1.1.3 最大公约数

主要内容：辗转相除法、二进制算法、最小公倍数、扩展欧几里得算法、求解线性同余方程

一、辗转相除法

辗转相除法也称欧几里得算法。在稍后，我们会学到扩展欧几里得算法，其是在欧几里得算法的基础上发展的。

下面给出代码，相关证明可以参考《高等代数》第一章多项式中求最大公因式的证明

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int gcd(int x, int y){
    if (x==0) return y;
    if (y==0) return x;
    return gcd(y,x%y);
}

二、二进制算法

一般的辗转相除法效率较低，下面给出利用因数2优化的辗转相除法。

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inline int gcd(int x, int y){
    if (x==0) return y;
    if (y==0) return x;
    int i,j,k;
    for (i=0;(x&1)==0;i++) x>>=1;//除去x中所有因子2
    for (j=0;(x&1)==0;j++) y>>=1;//除去y中所有因子2
    k = min(i,j);//算出公共因子2的次数
    while(1){
        if (x<y) swap(x,y);
        if ((x-=y)==0) return y<<i;
        while ((x&1)==0) x>>=1;    //去掉冗余的因子2
    }
}

根据我的理解，2也可以更换为其他的因数，从而产生相似的算法，但二进制算法的优势在于，其有因子2，二进制移位运算相较四则运算和取模运算较为快速，因此我们采用二进制算法

三、最小公倍数

易证下面的结论

a\\cdot b = (a,b) \\cdot \[a,b\]\\\\ 其中(a,b)表示a和b的最大公约数，\[a,b\]表示a,b的最小公倍数\\\\ 从而有\\\\ \[a,b\] = \\frac{ab}{(a,b)}\\\\

四、扩展欧几里得算法

首先，我们应当了解一个著名的定理：

裴蜀定理

\\begin{aligned} 对a,b\\in \\mathbb{Z},(a,b) = d\\quad\&\\Leftrightarrow\\quad\\exists x,y\\in\\mathbb{Z}\\quad\\quad ax+by = kd\\quad(k\\in \\mathbb{Z}-\\big\\{0\\big\\})\\\\ 特别地，令k=1:(a,b) = d\\quad\&\\Leftrightarrow\\quad\\exists x,y\\in\\mathbb{Z}\\quad s.t.ax+by=d\\\\ 推论，当k=d=1:(a,b)=1\\quad\&\\Leftrightarrow\\quad\\exists x,y\\in\\mathbb{Z}\\quad s.t.ax+by=1 \\end{aligned}

我们主要考察第二个等式

对于给定的a,b，我们可以通过欧几里得算法求得d

但是如何求出对应的p,q，使得pa+qb=d呢？

这就需要用到扩展欧几里得算法。

下面先给出推导过程

\\begin{aligned} 由(a,b)=d，可设p_1a+q_1b\&=d\\\\ 再由(b,a\\%b)=d，可设p_2b+q_2(a\\%b)\&=d\\\\ 令t=\[\\frac{a}{b}\]，则a\\%b\&=a-bt\\\\ 即p_2b+q_2(a-bt)\&=d\\\\ 乘开后合并得q_2a+(p_2-q_2t)b\&=d\\\\ \\end{aligned} \\begin{aligned} 于是，p_1\&=q_2\\\\ q_1\&=p_2-q_2t=p_2-q_2\[\\frac{a}{b}\]\\\\ 于是，我们找到了(p_1,q_1)\&与(p_2,q_2)的关系,\\\\ \\quad\\quad我们可以将其作为递归公式使用：\\\\ (p_n,q_n)\&=(q_{n+1},p_{n+1}-q_{n+1}\[\\frac{a_n}{b_n}\]) \\end{aligned}

再考虑边界条件：

a_n\\ne0,b_n=0\\left\\{ \\begin{matrix} p_n=1 \\\\ q_n=0 \\end{matrix} \\right.\\\\ a_n=0,b_n\\ne0\\left\\{ \\begin{matrix} p_n=0 \\\\ q_n=1 \\end{matrix} \\right.\\\\

于是，我们得到了下面的算法

如果a_n\\ne0,b_n=0\\left\\{ \\begin{matrix} \\begin{aligned} (p_n,q_n)\&=(1,0) \\\\ gcd(a_n,b_n)\&=a_n \\end{aligned} \\end{matrix} \\right.\\\\ 如果a_n=0,b_n\\ne0\\left\\{ \\begin{matrix} \\begin{aligned} (p_n,q_n)\&=(0,1) \\\\ gcd(a_n,b_n)\&=b_n \\end{aligned} \\end{matrix} \\right.\\\\ 否则，令(a_{n+1},b_{n+1})=(b_n,a_n\\%b_n)\\left\\{ \\begin{matrix} \\begin{aligned} (p_n,q_n)\&=(q_{n+1},p_{n+1}-q_{n+1}\[\\frac{a_n}{b_n}\])\\\\ gcd(a_n,b_n)\&=gcd(b,a\\%b) \\end{aligned} \\end{matrix} \\right.\\\\ 其中，n可以理解为程序当前所在的递归层数\\\\

将上述大括号内容的程序合并在一个函数中，我们就得到了扩展欧几里得算法

代码如下：

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int exgcd(int a, int b, int &p, int &q){
    //两种边界情况
    if (!a){
        p = 0, q = 1;
        return b;
    }
    if (!b){
        p = 1, q = 0;
        return a;
    }
    //不处于边界情况，准备递归
    int d = exgcd(b, a%b, p, q);//递推，回归时p,q的层数为n+1
    int p2 = p, q2 = q;         //存储第n+1层的p,q的信息
    p=q2, q = p2 - q2 * (a / b);//计算第n层的p,q的信息；
    return d;                   //返回gcd(a,b)
}

五、求解线性同余方程

借助扩展欧几里得算法，我们可以求解线性同余方程

pa \\equiv c \\quad(mod\\quad b)

求解该方程等价于求解

pa + qb = c

很显然，当c是d=(a,b)的倍数时，该方程有解。

于是此方程可用扩欧算法求解，

\\begin{aligned} 先对p_0a+q_0b\&=d解出p_0和q_0\\\\ 再设c\&=kd=k\\cdot(a,b)\\\\ 则kp_0a+kq_0b\&=kd=c\\\\ 即p=kp_0\&，q=kq_0 \\end{aligned}

cpp 复制代码

bool linrequ(int a, int b, int c, int &p, int &q){
    int d = exgcd(a, b, p, q);
    if (c % d) return false;      //如果c不整除d，则无整数解
    int k = c / d;
    p *= k; q *= k;
    return true;
}

需要注意的是，由于原同余方程中不存在q，所以同余方程中可能有多组解。

根据本原解p,q可以构造出更多的解

\\begin{aligned} \\forall t \\in \\mathbb{Z}\\quad(p_n,q_n) \&= (p+tb,q-ta)\\quad\\\\ 都是方程\\quad pa \&\\equiv c \\quad(mod\\quad b)\\quad的解 \\end{aligned}

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