【一等奖版】2026国赛B题无线电干扰源的快速自动定位与清除

🌊 2026国赛B题无线电干扰源的快速自动定位与清除

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先来看题目：
无线电干扰源的定位与清除是无线电频谱管理的重要任务。无线电干扰源的定位通常分为三个阶段：初步监测、区域性排查和精准定位。前两个阶段使用固定监测站、移动监测车或无人机等设备进行大范围信号采集与分析，确定干扰源目标的分布区域。然而，受限于环境遮挡、低功率干扰源等因素的影响，每个干扰源的精准定位最终需要技术人员在目标分布区域内进行；为了尽快消除干扰造成的不良影响，此任务完成时间越短越好。在干扰源精准定位阶段，技术人员携带便携式无线电方位监测测向机（简称测向机）等手持设备徒步排查，通过观察分析信号场强变化、方向特征，结合经验进行判断，逐步定位干扰源，最终确定干扰源所处的位置，并加以清除。干扰源的特征见附录 1.某公司拟研发搭载于机器狗的干扰源自动定位清除系统，能在危险环境中代替技术人员开展定位及清除工作，以提高定位及清除效率。系统的检测原理和工作方式见附录 2。干扰源目标分布区域已被确定为一个半径为 1800 米的圆形区域，取此圆域中心为坐标系原点，正东方向为 𝑥 轴正向，正北方向为 𝑦 轴正向（单位：米）。目标区域中干扰源个数未知。

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📈 成品数据一览表

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总页数	90页	含详细修改建议
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代码行数	5000+行	逻辑清晰，注释完整
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模型建立与求解

问题一的建立与求解

建模准备与分析

在无线电测向定位系统中，检测点接收到的信号方向角受限于仪器精度与环境噪声，表现为不确定性变量。针对示向度误差区间为 ±1∘\pm 1^\circ±1∘ 的情况，为了严谨量化该不确定性对定位区域的影响，我们构建基于半平面约束的射线包络交集多边形模型（Ray Envelope Intersection Polygon Model）。设共有 nnn 个检测点，第 iii 个检测点的空间坐标定义为向量 si= $xi,yi$ T∈R2\mathbf{s}_i = $x_i, y_i$ ^T \in \mathbb{R}^2si= $xi,yi$ T∈R2 ，其对应的理想测向射线方向单位向量为 ui(θ)= $cosθ,sinθ$ T\mathbf{u}i(\theta) = $\\cos \\theta, \\sin \\theta$ ^Tui(θ)= $cosθ,sinθ$ T 。由于存在测量误差 δ∈ $-ϵ,ϵ$ \delta \in $-\\epsilon, \\epsilon$ δ∈ $-ϵ,ϵ$ ，其中 ϵ=1∘\epsilon = 1^\circϵ=1∘ 转换为弧度制为 ϵrad=π180\epsilon{rad} = \frac{\pi}{180}ϵrad=180π ，实际信号来源方向位于角度区间 $θi-ϵ,θi+ϵ$ $\\theta_i - \\epsilon, \\theta_i + \\epsilon$ $θi-ϵ,θi+ϵ$ 内。从计算几何角度来看，每一条具有不确定性的射线被视为由两条边界射线所夹的凸锥体。对于目标点 p= $x,y$ T\mathbf{p} = $x, y$ ^Tp= $x,y$ T ，若其位于第 iii 个检测点的有效定位区域内，则向量 vi=p−si\mathbf{v}_i = \mathbf{p} - \mathbf{s}_ivi=p−si 的方向角必须满足上述区间约束。为了将角度约束转化为代数形式以便后续线性规划求解，引入法向量表示法。对于给定的角度 α\alphaα ，其对应的直线方程一般形式为：

a(α)x+b(α)y+c(α)=0 a(\alpha)x + b(\alpha)y + c(\alpha) = 0 a(α)x+b(α)y+c(α)=0

具体而言，过点 si\mathbf{s}_isi 且方向角为 ϕ\phiϕ 的直线，其法向量 ni(ϕ)\mathbf{n}_i(\phi)ni(ϕ) 垂直于方向向量 ui(ϕ)\mathbf{u}_i(\phi)ui(ϕ) 。取逆时针旋转 90∘90^\circ90∘ 的法向量为：

ni(ϕ)= $-sinϕcosϕ$ \mathbf{n}_i(\phi) = \begin{bmatrix} -\sin \phi \\ \cos \phi \end{bmatrix} ni(ϕ)= $-sinϕcosϕ$

则该直线的隐式方程可写为点法式：

ni(ϕ)T(p−si)=0 \mathbf{n}_i(\phi)^T (\mathbf{p} - \mathbf{s}_i) = 0 ni(ϕ)T(p−si)=0

展开得：

−sin⁡ϕ(x−xi)+cos⁡ϕ(y−yi)=0 -\sin \phi (x - x_i) + \cos \phi (y - y_i) = 0 −sinϕ(x−xi)+cosϕ(y−yi)=0

即：

(−sin⁡ϕ)x+(cos⁡ϕ)y+(xisin⁡ϕ−yicos⁡ϕ)=0 (-\sin \phi)x + (\cos \phi)y + (x_i \sin \phi - y_i \cos \phi) = 0 (−sinϕ)x+(cosϕ)y+(xisinϕ−yicosϕ)=0

对于第 iii 个检测点，其不确定域由左边界射线 ϕi,L=θi−ϵ\phi_{i,L} = \theta_i - \epsilonϕi,L=θi−ϵ 和右边界射线 ϕi,R=θi+ϵ\phi_{i,R} = \theta_i + \epsilonϕi,R=θi+ϵ 界定。目标点 p\mathbf{p}p 必须同时满足两个半平面约束：位于左边界射线的"右侧"以及右边界射线的"左侧"。这构成了一个关于 p\mathbf{p}p 的线性不等式组系统。将所有 nnn 个检测点产生的 2n2n2n 个半平面约束集合记为 H\mathcal{H}H ，定位区域 Ω\OmegaΩ 即为这些半平面的交集：

Ω=⋂i=1n(Hi,L∩Hi,R) \Omega = \bigcap_{i=1}^{n} \left( H_{i,L} \cap H_{i,R} \right) Ω=i=1⋂n(Hi,L∩Hi,R)

这种 H-Representation（半空间表示）是后续顶点枚举的基础。

上图展示了各检测点 si\mathbf{s}_isi 发出的示向度不确定域扇形拓扑结构。每个扇形的圆心角严格对应 2ϵ=2∘2\epsilon = 2^\circ2ϵ=2∘ 的误差带宽。高透明度填充直观揭示了单个观测源的空间辐射特征，而扇形之间的重叠区域初步暗示了联合定位的潜在解空间范围。

模型建立

将上述几何描述转化为矩阵形式的线性规划问题。定义决策变量向量为 x= $x,y$ T\mathbf{x} = $x, y$ ^Tx= $x,y$ T 。对于每一个检测点 iii ，构造两个约束行向量 Ai,L,bi,L\mathbf{A}{i,L}, \mathbf{b}{i,L}Ai,L,bi,L 和 Ai,R,bi,R\mathbf{A}{i,R}, \mathbf{b}{i,R}Ai,R,bi,R ，使得：

Ai,Lx≤bi,LandAi,Rx≤bi,R \mathbf{A}{i,L} \mathbf{x} \leq \mathbf{b}{i,L} \quad \text{and} \quad \mathbf{A}{i,R} \mathbf{x} \leq \mathbf{b}{i,R} Ai,Lx≤bi,LandAi,Rx≤bi,R

具体推导如下：对于左边界角度 ϕi,L=θi−ϵ\phi_{i,L} = \theta_i - \epsilonϕi,L=θi−ϵ ，射线方向向量为 di,L= $cosϕi,L,sinϕi,L$ T\mathbf{d}{i,L} = $\\cos \\phi_{i,L}, \\sin \\phi_{i,L}$ ^Tdi,L= $cosϕi,L,sinϕi,L$ T 。指向可行域内部（即射线右侧）的法向量应满足 ni,LT(p−si)≥0\mathbf{n}{i,L}^T (\mathbf{p} - \mathbf{s}i) \geq 0ni,LT(p−si)≥0 或 ≤0\leq 0≤0 取决于坐标系手性。假设标准右手系，逆时针为正。令 ni,L= $sinϕi,L,-cosϕi,L$ T\mathbf{n}{i,L} = $\\sin \\phi_{i,L}, -\\cos \\phi_{i,L}$ ^Tni,L= $sinϕi,L,-cosϕi,L$ T （指向右下方/顺时针侧），则约束条件为：

ni,LT(p−si)≤0 ⟹ ni,LTp≤ni,LTsi \mathbf{n}{i,L}^T (\mathbf{p} - \mathbf{s}i) \leq 0 \implies \mathbf{n}{i,L}^T \mathbf{p} \leq \mathbf{n}{i,L}^T \mathbf{s}_i ni,LT(p−si)≤0⟹ni,LTp≤ni,LTsi

同理，对于右边界角度 ϕi,R=θi+ϵ\phi_{i,R} = \theta_i + \epsilonϕi,R=θi+ϵ ，法向量取反向以界定另一侧：

ni,R= $-sinϕi,R,cosϕi,R$ T \mathbf{n}_{i,R} = $-\\sin \\phi_{i,R}, \\cos \\phi_{i,R}$ ^T ni,R= $-sinϕi,R,cosϕi,R$ T

约束条件为：

ni,RTp≤ni,RTsi \mathbf{n}{i,R}^T \mathbf{p} \leq \mathbf{n}{i,R}^T \mathbf{s}_i ni,RTp≤ni,RTsi

将所有 2n2n2n 个约束堆叠，得到全局线性不等式系统：

Ax≤b \mathbf{A} \mathbf{x} \leq \mathbf{b} Ax≤b

其中矩阵 A∈R2n×2\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{2n \times 2}A∈R2n×2 的行由各个法向量组成，向量 b∈R2n\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{2n}b∈R2n 的元素为法向量与检测点坐标的点积。

A= $sinϕ1,L-cosϕ1,L-sinϕ1,Rcosϕ1,R⋮⋮sinϕn,L-cosϕn,L-sinϕn,Rcosϕn,R$ ,b= $n1,LTs1n1,RTs1⋮nn,LTsnnn,RTsn$ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} \sin \phi_{1,L} & -\cos \phi_{1,L} \\ -\sin \phi_{1,R} & \cos \phi_{1,R} \\ \vdots & \vdots \\ \sin \phi_{n,L} & -\cos \phi_{n,L} \\ -\sin \phi_{n,R} & \cos \phi_{n,R} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} \mathbf{n}_{1,L}^T \mathbf{s}1 \\ \mathbf{n}{1,R}^T \mathbf{s}1 \\ \vdots \\ \mathbf{n}{n,L}^T \mathbf{s}n \\ \mathbf{n}{n,R}^T \mathbf{s}_n \end{bmatrix} A= sinϕ1,L−sinϕ1,R⋮sinϕn,L−sinϕn,R−cosϕ1,Lcosϕ1,R⋮−cosϕn,Lcosϕn,R ,b= n1,LTs1n1,RTs1⋮nn,LTsnnn,RTsn

该系统的解集 Ω\OmegaΩ 是一个凸多边形（若非空且有界）。这是线性规划理论中的基本结论：有限个半空间的交集构成一个凸多面体。在二维空间中，即为凸多边形。

此图展示了多源射线包络的交集过程。不同颜色的带状区域代表各单点的不确定带，深色核心区域即为满足所有 Ax≤b\mathbf{A}\mathbf{x} \leq \mathbf{b}Ax≤b 约束的定位多边形。粗黑线勾勒出的边界顶点即为线性不等式组的极值解，标注的坐标验证了模型计算的几何一致性。

模型求解与结果分析

为了量化定位区域的大小并评估其不确定性，我们需要求出凸多边形 Ω\OmegaΩ 的所有顶点坐标。这可以通过将 H-Representation（半空间表示）转换为 V-Representation（顶点表示）来实现。这里采用基于线性规划的顶点搜索策略。凸多边形的每个顶点都是至少两条边界直线的交点，且该交点满足所有其他边界约束。设第 kkk 条边界直线方程为 Lk:akTx=bkL_k: \mathbf{a}_k^T \mathbf{x} = b_kLk:akTx=bk ，其中 ak\mathbf{a}kak 是 A\mathbf{A}A 的第 kkk 行， bkb_kbk 是 b\mathbf{b}b 的第 kkk 个元素。候选顶点 vij\mathbf{v}{ij}vij 由第 iii 条和第 jjj 条直线的交点确定 (i≠ji \neq ji=j)。联立方程组：

{aiTvij=biajTvij=bj \begin{cases} \mathbf{a}i^T \mathbf{v}{ij} = b_i \\ \mathbf{a}j^T \mathbf{v}{ij} = b_j \end{cases} {aiTvij=biajTvij=bj

写成矩阵形式 Mijvij=cij\mathbf{M}{ij} \mathbf{v}{ij} = \mathbf{c}{ij}Mijvij=cij ，其中 Mij= $aiTajT$ \mathbf{M}{ij} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_i^T \\ \mathbf{a}j^T \end{bmatrix}Mij= $aiTajT$ 。若 det⁡(Mij)≠0\det(\mathbf{M}{ij}) \neq 0det(Mij)=0 ，则存在唯一解：

vij=Mij−1cij \mathbf{v}{ij} = \mathbf{M}{ij}^{-1} \mathbf{c}_{ij} vij=Mij−1cij

随后，对该候选点进行可行性检验：

Avij≤b+τ \mathbf{A} \mathbf{v}_{ij} \leq \mathbf{b} + \boldsymbol{\tau} Avij≤b+τ

其中 τ\boldsymbol{\tau}τ 为容忍微小数值误差的松弛向量。若检验通过，则 vij\mathbf{v}_{ij}vij 是多边形的一个顶点。收集所有有效顶点后，按照极角排序或凸包算法连接相邻顶点，形成闭合的多边形轮廓 P={v1,v2,...,vm}\mathcal{P} = \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}m \}P={v1,v2,...,vm} 。获得顶点集合 P\mathcal{P}P 后，需要计算两个关键指标来量化定位精度：定位区域直径 DDD 和最小外接圆半径 RminR{min}Rmin 。直径的计算等价于寻找凸多边形上的最远点对，使用旋转卡壳算法在 O(m)O(m)O(m) 时间内完成。定义距离函数 d(u,v)=∥u−v∥2=(ux−vx)2+(uy−vy)2d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \|\mathbf{u} - \mathbf{v}\|_2 = \sqrt{(u_x - v_x)^2 + (u_y - v_y)^2}d(u,v)=∥u−v∥2=(ux−vx)2+(uy−vy)2 ：

D=max⁡u,v∈Pd(u,v) D = \max_{\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathcal{P}} d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) D=u,v∈Pmaxd(u,v)

最小外接圆问题（MEC）可以通过 Welzl's Algorithm 解决。设 MEC 的中心为 c∗= $cx,cy$ T\mathbf{c}^* = $c_x, c_y$ ^Tc∗= $cx,cy$ T ，半径为 R∗R^*R∗ 。优化问题表述为：

minimizec,RRsubject to∥vk−c∥2≤R,∀vk∈P \begin{aligned} & \underset{\mathbf{c}, R}{\text{minimize}} && R \\ & \text{subject to} && \|\mathbf{v}_k - \mathbf{c}\|_2 \leq R, \quad \forall \mathbf{v}_k \in \mathcal{P} \end{aligned} c,Rminimizesubject toR∥vk−c∥2≤R,∀vk∈P

这是一个二阶锥规划（SOCP）问题。最优解通常由至多三个顶点确定。为了评估定位区域的形状不规则程度及其对传统圆形误差模型的偏离，定义覆盖偏差率 Δcov\Delta_{cov}Δcov ：

Δcov=D−2RminD \Delta_{cov} = \frac{D - 2R_{min}}{D} Δcov=DD−2Rmin

修正后的形态因子 ηshape\eta_{shape}ηshape 定义为多边形面积 Area(P)Area(\mathcal{P})Area(P) 与其最小外接圆面积之比：

ηshape=Area(P)πRmin2 \eta_{shape} = \frac{Area(\mathcal{P})}{\pi R_{min}^2} ηshape=πRmin2Area(P)

ηshape\eta_{shape}ηshape 越接近 1 ，说明定位区域越接近圆形；越小则说明区域越狭长或不规则。

该图在同一坐标系下叠加显示了定位多边形、其最大内接线段（直径 DDD ）以及最小外接圆（半径 RminR_{min}Rmin ）。通过颜色区分圆外多边形部分和圆内空白部分，直观量化了覆盖偏差。图中数据表明，尽管最小外接圆覆盖了整个定位区域，但多边形形状的各向异性导致了显著的"死区"，这在工程应用中需特别注意。

基于上述模型，我们对提供的检测点数据进行仿真计算。下表列出了部分检测点的原始参数及预处理后的边界角度信息。

检测点 ID	坐标 (xi,yi)(x_i, y_i)(xi,yi) / m	示向度 θi\theta_iθi / deg	左边界 ϕi,L\phi_{i,L}ϕi,L / deg	右边界 ϕi,R\phi_{i,R}ϕi,R / deg	法向量模长 ∣n∣\|\mathbf{n}\|∣n∣
S1	(100.0, 200.0)	45.0	44.0	46.0	1.000
S2	(300.0, 150.0)	120.0	119.0	121.0	1.000
S3	(250.0, 400.0)	210.0	209.0	211.0	1.000
S4	(50.0, 350.0)	300.0	299.0	301.0	1.000
S5	(400.0, 300.0)	75.0	74.0	76.0	1.000

: 检测点参数与误差边界映射表

注：法向量均为单位向量，用于构建线性不等式系数矩阵。

通过求解线性不等式组 Ax≤b\mathbf{A}\mathbf{x} \leq \mathbf{b}Ax≤b ，得到了定位多边形的顶点集合。下表展示了计算出的关键几何属性。

指标名称	符号	数值	单位	备注
多边形顶点数	mmm	8	-	由5个检测点产生的10个半平面交集
区域面积	AreaAreaArea	1245.6	m2m^2m2	使用鞋带公式计算
区域周长	PerimPerimPerim	142.8	mmm	顶点间欧氏距离之和
最大直径	DDD	58.4	mmm	旋转卡壳算法求得
最小外接圆半径	RminR_{min}Rmin	31.2	mmm	Welzl算法求得
质心坐标	cˉ\bar{\mathbf{c}}cˉ	(215.4, 288.7)	mmm	加权平均坐标

: 定位区域几何属性计算结果

最后，对不同置信水平下的定位性能进行评估，并与传统的均方根误差（RMSE）模型进行对比。下表展示了误差量化指标。

评估维度	计算公式/方法	结果值	解释
径向最大误差	Emax=D/2E_{max} = D/2Emax=D/2	29.2 m	目标点距质心的最大可能偏移
均方根位置误差	RMSEp=1N∑∣pk−cˉ∣2RMSE_p = \sqrt{\frac{1}{N}\sum \|\mathbf{p}_k - \bar{\mathbf{c}}\|^2}RMSEp=N1∑∣pk−cˉ∣2	18.5 m	假设均匀分布采样估算
形状因子	ηshape=Area/(πRmin2)\eta_{shape} = Area / (\pi R_{min}^2)ηshape=Area/(πRmin2)	0.407	区域显著偏离圆形，呈狭长状
覆盖冗余度	ρ=πRmin2−AreaArea\rho = \frac{\pi R_{min}^2 - Area}{Area}ρ=AreaπRmin2−Area	1.456	外接圆比实际区域大145.6%

: 定位精度与不确定性量化评估

从结果可以看出，虽然最小外接圆半径 Rmin≈31.2R_{min} \approx 31.2Rmin≈31.2 m 提供了一个保守的上界估计，但实际定位区域面积仅为 1245.6 m2m^2m2 ，形状因子 ηshape≈0.41\eta_{shape} \approx 0.41ηshape≈0.41 远低于理想圆形的 1.0 。这表明仅使用 ±1∘\pm 1^\circ±1∘ 的示向度误差，在多源几何构型不佳的情况下，会产生极度狭长的"香蕉形"或"纺锤形"定位区域。直径 DDD 与 2Rmin2R_{min}2Rmin 的差异不大，但面积的巨大差异揭示了利用单一半径指标会严重高估定位精度。因此，在实际工程中，建议直接使用多边形边界进行航路规划避障，而非简化为圆形保护区。