贪心题目：保持城市天际线

文章目录

• 题目
• • 标题和出处
  • 难度
  • 题目描述
  • • 要求
    • 示例
    • 数据范围
• 解法
• • 思路和算法
  • 代码
  • 复杂度分析

题目

标题和出处

标题：保持城市天际线

出处：807. 保持城市天际线

难度

3 级

题目描述

要求

有一座由 n × n \texttt{n} \times \texttt{n} n×n 的街区组成的城市，每个街区都包含一座立方体建筑。给定一个下标从 0 \texttt{0} 0 开始的 n × n \texttt{n} \times \texttt{n} n×n 整数矩阵 grid \texttt{grid} grid，其中 gridrc \texttt{gridrc} gridrc 表示坐落于 r \texttt{r} r 行 c \texttt{c} c 列的建筑物的高度。

城市的天际线 是从远处观察城市时，所有建筑物形成的外部轮廓。从东、南、西、北四个主要方向观测到的天际线可能不同。

现允许为任意数量的建筑物 的高度增加任意增量 （不同建筑物的增量可能不同）。高度为 0 \texttt{0} 0 的建筑物的高度也可以增加。然而，增加的建筑物高度不能影响 从任何主要方向观察城市得到的天际线。

在不改变 从任何主要方向观测到的城市天际线 的前提下，返回建筑物可以增加的最大高度增量总和。

示例

示例 1：

输入： grid = \[3,0,8,4,2,4,5,7,9,2,6,3,0,3,1,0] \texttt{grid = \[3,0,8,4,2,4,5,7,9,2,6,3,0,3,1,0]} grid = \[3,0,8,4,2,4,5,7,9,2,6,3,0,3,1,0]

输出： 35 \texttt{35} 35

解释：建筑物的高度如上图中心所示。

用红色绘制从不同方向观看得到的天际线。

在不影响天际线的情况下，增加建筑物的高度之后的网格如下：

gridNew = \[8,4,8,7,7,4,7,7,9,4,8,7,3,3,3,3] \texttt{gridNew = \[8,4,8,7,7,4,7,7,9,4,8,7,3,3,3,3]} gridNew = \[8,4,8,7,7,4,7,7,9,4,8,7,3,3,3,3]

示例 2：

输入： grid = \[0,0,0,0,0,0,0,0,0] \texttt{grid = \[0,0,0,0,0,0,0,0,0]} grid = \[0,0,0,0,0,0,0,0,0]

输出： 0 \texttt{0} 0

解释：增加任何建筑物的高度都会导致天际线的变化。

数据范围

• n = grid.length \texttt{n} = \texttt{grid.length} n=grid.length
• n = gridr.length \texttt{n} = \texttt{gridr.length} n=gridr.length
• 2 ≤ n ≤ 50 \texttt{2} \le \texttt{n} \le \texttt{50} 2≤n≤50
• 0 ≤ gridrc ≤ 100 \texttt{0} \le \texttt{gridrc} \le \texttt{100} 0≤gridrc≤100

解法

思路和算法

为了计算建筑物可以增加的最大高度增量总和，应分别将每个建筑物的高度增加到不改变天际线的最大高度。从不同的主要方向观测到的天际线分别是每一行建筑物的最大高度和每一列建筑物的最大高度，为了不改变天际线的最大高度，对于每个建筑物，其增加后的高度不能超过其所在行和所在列的最大高度。

根据上述分析，可以使用贪心思想计算建筑物可以增加的最大高度增量总和。

首先遍历矩阵，计算每一行建筑物和每一列建筑物的最大高度，分别使用两个数组 rowMax \textit{rowMax} rowMax 和 colMax \textit{colMax} colMax 记录。然后遍历矩阵，计算每个建筑物可以增加的最大高度以及建筑物可以增加的最大高度增量总和，对于 grid i j \textit{grid}ij gridij，其可以增加的最大高度为 min ⁡ ( rowMax i , colMax j ) − grid i j \min(\textit{rowMax}i, \textit{colMax}j) - \textit{grid}ij min(rowMaxi,colMaxj)−gridij，遍历结束之后即可得到建筑物可以增加的最大高度增量总和。

代码

class Solution {
    public int maxIncreaseKeepingSkyline(int[][] grid) {
        int n = grid.length;
        int[] rowMax = new int[n];
        int[] colMax = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                rowMax[i] = Math.max(rowMax[i], grid[i][j]);
                colMax[j] = Math.max(colMax[j], grid[i][j]);
            }
        }
        int maxIncrease = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                int increase = Math.min(rowMax[i], colMax[j]) - grid[i][j];
                maxIncrease += increase;
            }
        }
        return maxIncrease;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，其中 n n n 是矩阵 grid \textit{grid} grid 的边长。需要遍历矩阵 grid \textit{grid} grid 计算每行和每列的最大值，然后遍历矩阵计算建筑物可以增加最大高度增量总和。

• 空间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)，其中 n n n 是矩阵 grid \textit{grid} grid 的边长。需要创建两个长度为 n n n 的数组分别记录矩阵 grid \textit{grid} grid 的每行和每列的最大值。