dp子序列问题，好难呀

好吧学会了之后并不难。

dpi的含义为以i为结尾的最长子序列长度，注意：不是0-i之间最长子序列的长度！是以i为结尾的长度！

所以设对于每一个i，j从0--i-1进行遍历，如果numsi>numsj，说明这个j结尾的最长子序列可以加一个数字了，dpi就是numsj+1，取最大，当然也可能保留上一个j的最大值，因此是：

(nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

因为dpi不是0-i之间最长子序列的长度，所以最后返回的值不是dp【len-1】,而是对于每一个i，0-len取一个最大值，所以代码是：

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() <= 1) return nums.size();
        vector<int> dp(nums.size(), 1);
        int result = 0;
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
            if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
        }
        return result;
    }
};

最长重复子数组

dpij ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dpij。 （特别注意： "以下标i - 1为结尾的A" 标明一定是 以Ai-1为结尾的字符串 ）

此时细心的同学应该发现，那dp00是什么含义呢？总不能是以下标-1为结尾的A数组吧。

其实dpij的定义也就决定着，我们在遍历dpij的时候i 和 j都要从1开始。

那有同学问了，我就定义dpij为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度。不行么？

行倒是行！ 但实现起来就麻烦一点，需要单独处理初始化部分，在本题解下面的拓展内容里，我给出了 第二种 dp数组的定义方式所对应的代码和讲解，大家比较一下就了解了。

1. 确定递推公式

根据dpij的定义，dpij的状态只能由dpi - 1j - 1推导出来。

即当Ai - 1 和Bj - 1相等的时候，dpij = dpi - 1j - 1 + 1;

根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！

1. dp数组如何初始化

根据dpij的定义，dpi0 和dp0j其实都是没有意义的！

但dpi0 和dp0j要初始值，因为 为了方便递归公式dpij = dpi - 1j - 1 + 1;

所以dpi0 和dp0j初始化为0。

举个例子A0如果和B0相同的话，dp11 = dp00 + 1，只有dp00初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。

1. 确定遍历顺序

外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。

为什么两层循环都用 <= size()，而不是第一层用 <= size1、第二层用 <= i（类似三角形遍历）？

答案是：这是最长公共子串/子序列问题，必须遍历整个二维DP表，不能用三角形遍历。

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1. 为什么必须遍历整个 size1 × size2 矩形？

因为 dp[i][j] 依赖的是 dp[i-1][j-1]（左上方），而不是依赖同一行或同一列的前一个值。

	j=0	j=1	j=2	j=3
i=0	0	0	0	0
i=1	0	dp00	dp01	dp02
i=2	0	dp10	dp11	dp12
i=3	0	dp20	dp21	dp22

每个 dp[i][j] 的值只取决于 左上角 dp[i-1][j-1]，也就是说：

• 计算第 i 行时，需要第 i-1 行的所有列的数据

• 不能像三角形遍历那样只算一半，因为 对角线上的每个点都可能产生新的最长子串

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2. 三角形遍历（j <= i）为什么不适用？

如果你写成：

cpp

for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {  // ❌ 三角形遍历
        // ...
    }
}

那么：

• 当 nums1.size() = 5, nums2.size() = 10 时，你只比较了 5×5/2 = 12.5 个组合，漏掉了 5×10 - 12.5 = 37.5 个组合

• 比如 nums1[4] 和 nums2[9] 可能相等，但 j=9 > i=4，根本不会进入循环，会漏掉正确答案

因为最长公共子串不一定出现在两个数组的"前 i 个"对应位置------nums1 的第 1 个元素可以和 nums2 的第 10 个元素匹配。

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3. 什么情况下用三角形遍历？

三角形遍历（j <= i）只适用于完全平方/矩阵对称问题，例如：

• 计算字符串内部的最长回文子串 （dp[i][j] 只依赖 dp[i+1][j-1]，且只需要上三角）

• 矩阵链乘、最优二叉搜索树等区间DP

你的问题是双序列匹配 ，两个序列的长度可能不同，且匹配关系没有任何"位置对称"限制，所以必须遍历全矩形。