1.1.4 逆元

主要内容：扩欧求逆元，快速幂求逆元，线性（递归）求逆元，同余模公式（补充），反复平方法求幂（补充）

首先给出逆元的定义：

\\begin{aligned} 假设a\\cdot p \&\\equiv 1 \\quad(mod \\quad b)\\\\ 且(a,b)\&=1\\quad即\\quad a,b互素\\\\ 则称p为a的逆元\&，记作p=a\^{-1} \\end{aligned}

用与前文类似的方法，我们将同余方程转化为二元一次不定方程：

pa+qb=1

则求解逆元的过程，就是对此不定方程求解的过程

很明显，上面的方程是一个二元一次不定方程，我们可以使用扩欧求解

快速幂求逆元运用费马小定理，这要求p为素数

限于时间不足，作者将在之后的时间整理此部分内容

下面给出推导：

\\begin{aligned} 假设p\&=ki+r\\\\ 现在尝试求i在模p下的逆元i\^{-1}，即有i\\cdot i\^{-1} \&\\equiv 1\\quad (mod\\quad p)\\\\ 将上述等式放在模p意义下，得到同余式：\\\\ k\\cdot i+ r\&\\equiv0\\quad(mod\\quad p)\\\\ 两边同乘i\^{-1}，得到\\\\ k+r\\cdot i\^{-1}\&\\equiv 0\\quad(mod\\quad p)\\\\ 再同乘r\^{-1}，得到\\\\ k\\cdot r\^{-1}+i\^{-1}\&\\equiv 0\\quad(mod\\quad p)\\\\ 即\\\\ i\^{-1}\&\\equiv-k\\cdot r\^{-1} \\quad(mod\\quad p)\\quad\\quad\\quad(\*)\\\\ 根据定义可知，k=\[\\frac{p}{i}\]\&，r=p\\%i\\\\ 于是，我们将一个求解i\^{-1}的问题\&转化为求解(p\\%i)\^{-1}的问题 \\end{aligned}

我们的算法基于(*)式得到

按照（\*）式，我们可以得到一个逆元的线性求法，时间复杂度为O(n)，\\\\ 迭代方程如下：\\\\ inv\[i\] = (p - p / i) \\cdot inv\[p \\% i\] \\% p;\\\\ 但实际上，我们可以使用递归的方法，在O(log_2n)的时间里更高效地求出逆元\\\\ 递归方程如下：\\\\ i\^{-1}=\\left\\{ \\begin{matrix} \\begin{aligned} 1 \\quad \&i=1\\\\ -\[\\frac{p}{i}\]\\cdot(p\\%i)\^{-1} \\quad \&其他情况\\\\ \\end{aligned} \\end{matrix} \\right.\\quad\\quad(mod\\quad p)\\\\

递归法代码实现如下：

cpp 复制代码

int inv(int i, int p){
    if (i==1) return 1;
    return -(p/i)*inv(p%i);
}

同余模公式：

\\begin{aligned} (a+b)\\%p \\quad \&= \\quad (a\\%p + b\\%p) \\%p\\\\ (a\\cdot b)\\%p \\quad \&= \\quad (a\\%p \\cdot b\\%p) \\%p \\end{aligned}

反复平方法求幂：

这是快速幂取模的主要算法思想，想了解该算法的同学可以参照0x01 位运算（1）-CSDN博客

（如果没记错的话，笔者年幼时曾阅读《幻想数学大战》，在书中接触过类似的思想，该思想源于文中所谓的《阿梅斯草纸书》。

笔者尝试继续追溯，其可能对应史料《阿默斯纸草书》，也即《莱因德纸草书》）

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