数论基础定理与简单应用

基本符号

对于任意整数 $a, b$ ，设 $d = gcd(a, b)$ ，存在一组整数 $(x, y)$ 满足 $ax + by = d$ ，且对于任意一组整数 $(x, y)$ 都有 $ax + by \mid d$

对于任意素数（质数） $p$ ，都有任意整数 $a$ 满足 $a ^ p \equiv p (mod \quad p)$ ；当满足 $p \nmid a$ 时也可以写成 $a^{p - 1} \equiv 1 (mod \quad p)$

对于第二个公式的前置条件 $p \nmid a$ 你也许并未在代码或题解中见过或强调过，因为对于 OI 里的大部分题目 $p$ 总大于 $a$ ，所以基本不会出现 $p \nmid a$ 的情况，但这并不代表改条件是可以忽视的

前置知识：二项式定理，组合数

显然，当 $a = 0$ 时 $a^p \equiv p$ 成立（后文省略了$(mod \quad p)$）

使用数学归纳法，要证明 $a \in N$ 时成立，仅需证明 $(a + 1) ^ p \equiv a + 1$ 成立即可

\ $(a + 1)\^{p} = a \^ p + C\^1_{p}a\^{p - 1} + C\^2_{p}a\^{p - 2} + ... + C\^{p - 1}_{p}a + 1 \\$

\ $(a + 1) \^ p = a \^ p + \\frac{p!}{1!(p - 1)!}a\^{p - 1} + \\frac{p!}{2!(p - 2)!}a\^{p - 2} + ... + \\frac{p!}{(p - 1)!(1)!}a\^{p - 1} + 1 \\$

由于组合数的性质，分子一定能整除分母，又因为 $p$ 是素数且不存在有组合数的分母中含 $p$ ，所以组合数的结果因数中一定含 $p$ ，

而在模 $p$ 意义下，这些组合数就会变成 0，所以可以进一步化简

\ $(a + 1) \^ p = a \^ p + 1 = a + 1 \\$

因此对于任意的 $a \in N$ 都满足 $a ^ p \equiv a$

扩展欧几里得定理(exgcd)本质是对裴蜀定理的求解

即给定整数 $a, b$ ，求一组整数 $x, y$ 满足 $ax + by = gcd(a, b)$

前置知识：欧几里得定理（辗转相除）

\ $bx_1+(a\\; mod\\; b)y_1=gcd(a,b) \\$

又因为 $a ; mod ; b = a - \\left \\lfloor \\frac{a}{b} \\right \\rfloor \\times b$ ，所以

\ $bx_1+(a - \\left \\lfloor \\frac{a}{b} \\right \\rfloor \\times b)y_1=gcd(a,b) \\$

\ $ay_1 + b(x_ 1 - \\left \\lfloor \\frac{a}{b} \\right \\rfloor y_1) = gcd(a, b) \\$

\ $x = y_1, y = x_ 1 - \\left \\lfloor \\frac{a}{b} \\right \\rfloor y_1 \\$

然后不断递归即可