sy-Ry;
        ll cross=v1x*v2y-v1y*v2x;
        if(cross!=0){
            cout<<"Yes\n";
        }else{
            ll lhs=(2*Rx-Px-Qx)*(2*Rx-Px-Qx)+(2*Ry-Py-Qy)*(2*Ry-Py-Qy);
            ll rhs=(2*Sx-Px-Qx)*(2*Sx-Px-Qx)+(2*Sy-Py-Qy)*(2*Sy-Py-Qy);
            if(lhs==rhs) cout<<"Yes\n";
            else cout<<"No\n";
        }
    }
    return 0;
}

题解：Atcoder Beginner Contest abc467 A~D

A - Obesity

题目描述

解题思路

完整代码

B - Keep the Change

题目描述

解题思路

完整代码

C - Adjacent Sums(简单版)

题目描述

数据范围

解题思路

数学转化（核心，M=2，模 2 等价异或）

关键结论：整个序列 \(x_1,x_2,\dots,x_N\) 完全由 \(x_1\) 决定

代价说明

完整代码

D - Concentric Circles

题目描述

数据范围

解题思路

一、几何前置结论：两点确定圆心的约束

二、分两类讨论 \(L_1\) 与 \(L_2\) 的位置关系

情况 1：\(L_1\) 与 \(L_2\) 不平行 → 一定有交点 → 答案 Yes

情况 2：\(\text{cross}=0\)，即 \(PQ \parallel RS\)，此时 \(L_1 \parallel L_2\)

那么，如何判断两条垂直平分线 \(L_1,L_2\) 是否重合？

整体流程概括

完整代码