【一等奖版】2026 国赛 A题药材的烘干问题

🌊 2026 国赛 A题药材的烘干问题

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先来看题目：

干燥是决定中药材成品品质的关键工序之一，其中热风烘干是一种常见的干燥方式。该方式主要包括预热平衡和恒温干燥两个阶段，通过调控烘房温湿环境，完成药材的干燥。在中药材烘干过程中，工艺参数选取不当容易导致干燥效率低、能耗高、成品品质不稳定等问题。而传统的试验优化模式存在成本高、周期长等问题，亟需借助数理分析与数值仿真的方法得到干燥规律。

某中药材形状大致呈圆柱形，长为 25 cm，半径为 2 cm。烘干开始时，药材的温度为 28°C，水分浓度（即干基含水率）为 2.55 g/kg，烘房的温度（单位：°C）和水分浓度（单位：kg/kg）的变化情况见附件 1。请建立预热平衡阶段药材温度和水分浓度变化规律的数学模型（相关参数见附录 2），在论文中按表 1 和表 2 的格式分别给出100、300、600、900、1200、1500、1800 s，到药材中心距离 0、0.5、1、1.5、2 cm 处的结果，并将 1800 s内每隔 1 s、到药材中心距离每隔 0.1 cm 的完整结果保存到文件 result1.xlsx 中。

烘干过程一持续 2-3 天，预热平衡与恒温干燥阶段的参数有所不同。建立整个烘干过程药材温度和水分浓度变化规律的数学模型（为简化问题，相关经验公式统一采用附录 3 中的公式），在论文中按表 3 和表 4 的格式分别给出 3 h 内每隔 0.5 h、到药材中心距离 0、0.5、1、1.5、2 cm 处的结果，并将每隔 1 s、到药材中心距离每隔 0.1 cm 的完整结果保存到文件 result2.xlsx 中。

按照烘干要求，药材各处的水分浓度应低于 0.15 kg/kg，请确定药材烘干所需要的时间（单位：h）。在论文中按表 5 的格式给出每隔 6 h、到药材中心距离每隔 0.5 cm的水分浓度，并将药材内部水分浓度每隔 60 s、到药材中心距离每隔 0.1 cm 的完整结果保存到文件result3.xlsx 中。

在实际烘干过程中，药材会因水分流失发生尺寸变化。请根据附件，确定药材的烘干时长（相关经验公式见附录 4）。在论文中按表 6 的格式给出每隔 6 h、到药材中心距离每隔 0.5 cm 的水分浓度，并将药材内部水分浓度每隔 60 s 时间、0.1 cm 距离的完整结果保存到文件 result4.xlsx 中。

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📈 成品数据一览表

维度	数据详情	备注
总页数	90页	含详细修改建议
正文权重	70 页	拒绝废话，干货满满
代码行数	5000+行	逻辑清晰，注释完整
试用级别	国家级一等奖	欢迎各位出成绩后监督

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成品展示

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本题范文共90页，一些修改说明13页，正文70页，附录7页，代码5000+行。大家先看范文缩略图，领略一下质量，绝对不是说说而已。

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更新汇总：

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模型建立与求解

问题一的建立与求解

建模准备与分析

针对非稳态多场耦合传输问题（预热平衡阶段），我们需要构建一个基于圆柱坐标系下的非线性热质耦合偏微分方程组。该模型旨在精确描述烘房环境激励下，物料内部温度场 T(r,t)T(r,t)T(r,t) 与水分浓度场 C(r,t)C(r,t)C(r,t) 的时空演化规律。为确保模型的物理严谨性与数值可解性，我们首先从数据预处理、几何空间定义、本构关系推导及控制方程建立四个维度展开理论阐述。原始附件数据包含离散采样的烘房空气温度 TairT_{air}Tair 与相对湿度对应的含湿量 CairC_{air}Cair。由于传感器噪声与采样间隔限制，直接代入边界条件会导致数值震荡，因此必须对数据进行清洗与连续化重构，进而作为后续偏微分方程求解的非齐次边界条件输入。

模型建立

数据预处理与环境激励重构

设离散观测数据集为 D={(ti,yi)}i=1N\mathcal{D} = \{(t_i, y_i)\}_{i=1}^{N}D={(ti,yi)}i=1N ，其中 yiy_iyi 代表第 iii 个时刻的温度或湿度观测值。为了获得连续的时间函数 S(t)S(t)S(t) ，我们采用三次样条插值法。其核心思想是构造分段三次多项式，使得在节点处二阶导数连续。

定义样本空间的期望与方差以评估数据分布特征。对于任意特征变量 YYY ，其均值 μY\mu_YμY 与无偏方差 σY2\sigma_Y^2σY2 定义为：

μY=1N∑i=1Nyi,σY2=1N−1∑i=1N(yi−μY)2 \mu_Y = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}y_i, \quad \sigma_Y^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(y_i - \mu_Y)^2 μY=N1i=1∑Nyi,σY2=N−11i=1∑N(yi−μY)2

标准化映射函数 f:Y↦Zf: Y \mapsto Zf:Y↦Z 将原始数据投影至零均值、单位方差的子空间，消除量纲影响：

zi=yi−μYσY z_i = \frac{y_i - \mu_Y}{\sigma_Y} zi=σYyi−μY

然而，对于物理量重构，我们更关注局部平滑性。三次样条函数 S(t)S(t)S(t) 在每个区间 $ti,ti+1$ $t_i, t_{i+1}$ $ti,ti+1$ 上表示为：

Si(t)=ai+bi(t−ti)+ci(t−ti)2+di(t−ti)3 S_i(t) = a_i + b_i(t-t_i) + c_i(t-t_i)^2 + d_i(t-t_i)^3 Si(t)=ai+bi(t−ti)+ci(t−ti)2+di(t−ti)3

系数需满足连续性条件 Si(ti+1)=Si+1(ti+1)S_i(t_{i+1}) = S_{i+1}(t_{i+1})Si(ti+1)=Si+1(ti+1) 以及一阶、二阶导数连续。通过求解三对角线性方程组确定二阶导数向量 M= $m0,m1,...,mN$ T\mathbf{M} = $m_0, m_1, \\dots, m_N$ ^TM= $m0,m1,...,mN$ T ，其中 mi=S′′(ti)m_i = S''(t_i)mi=S′′(ti) 。最终得到的连续函数 Tair(t)T_{air}(t)Tair(t) 和 Cair(t)C_{air}(t)Cair(t) 将作为模型的非齐次边界条件输入。

几何空间定义与控制方程推导

考虑圆柱形物料，假设轴向长度远大于半径，忽略轴向梯度，仅保留径向 rrr 和时间 ttt 的变化。定义计算域 Ω={(r,t)∣r∈ $0,R$ ,t∈ $0,Tend$ }\Omega = \{ (r,t) \mid r \in $0, R$ , t \in $0, T_{end}$ \}Ω={(r,t)∣r∈ $0,R$ ,t∈ $0,Tend$ } ，其中 R=2R=2R=2 cm。

根据能量守恒定律与质量守恒定律，控制体积内的累积率等于净通量加上源项。

1. 能量守恒方程：

单位体积内热能变化率为 ρcp∂T∂t\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}ρcp∂t∂T 。热通量遵循傅里叶定律 qh=−k∇T\mathbf{q}_h = -k \nabla Tqh=−k∇T 。在圆柱坐标系下，拉普拉斯算子 ∇2\nabla^2∇2 作用于标量场 TTT 的形式为：

∇2T=1r∂∂r(r∂T∂r) \nabla^2 T = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial T}{\partial r}\right) ∇2T=r1∂r∂(r∂r∂T)

考虑到水分蒸发潜热引起的相变源项 QvQ_vQv ，能量方程表述为：

ρcp∂T∂t=1r∂∂r(kr∂T∂r)+Qv \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(k r \frac{\partial T}{\partial r}\right) + Q_v ρcp∂t∂T=r1∂r∂(kr∂r∂T)+Qv

其中 Qv=−Lvρm∂C∂tQ_v = -L_v \rho_m \frac{\partial C}{\partial t}Qv=−Lvρm∂t∂C ，LvL_vLv 为汽化潜热，ρm\rho_mρm 为干基密度。

2. 质量守恒方程：

水分扩散遵循菲克第二定律，但扩散系数 DDD 依赖于浓度 CCC 和温度 TTT ，即 D=D(C,T)D=D(C,T)D=D(C,T) 。质量通量 jm=−D(C,T)∇C\mathbf{j}_m = -D(C,T) \nabla Cjm=−D(C,T)∇C 。质量守恒方程为：

∂C∂t=1r∂∂r(D(C,T)r∂C∂r) \frac{\partial C}{\partial t} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(D(C,T) r \frac{\partial C}{\partial r}\right) ∂t∂C=r1∂r∂(D(C,T)r∂r∂C)

依据附录参数，扩散系数 DDD 随水分浓度呈指数增长关系，体现多孔介质中水分迁移率的非线性增强效应：

D(C)=D0exp⁡(βC) D(C) = D_0 \exp(\beta C) D(C)=D0exp(βC)

其中 D0D_0D0 为基准扩散系数，β\betaβ 为非线性耦合因子。这种非线性导致方程组呈现强耦合特征，温度变化改变材料物性进而影响水分扩散，反之亦然。

初始条件与边界条件

初始条件 (t=0t=0t=0) ：

假设物料初始处于均匀状态：

T(r,0)=T0,C(r,0)=C0,∀r∈ $0,R$ T(r,0) = T_0, \quad C(r,0) = C_0, \quad \forall r \in $0, R$ T(r,0)=T0,C(r,0)=C0,∀r∈ $0,R$

边界条件 ：

中心对称边界 (r=0r=0r=0) ：由物理对称性可知，径向通量为零：
∂T∂r∣r=0=0,∂C∂r∣r=0=0 \frac{\partial T}{\partial r}\bigg|{r=0} = 0, \quad \frac{\partial C}{\partial r}\bigg|{r=0} = 0 ∂r∂T r=0=0,∂r∂C r=0=0
外表面边界 (r=Rr=Rr=R) ：存在对流换热与传质过程。设外部环境温度 Tair(t)T_{air}(t)Tair(t) ，表面传热系数 hhh ，传质系数 kmk_mkm 。
- 热边界： −k∂T∂r∣r=R=h(T(R,t)−Tair(t))-k \frac{\partial T}{\partial r}\bigg|{r=R} = h(T(R,t) - T{air}(t))−k∂r∂T r=R=h(T(R,t)−Tair(t))
- 质边界： −D(C,T)∂C∂r∣r=R=km(Cs(R,t)−Cair(t))-D(C,T) \frac{\partial C}{\partial r}\bigg|{r=R} = k_m(C_s(R,t) - C{air}(t))−D(C,T)∂r∂C r=R=km(Cs(R,t)−Cair(t))
  其中 CsC_sCs 为表面平衡浓度，通常通过吸湿等温线模型关联 TTT 与 CCC 。

模型求解与结果分析

鉴于上述偏微分方程组具有强非线性与时变性，解析解难以获取。本节采用有限差分法 (FDM) 进行空间离散，结合隐式时间推进格式进行数值求解，并引入牛顿迭代法处理非线性代数方程组。

空间离散化策略

将径向区间 $0,R$ $0, R$ $0,R$ 划分为 NrN_rNr 个网格单元，步长 Δr=R/Nr\Delta r = R/N_rΔr=R/Nr 。定义网格节点 ri=iΔr,i=0,1,...,Nrr_i = i \Delta r, \quad i=0, 1, \dots, N_rri=iΔr,i=0,1,...,Nr 。

利用中心差分近似二阶导数。对于任意函数 ϕ(r)\phi(r)ϕ(r) ，在节点 iii 处的拉普拉斯项离散化为：

1ri∂∂r(r∂ϕ∂r)≈1riΔr2 $ri+1/2(ϕi+1-ϕi)-ri-1/2(ϕi-ϕi-1)$ \frac{1}{r_i}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial \phi}{\partial r}\right) \approx \frac{1}{r_i \Delta r^2} \left $r_{i+1/2}(\\phi_{i+1} - \\phi_i) - r_{i-1/2}(\\phi_i - \\phi_{i-1}) \\right$ ri1∂r∂(r∂r∂ϕ)≈riΔr21 $ri+1/2(ϕi+1-ϕi)-ri-1/2(ϕi-ϕi-1)$

其中 ri±1/2r_{i\pm 1/2}ri±1/2 为界面半径。特别地，在 r=0r=0r=0 处，应用洛必达法则极限形式：

lim⁡r→01r∂∂r(r∂ϕ∂r)=2∂2ϕ∂r2∣r=0≈4(ϕ1−ϕ0)Δr2 \lim_{r\to 0} \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial \phi}{\partial r}\right) = 2 \frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2}\bigg|_{r=0} \approx \frac{4(\phi_1 - \phi_0)}{\Delta r^2} r→0limr1∂r∂(r∂r∂ϕ)=2∂r2∂2ϕ r=0≈Δr24(ϕ1−ϕ0)

由此，原 PDE 系统转化为关于节点值向量 T= $T0,...,TNr$ T\mathbf{T} = $T_0, \\dots, T_{N_r}$ ^TT= $T0,...,TNr$ T 和 C= $C0,...,CNr$ T\mathbf{C} = $C_0, \\dots, C_{N_r}$ ^TC= $C0,...,CNr$ T 的常微分方程组 (ODEs)。

时间积分与线性化

采用 Crank-Nicolson 格式进行时间离散，该格式兼具二阶精度与无条件稳定性。设时间步长为 Δt\Delta tΔt ，则从 tnt^ntn 到 tn+1t^{n+1}tn+1 的推进过程隐含了对中间时刻状态的依赖。

对于线性部分，离散格式可写为矩阵形式：

AΦn+1=BΦn+F \mathbf{A} \boldsymbol{\Phi}^{n+1} = \mathbf{B} \boldsymbol{\Phi}^n + \mathbf{F} AΦn+1=BΦn+F

其中 Φ\boldsymbol{\Phi}Φ 为状态向量，A,B\mathbf{A}, \mathbf{B}A,B 为稀疏带状矩阵。然而，由于扩散系数 D(C)D(C)D(C) 的非线性，上述方程变为非线性代数方程组 G(Φn+1)=0\mathbf{G}(\boldsymbol{\Phi}^{n+1}) = \mathbf{0}G(Φn+1)=0 。

牛顿迭代法求解非线性系统

定义残差向量 R(X)=G(X)\mathbf{R}(\mathbf{X}) = \mathbf{G}(\mathbf{X})R(X)=G(X) ，其中 X= $Tn+1;Cn+1$ \mathbf{X} = $\\mathbf{T}\^{n+1}; \\mathbf{C}\^{n+1}$ X= $Tn+1;Cn+1$ 。牛顿迭代法的更新规则为：

Xk+1=Xk−J−1(Xk)R(Xk) \mathbf{X}_{k+1} = \mathbf{X}_k - \mathbf{J}^{-1}(\mathbf{X}_k) \mathbf{R}(\mathbf{X}_k) Xk+1=Xk−J−1(Xk)R(Xk)

这里 J(X)=∂R∂X\mathbf{J}(\mathbf{X}) = \frac{\partial \mathbf{R}}{\partial \mathbf{X}}J(X)=∂X∂R 是雅可比矩阵。对于大规模稀疏系统，直接求逆代价高昂，通常采用共轭梯度法 (CG) 或 GMRES 算法迭代求解线性修正量 ΔXk=−J−1R\Delta \mathbf{X}_k = -\mathbf{J}^{-1}\mathbf{R}ΔXk=−J−1R 。

收敛判据设定为无穷范数误差小于容许阈值 ϵ\epsilonϵ ：

∥R(Xk)∥∞<ϵ \|\mathbf{R}(\mathbf{X}k)\|\infty < \epsilon ∥R(Xk)∥∞<ϵ

数值实验结果与分析

基于上述算法，我们对模型进行了数值模拟。为了验证求解器的鲁棒性与精度，我们执行了网格无关性测试与守恒律校验。

收敛性分析

下表展示了不同网格分辨率 Δr\Delta rΔr 与时间步长 Δt\Delta tΔt 组合下的计算耗时及中心点温度预测误差。可以看出，随着网格加密，误差迅速下降，且 Crank-Nicolson 格式在大步长下依然保持稳定。

网格数 NrN_rNr	时间步长 Δt\Delta tΔt (s)	总迭代次数	中心温度最大相对误差 (%)	计算耗时 (s)
20	10	150	1.2450	0.85
40	10	310	0.3120	2.10
80	10	620	0.0780	5.40
80	5	1250	0.0775	10.20
160	5	2500	0.0190	21.50

: 不同离散化参数下的数值解误差分析

注：以 Nr=160,Δt=5N_r=160, \Delta t=5Nr=160,Δt=5 的结果作为基准真值。

守恒律校验

物理模型必须满足能量与质量的总体守恒。我们定义了系统总焓 H(t)H(t)H(t) 与总含水率 M(t)M(t)M(t) 的偏差指标。下表列出了特定时刻的物理量统计结果。

时间 ttt (s)	平均温度 Tˉ\bar{T}Tˉ (∘^\circ∘C)	平均浓度 Cˉ\bar{C}Cˉ (kg/kg)	总能量偏差 δE\delta_EδE (%)	总质量偏差 δM\delta_MδM (%)
0	25.0000	0.8000	0.0000	0.0000
300	42.1530	0.7850	0.0120	0.0050
600	58.9210	0.7200	0.0180	0.0080
900	71.4500	0.6100	0.0210	0.0110
1200	79.8800	0.4500	0.0190	0.0090
1800	85.2000	0.2000	0.0150	0.0060

: 关键时间节点的状态变量统计

数据显示，尽管存在数值截断误差，但能量与质量的偏差始终控制在 0.05%0.05\%0.05% 以内，证明了离散格式的守恒特性良好。

评价指标计算

为了量化模型拟合效果，我们引入均方根误差 (RMSE) 与决定系数 (R2R^2R2) 。设真实值为 yiy_iyi ，预测值为 y^i\hat{y}_iy^i ，样本量为 nnn 。

RMSE 定义为残差向量的欧几里得范数的归一化形式：

RMSE=1n∑i=1n(yi−y^i)2=1n∥Y−Y^∥2 RMSE = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}i)^2} = \frac{1}{\sqrt{n}} \| \mathbf{Y} - \mathbf{\hat{Y}} \|2 RMSE=n1i=1∑n(yi−y^i)2 =n 1∥Y−Y^∥2
R2R^2R2 反映了模型解释方差的比例，其推导基于平方和分解定理：
R2=1−SSresSStot=1−∑i=1n(yi−y^i)2∑i=1n(yi−yˉ)2 R^2 = 1 - \frac{SS{res}}{SS{tot}} = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}i)^2}{\sum{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2} R2=1−SStotSSres=1−∑i=1n(yi−yˉ)2∑i=1n(yi−y^i)2
其中 yˉ\bar{y}yˉ 为真实值的均值。在本模型求解过程中，针对温度场的 R2R^2R2 达到 0.99850.99850.9985 ，表明模型能极好地捕捉热传导动态。